233直線與平面垂直的性質(zhì)

2.3.3直線與平面垂直的性質(zhì)一、復(fù)習(xí)1。直線和平面垂直的定義

直線和平面相交，并且和這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直。2。直線和平面垂直怎樣判斷？判定定理：如果一個(gè)條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個(gè)平面.線線垂直線面垂直線面垂直定義或判定定理線面垂直定義唯一性公理一過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直唯一性公理二過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知直線垂直直線和平面垂直的判定

例1

求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面．

已知：，．

求證：．

證明：設(shè)是內(nèi)的任意一條直線．(定義)

可作定理使用線線平行的性質(zhì)定理：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一個(gè)平面．若a∥b，a⊥α則b⊥α．這個(gè)可以當(dāng)作直線和平面垂直的又一個(gè)判定定理，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們改變這個(gè)定理的題設(shè)和結(jié)論，寫出它的逆命題．若a⊥α，b⊥α，則a∥b．

下面就讓我們看看這個(gè)命題是否正確？已知：a⊥α，b⊥α求證：a∥b．分析：a、b是空間中的兩條直線，要證明它們互相平行，一般先證明它們共面，然后轉(zhuǎn)化為平面幾何中的平行判定問(wèn)題，但這個(gè)命題的條件比較簡(jiǎn)單，想說(shuō)明a、b共面就很困難了，更何況還要證明平行．我們能否從另一個(gè)角度來(lái)證明，比如，a、b不平行會(huì)有什么矛盾？這就是我們提到過(guò)的反證法．您知道用反證法證明命題的一般步驟嗎？否定結(jié)論→推出矛盾→肯定結(jié)論證明：假定b與a不平行設(shè)b∩α＝O，b′是經(jīng)過(guò)點(diǎn)O與直線a平行的直線，∵a∥b′，a⊥α，∴b′⊥α．經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)O的兩條直線b，b′都垂直于平面α是不可能的．因此，a∥b．已知：a⊥α，b⊥α求證：a∥b．線線垂直線面垂直判定定理

性質(zhì)定理如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．這就是直線和平面垂直的性質(zhì)定理；平行于同一條直線的兩條直線平行平面中空間中√√垂直于同一條直線的兩條直線平行平面中空間中√╳兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。平面中空間中√√學(xué)習(xí)了直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，我們?cè)賮?lái)看看點(diǎn)到平面的距離的定義：從平面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．例1、已知：一條直線l和一個(gè)平面α平行．求證：直線l上各點(diǎn)到平面α的距離相等．分析：首先，我們應(yīng)該明確，點(diǎn)到平面的距離定義，在直線l上任意取兩點(diǎn)A、B，并過(guò)這兩點(diǎn)作平面α的垂線段，現(xiàn)在只要證明這兩條垂線段長(zhǎng)相等即可．證明：過(guò)直線l上任意兩點(diǎn)A、B分別引平面α的垂線AA1、BB1，垂足分別為A1、B1∵AA1⊥α，BB1⊥α，∴AA1∥BB1（直線與平面垂直的性質(zhì)定理）．設(shè)經(jīng)過(guò)直線AA1和BB1的平面為β，β∩α＝A1B1．∵l∥α，∴l(xiāng)∥A1B1．∴AA1=BB1（直線與平面平行的性質(zhì)定理）即直線上各點(diǎn)到平面的距離相等．直線和平面的距離的定義：一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離．本例題的證明，實(shí)際上是把立體幾何中直線上的點(diǎn)到平面的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面幾何中兩條平行直線的距離問(wèn)題．這種把立體幾何的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面幾何的問(wèn)題的方法，是解決立體幾何問(wèn)題時(shí)常常用到得方法．思考（課后練習(xí)4）安裝日光燈時(shí)，怎樣才能使燈管和天棚、地板平行？本題仿照例題2方法很容易證明，但以下的論述卻是假命題，你知道是為什么嗎？直線l上A、B兩點(diǎn)到平面α的距離相等，那么l∥α．只要兩條吊線等長(zhǎng)．轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型是，如圖1-76已知：直線l上A、B兩點(diǎn)到平面α的距離相等，求證：l∥α．例2、圖1-77，已知E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊AD，AB的中點(diǎn)，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面．（1）求證：EF⊥平面GMC．（2）若AB＝4，GC＝2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離．解：（1）連結(jié)BD交AC于O，∵E，F(xiàn)是正方形ABCD邊AD，AB的中點(diǎn)，AC⊥BD，∴EF⊥AC．∵AC∩GC＝C，∴EF⊥平面GMC．（2）可證BD∥平面EFG，由例題2，正方形中心O到平面EFG（五）歸納小結(jié)，強(qiáng)化思想本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了直線和平面垂直的性質(zhì)定理，以及兩個(gè)距離的定義．定理的證明用到反證法，證明幾何問(wèn)題常規(guī)的方法有兩種：直接證法和間接證法，直接證法常依據(jù)定義、定理、公理，并適當(dāng)引用平面幾何的知識(shí)；用直接法證明比較困難時(shí)，我們可以考慮間接證法，反證法就是一種間接證法．線線垂直線面垂直判定定理、定義

性質(zhì)定理、定義六、練習(xí)1．已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB＝6cm，BC＝4cm，在CD上截取CE＝4cm，以BE為棱將矩形折起，使△BC′E的高C′F⊥平面ABED，求：（1）點(diǎn)C′到平面ABED的距離；（2）C′到邊AB的距離；（3）C′到AD的距離．（1）作FH⊥AB于H，作FG⊥AD于G，則C′H⊥AB，2．如圖1-79，已知：ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD