初三中考數(shù)學復習：函數(shù)與方程的思想

函數(shù)與方程的思想.函數(shù)思想就是用運動、變化的觀點分析和研究現(xiàn)實中的數(shù)量關系，通過問題所提供的數(shù)量特征及關系建立函數(shù)關系式，然后運用有關的函數(shù)知識解決問題。如果問題中的變量關系可以用解析式表示出來，則可把關系式看作一個方程，通過對方程的分析使問題獲解。所謂方程的思想，就是突出研究已知量與未知量之間的等量關系，通過設未知數(shù)、列方程或方程組，解方程或方程組等步驟，達到求值目的的解題思路和策略，它是解決各類計算問題的基本思想，是運算能力的基礎。函數(shù)與方程思想是中學數(shù)學中最常用、最重要的數(shù)學思想。中考函數(shù)試題解法及新穎題目研究函數(shù)是初中代數(shù)的重點，也是難點，在中考的代數(shù)部分所占比重最大，綜合題中離不開函數(shù)內(nèi)容。中考函數(shù)考察的重點是：函數(shù)自變量取值范圍，正反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義和性質(zhì)，畫函數(shù)圖像，求函數(shù)表達式。近年來中考比較側重實際應用問題的考察。中考的最后一道題，常常要用到多個數(shù)學思想方法，縱觀近幾年的中考題，基本上都是函數(shù)、方程、幾何(主要是圓)的綜合題。.初中函數(shù)知識網(wǎng)絡定義函數(shù)解析式函數(shù)圖象平面直角坐標系綜合運用定義函數(shù)解析式函數(shù)圖象平面直角坐標系綜合運用.命題思路與知識要點：.1一般函數(shù)2.1.1考查要點：平面直角坐標系的有關概念；常量、變量、函數(shù)的意義；函數(shù)自變量的取值范圍和函數(shù)值的意義及確定。2.1.2考綱要求：理解平面直角坐標系的有關概念，掌握各象限及坐標軸上的點的坐標特征，會求對稱點坐標，能確定函數(shù)自變量的取值范圍。2.1.3主要題型：填空題，選擇題，閱讀理解題。2.1.4知識要點：(1)平面直角坐標系中，每一個點都與有序?qū)崝?shù)對一一對應；象限與坐標符號如圖1。(坐標符號如圖1。(2)特殊位置上點的坐標特點：①點P(x,y)在x軸上=y=0；點P(x,y)在y軸上=>x=0；②點P(x,y)在第一、三象限角平分線上=>x=y；點P(x,y)在第二、四象限角平分線上二〉x+y=0;③點P(x,y)關于x軸對稱的點的坐標是(x,—y)；*y第二象限 第一象限(一,+)i(+,+)-1 0第三象限-1(一,一) ?1x第四象限(+,一)點P(x,y)關于y軸對稱的點的坐標是(一x,y)；點P(x,y)關于原點對稱的點的坐標是(一x,—y)；確定函數(shù)自變量取值范圍，就是要找出使函數(shù)有意義的自變量的全部取值。一般從以下幾方面考慮:（1）解析式型：函數(shù)直接由解析式給出，不涉及其它問題。主要有以下五種情況：①整式型：自變量的取值范圍是全體實數(shù)；②分式型：自變量的取值范圍是使分母不為零的實數(shù)；③二次根式型：自變量的取值范圍是使被開方式為非負數(shù)的實數(shù)；④零指數(shù)和負指數(shù)型：自變量的取值范圍是使底數(shù)不為零的實數(shù)。⑤綜合型：自變量的取值范圍是使各部分有意義的公共部分。（2）具體問題型：函數(shù)涉及具體問題時，要考慮使具體問題有意義。主要有以下兩種情況：①幾何問題型：要使自變量取正值，且滿足幾何的定義、公理、定理等；②實際問題型；自變量的取值使實際問題有意義。（3）動態(tài)問題型：在動態(tài)問題中，自變量的取值范圍受動點運動范圍的限制。一般先求動點運動的極端值，從而確定自變量的取值范圍。自變量的取值范圍可以是無限的，也可以是有限的，甚至可以是幾個數(shù)或單獨的一個數(shù)。2一次函數(shù)2.1考查要點：一次函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)；一次函數(shù)解析式的確定。2.2考綱要求：理解正比例、一次函數(shù)的概念并會用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；熟練掌握一次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，并能靈活運用。2.3主要題型：填空題，選擇題，解答題。2.4知識要點：一般地，如果y=kx+b（k、b是常數(shù)，kW0）,那么，y叫做x的一次函數(shù)。k、b是常數(shù)的含義是，對于一個特定的函數(shù)式，k和b的值是固定的。kW0這個條件不能省略不寫，若k=0,則y=kx+b變形為y=b,b是關于x的0次式，因此不是一次函數(shù)。特別地，當b=0時，一次函數(shù)y=kx+b就成為y=kx（k是常數(shù)，k#0）,這時y叫做x的正比例函數(shù)。正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。（2）一次函數(shù)的圖象是一條直線。由幾何知識可得，要畫一條直線只要知道兩點就可以了。所以一次函數(shù)圖象的方法是：只要先描出兩點，再連成直線就可以了。畫正比例函數(shù)y=kx的圖象，通常?。?,0）和（1,k）兩點連成直線。畫一次函數(shù)y=kx+b（k、b是常k 數(shù),kW0）的圖象，通常選?。?,b）和（-,0）兩點連成直線。通常，我們把一次函數(shù)y=kx+bb的圖象叫做直線y=kx+b。直線的傾斜形態(tài)與k的關系如下：（1）k>0時，直線的傾斜形態(tài)“/”；（2）k<0時，直線的傾斜形態(tài)“\”。要樹立“數(shù)形結合”的數(shù)學思想方法。由k的數(shù)值（正、負）決定出直線的傾斜形態(tài)，反之，由直線的傾斜形態(tài)能確定k的正、負。y=kx+b（kW0）與y=kx（kW0）的圖象是兩直平行線。直線所經(jīng)過的象限與k、b的關系:（3）一次函數(shù)的性質(zhì)：一般地，正比例函數(shù)y=kx和一次函數(shù)y=kx+b都有下列性質(zhì)：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大；（2）當k<0時，y隨x的增大而減小。（4）一次函數(shù)解析式的確定：在正比例函數(shù)y=kx（呼0）中，只要求出k的數(shù)值，這個正比例函數(shù)解析式就求得。所以求y=kx（降0）所需條件是一個點坐標。

由于一次函數(shù)y=kx+b(k于0中需要求出k與b的數(shù)值，所以需要兩個點的坐標(或說兩個相互獨立的條件)，代入解析式中，得到關于k與b的二元一次方程組，通過解方程組求出k與b的數(shù)值。要注意掌握由坐標求線段長度，由線段長度求坐標的轉換方法。掌握由直線解析式求與坐標軸交點的坐標和由直線上兩點坐標，求直線解析式的方法。掌握求兩直線交點坐標的方法。2.3反比例函數(shù)2.3.1考查要點：反比例函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)；反比例函數(shù)解析式的確定。2.3.2考綱要求：理解反比例函數(shù)的概念并會用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；熟練掌握反比例函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，并能靈活運用。2.3.3主要題型：填空題，選擇題，解答題，應用題。2.3.4知識要點：.一k一一 (1)如果y=—(或y=kx-1或xy=k)(kW0),那么y叫做x的反比例函數(shù)。注意反比例x.一—— k, 、… , 、… , 、，一一，，函數(shù)有三種不同表現(xiàn)形式：①y=-。/。)②丫=卜*-1(kW0)；③*丫=火卜￡0)。自變量x的x取值范圍是x#0的實數(shù)。在反比例函數(shù)中，兩個變量成反比例關系。因此，判定兩個變量是否成反比例關系，看是否能寫成反比例函數(shù)關系，即兩個變量的積是不是一個不為0的常數(shù)。(2)反比例函數(shù)y=-(或y=kx-1或xy=k)(kW0)的圖象是由兩條曲線組成，叫做雙曲x線，它們關于原點成中心對稱。反比例函數(shù)的圖象是兩條雙曲線，兩條雙曲線既不過原點，又與兩個坐標軸不相交(因為*丫。0),它只是無限接近x軸和y軸。用描點法畫反比例函數(shù)圖象時，可先畫一個分支，由兩個分之關于原點對稱的性質(zhì)，再畫另一個分支。要注意兩個分支不能相連，即兩個分支是斷開的。(3)反比例函數(shù)解析式的確定。因為反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=-(kW0),只含有一個待x定系數(shù)，所以要確定函數(shù)解析式，只需要已知圖象所經(jīng)過的一個點的坐標即可。k(4)反比例函數(shù)性質(zhì)的學習要結合圖象進行。k>0時，反比例函數(shù)y=—(或y=kx-1)x的圖象在一、三象限，函數(shù)y在每個象限內(nèi)隨x的增大而減小。k<0時，反比例函數(shù)丫=-(或xy=kx-1)的圖象在二、四象限，函數(shù)丫在每個象限內(nèi)隨x的增大而增大。(5)反比例函數(shù)y=-(或y=kx-1)(kW0)中比例系數(shù)k的幾何意義是：過雙曲線上任x一點P(x,y)作x軸、y軸的垂線PM、PN,所得的矩形PMON的面積 一1一S=PM?PN=x?》=xy=k。如果再連結PO,則S=S=-k。 APOM APON2如圖2。一次函數(shù)與二元一次方程(組)的關系：將一次函數(shù)丫=卜*+6移項，得kx-y+b=0,可以看出這是一個二元一次方程。這樣，y=kx+b的圖象也是方程kx-y+b=0圖象，圖象上每個點的坐標都適合方程kx-y+b=0,也就是方程kx-y+b=0的解。直線y=kx+b與x軸的交點的縱坐標等于0,即直線y=kx+b與x軸的交點的橫坐標就是一元一次方程kx+b=0的解。設直線y=k1x+4和直線y=k2x+b2的交點坐標為(a,b)，則a,b適合這兩個函數(shù)關系式。所以直線y=kx+b和直線y=kx+b的交點坐標就是方程組F1x—y+)—01 2 2 [k2x-y+b2=0

的解。因此，我們可以用圖象法來求一元一次方程、二元一次方程組以及一元一次不等式的近似解。2.4二次函數(shù)4.1考查要點：描點法畫函數(shù)圖象；二次函數(shù)和拋物線的有關的概念、性質(zhì)；二次函數(shù)解析式的確定。4.2考綱要求：了解描點法畫函數(shù)圖象，理解二次函數(shù)和拋物線的有關的概念，拋物線的頂點、對稱軸；會用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；熟練掌握二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，并能靈活運用。4.3主要題型：填空題，選擇題，解答題，閱讀理解題，應用題。4.4知識要點：(1)二次函數(shù)解析式，主要有兩種形式：一般強=ax2+bx+c與頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k,其中aW0。它的圖象為拋物線，其位置與各系數(shù)關系為：(1)a決定拋物線的開口方向：a>0,開口向上；a<0,開口向下；(2)拋物線與y軸交點的坐標為(0,c)；(3)a、b結合決定拋物線對稱軸的位置，對稱軸x=-;b，若a、b同號，則對稱軸在y軸左側；若b=0,則對稱軸是y軸；若a、b異號，則對稱軸在y軸右側；(4)一般式的頂點坐標為(-講，弩土)，頂點式的頂點2a4a坐標為(h,k)。(2)求二次函數(shù)的解析式一般用待定系數(shù)法，但要根據(jù)不同條件，設出恰當?shù)慕馕鍪?若給出拋物線上任意三點，通?？稍O一般式；若給出拋物線的頂點坐標或?qū)ΨQ軸或最值，通常可設頂點式。3.中考函數(shù)新穎試題分析例1圖例1圖1.坐標系與相似三角形例1請同學們在右邊的同一個直角坐標系中，畫出兩個形狀相同，但面積不等的三角形。答案不唯一。如評注：此題給學生廣闊的思維空間，體現(xiàn)數(shù)形結合思想，學生可從邊或角兩個角度探求直角，畫出符合要求的直角三角形。本題考查學生發(fā)散思維的能力、運用知識解決問題的能力及數(shù)形結合思想。網(wǎng)格與坐標系例2如圖，是象棋盤的一部分，若帥位于點(1,-2)上，相位于點(3,-2)上，則炮位于點()上。A.(-1,1) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-2,2)例3(2005年杭州市)如圖的圍棋盤放在某個平面直角坐標系內(nèi)，白棋②的坐標為(-7,-4),白棋④的坐標為(-6,-8),那么黑棋①的坐標應該是 .

答案：C；(-3,-7)評注：這兩個題充分利用方格紙的特點及坐標的有關知識，將方格紙與平面直角坐標系以及學生熟悉的象棋、圍棋聯(lián)系在一起，新穎而有趣味性。3.3.網(wǎng)格與坐標系與中心對稱例4如果將點P繞定點M旋轉180°后與點Q重合，那么稱點P與點例4圖Q關于點M對稱，定點M叫做對稱中心。此時，M是線段PQ的中點。如圖，在直角坐標系中，/ABO的頂點A、B、O的坐標分別為(1,0)、(0,1)、(0,0)。點列P「P2、P3、…中的相鄰兩點都關于/ABO例4圖點P1與點P2關于點A對稱，點P2與點P3關于點B對稱，點P3與P4關于點O對稱，點P4與點P5關于點A對稱，點P5與點P6關于點B對稱,點P6與點P7關于點O對稱，…。對稱中心分別是A、B,O,A,B,O,…，且這些對稱中心依次循環(huán)。已知點P1的坐標是(1,1),試求出點P2、P7、P100的坐標。答案：P2(1,-1)P7(1,1)P100=(1,-3)評注：本題將中心對稱、坐標以及規(guī)律尋找結合起來。4.閱讀函數(shù)圖象，解決實際問題。例5某游樂場每天的贏利額y(元)與售出的門票x(張)之間的函數(shù)關系如圖所示.(1)當0WxW200,且x為整數(shù)時，y關于x的函數(shù)解析式為；當200VxW300,且x為整數(shù)時,y關于x的函數(shù)解析式為(2)要使游樂場一天的贏利超過1000元，試問該天至少應售出多少張門票？(3)請思考并解釋圖像與y軸交點(0,-1000)的實際意義.(4)根據(jù)圖像，請你再提供2條信息。答案：(1)y=100x-1000；(2)y=150x-2500。(3)沒有售出門票時，虧損1000元。(4)答案不惟一。評注：此題巧妙地將函數(shù)知識與實際生活情景聯(lián)系在一起。二次函數(shù)的最值與應用。, 7 /b、4ac-b2,, ，一—b4ac一b2、由y=ax2+bx+c=a(x+—)2+可知:當a>0時，頂點(--，-)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2a 4a 2a 4a,^ ^ b是拋物線y=ax2+bx+c的最低點，即x=-—時，二次函數(shù)y=ax2+bx+c取得最小2a\o"CurrentDocument"4ac—b2 ,b4ac—b2、 一值 。當aV0時，頂點(—-, )是拋物線y=ax2+bx+c的最高點，即4a 2a 4ab ^ 4ac—b2\o"CurrentDocument"x=——時，二次函數(shù)y=ax2+bx+c取得最大值 一2a 4a例6某通訊器材公司銷售一種市場需求較大的新型通訊產(chǎn)品。已知每件產(chǎn)品的進價為例640元，每年銷售該種產(chǎn)品的總開支(不含進價)總計120萬元。在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，年銷售量y(萬件)與銷售單價x(元)之間存在著如圖所示的一次函數(shù)關系。例6(1)求y關于x的函數(shù)關系式；(2)試寫出該公司銷售該種產(chǎn)品的年獲利z(萬元)關于銷售單價x(元)的函數(shù)關系式(年獲利=年銷售額一年銷售產(chǎn)品總

進價一年總開支）。當銷售單價x為何值時，年獲利最大？并求這個最大值；（3）若公司希望該種產(chǎn)品一年的銷售獲利不低于40萬元，借助⑵中函數(shù)的圖象，請你幫助該公司確定銷售單價的范圍。在此情況下，要使產(chǎn)品銷售量最大，你認為銷售單價應定為多少元？答案：（1）y答案：（1）y=20（2）當X=100元時，年獲利最大為60萬元。（3）要使銷售量最大，又要使年獲利不低于40萬元，銷售單價應定為80元。評注：本題在日常情景中，運用了許多數(shù)學知識，如解方程組，二次函數(shù)的畫圖及求二次函數(shù)的極值。應用二次函數(shù)的有關知識，分析和解決生產(chǎn)、生活或相關學科中簡單問題，既可提高學習數(shù)學的興趣，又能增強用數(shù)學的意識，也是當前體現(xiàn)“人人學有用數(shù)學”的熱點考題。需要注意的是，實際問題中，有時需要根據(jù)實際問題的具體情況確定“局部最值”。函數(shù)與跨學科試題例7在某一電路中，保持電壓不變，電流I（安）與電阻R（歐）成反比例函數(shù)關系，其圖像如圖3,則這一電路的電壓為伏.。析解：因為在某一電路中，保持電壓不變，電流（安）與電阻R（歐）成反比例函數(shù)關系。所以可設I=U。又根據(jù)圖象過（2,5）。所以容易R求得U=IR=10（伏）。評注：動態(tài)的數(shù)量變化預示著函數(shù)的廣泛運用。實際生活中的許多問題都可以用函數(shù)的有關知識來解決。盡管我們初中生的數(shù)學知識十分有限，但也能解決不少的實際問題。在我們學習的物理知識中，許多物理量之間的關系就是我們數(shù)學上的反比例函數(shù)關系。在倡導素質(zhì)教育的今天，在數(shù)學試題中滲透物理知識是一個新熱點。在近幾年的中考數(shù)學試題中，已開始出現(xiàn)數(shù)學與物理綜合的考題，學科結合型試題也是今后中考命題的一個趨勢，值得引起大家的注意。函數(shù)探索性試題例8如圖，P是y軸上一動點，是否存在平行于y軸的直線x=t,使它與直線y=x和直線y=-1X+2分別交于點D、E（E在D的上方），且4PDE為等腰直角三角形。若存在，求t的值及點P的坐標；若不存在，請說明原因。分析：對存在性探索試題，其一般解題思路是：先對作出肯定的假設，然后由肯定假設出發(fā)，結合已知條件進行正確的推理或計算，再對得出的結果進行分析檢驗，說明假設是否正確，由此得出符合條件的數(shù)學對象存 例8圖在或不存在。順著這種思路，對該題，我們很容易得到以下兩種解法。一4 一 8答案：存在。當t=5時，4PDE為等腰直角三角形，此時P點坐標為（0,5）或（0,4 4 .——一, 一85）;當t=7時，4PDE為等腰直角三角形，此時P點坐標為（0,7）；當t=-4時,△PDE為等腰直角三角形，此時P點坐標為（0,0）。評注：所謂探索型試題，是指缺少一定的題設和結論，需要學生自己推斷、補充并加以解決的一類數(shù)學考題。由于這類考題形式新穎、思考方向不確定，因此，綜合性和邏輯性較強，它著力于考查學生的觀察、分析、比較、歸納、推理等方面的能力，對提高學生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學生獨立解決問題的能力具有十分重要的作用，因此成為近年來各地中考命題的一類熱門題型。其具體形式多樣，其中，存在性探索題是最常見的一類。函數(shù)綜合題

例9如圖，已知拋物線的頂點坐標為M（1,4）,且經(jīng)過點N（2,3）,與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C。（1）求拋物線的解析式及點A、B、C的坐標；（2）若直線y=kx+t經(jīng)過C、M兩點，且與x軸交于點D，試證明四邊形CDAN是平行四邊形；（3）點P在拋物線的對稱軸x=1上運動，請?zhí)剿鳎涸趚軸上方是否存在這樣的P點，使以P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點，并且與直線CD相切，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。解：（1）A（-1,0）,B（3,0）；C（0,3）.（2）略。（3）滿足題意的點P存在，其坐標為（1,-4+2v6）。評注：這是最典型的中考數(shù)學壓軸題。幾何中的基本元素一一線段做為函數(shù)中的變量，求函數(shù)解析式，一般尋找一個等量關系列方程，再轉化為函數(shù)解析式，難點是求自變量取值范圍及畫函數(shù)圖象的示意圖。函數(shù)知識與幾何知識相互轉化的基礎是I點坐標1=線段長。一般解題思路是：（1）已知點坐標n線段長，線段長n……n點坐標；（2）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（3）解析式n點坐標n線段長n面積及其它。解綜合題中注意合理運用點在函數(shù)圖象上，點的坐標適合函數(shù)解析式：（1）已知點P（a,b）（a,b為已知數(shù)）代入含“待定系數(shù)”的函數(shù)解析式構造關于待定系數(shù)的方程。（2）點P（a,k）或（k,b）（其中a,6為已知數(shù)，k為待定系數(shù)）代入含“待定系數(shù)卜”的函數(shù)解析式，構造關于k的方程。（3）已知點P（a,y）或（x,b）（其中a,6為已知數(shù)，x,y為未知數(shù)），代入已知函數(shù)解析式，則可以用關于a的代數(shù)式表示y或用關于b的代數(shù)式表示x。（4）已知點P（x,b）（其中b為已知數(shù)，x為未知數(shù)），代入含待定系數(shù)k的函數(shù)解析式，可以用含k的代數(shù)式表示x。解函數(shù)一一幾何