【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2011屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 7-3平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線的位置關(guān)系課件 理 蘇教版

第3課時(shí)平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線的位置關(guān)系1．理解空間直線，平面位置關(guān)系的定義．2．了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理．3．能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．【命題預(yù)測(cè)】平面的基本性質(zhì)、公理的推論都是每年必考的知識(shí)點(diǎn)，主要用于證明一條直線在一個(gè)平面內(nèi)、點(diǎn)共線或點(diǎn)在線上、平面相交、平面存在且唯一等問題，常出現(xiàn)在大題中，填空題中也經(jīng)常出現(xiàn)這些性質(zhì)及其推論的運(yùn)用．【應(yīng)試對(duì)策】1．圖形對(duì)于分析空間元素的位置關(guān)系、展開想象，探索解題思路是至關(guān)重要的，而三個(gè)公理是立體幾何作圖的依據(jù)，因此，在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)重視畫圖與識(shí)圖，既能正確運(yùn)用實(shí)、虛線畫出結(jié)構(gòu)合理的直觀示意圖，又能正確識(shí)別空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，要注意通過作圖加深對(duì)公理的掌握與理解，對(duì)于公理2，必須透徹理解“有且只有”的含義，這里的“有”是說平面存在，“只有”是說平面唯一，“有且只有”強(qiáng)調(diào)平面存在并且唯一這兩個(gè)方面．在學(xué)習(xí)時(shí)還應(yīng)深刻理解確定平面的條件，如公理2的條件是“不在同一直線上的三點(diǎn)”．2．證明點(diǎn)或線的共面問題是平面基本性質(zhì)的具體應(yīng)用，主要是先確定所在的平面，再證明其他線、點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi)．方法有兩種，一是先用部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面，再證其余的也在這個(gè)平面內(nèi)；二是證明兩個(gè)平面重合．有時(shí)也采用反證法，且反證法是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)方法，也是立體幾何中經(jīng)常用的方法．證明點(diǎn)共線的問題，可先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他的點(diǎn)也在這條直線上，也可以證明所有的點(diǎn)都在一條特定的直線(如由公理3確定的兩平面的交線)上，證明線共點(diǎn)問題，可先由其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證這個(gè)點(diǎn)也在其他的直線上，也可以證明所有的直線都經(jīng)過一個(gè)特定的點(diǎn)．3．等角定理主要解決了角在空間中的平移問題，它揭示了一個(gè)角在空間平移后，其大小不會(huì)改變．理解異面直線的定義時(shí)，對(duì)“不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線”要有深刻的認(rèn)識(shí)，其中“任何”是不可缺少的，不能誤解為“不同在某一個(gè)平面內(nèi)”．求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過平行移動(dòng)直線，把異面問題化為共面問題來解決．根據(jù)空間等角定理及其推論，知異面直線所成角的大小與頂點(diǎn)位置無關(guān)，可將角的頂點(diǎn)取在其中的一條直線上，特別地，可以取在其中一條直線與另一條直線所在平面的交點(diǎn)或異面直線的端點(diǎn)．要注意異面直線所成角的范圍是.【知識(shí)拓展】異面直線1．定義：所謂異面直線是指不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線．2．性質(zhì)：兩條異面直線既不相交也不平行．3．判定定理 過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線．如圖所示，該圖形的符號(hào)語言是：已知a?α，A?α，B∈α，B?a

?直線AB和a是異面直線．畫異面直線要依托平面，一般有以下兩種畫法：1．平面的基本性質(zhì) 公理1：如果一條直線上的

在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)． 公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集 合是經(jīng)過這個(gè)公共點(diǎn)的

． 公理3：經(jīng)過不在

的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．兩點(diǎn)一條直線同一條直線上2．直線與直線的位置關(guān)系

思考：如何判斷兩直線是異面直線？ 提示：(1)根據(jù)定義；(2)利用反證法．3．平行線的傳遞性 公理4：平行于

的兩條直線互相平行．4．等角定理 如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別

并且方向相同，那么這兩個(gè)角等．5．異面直線的判定定理 過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是

.

同一條直線平行異面直線6．異面直線所成的角 a與b是異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O，作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線 a′和b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a，b

．若異面直線a，b 所成的角是直角，則稱異面直線a，b

，記作a⊥b.所成的角互相垂直1．“直線l上有兩點(diǎn)在平面α內(nèi)”是“平面α經(jīng)過l”的________條件；“兩個(gè)平面有公共點(diǎn)”是“這兩個(gè)平面相交”的______條件． 答案：充要充要如圖，“平面α與平面ABC只有一個(gè)公共點(diǎn)”，此結(jié)論錯(cuò)誤的原因是______________________________．

答案：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，而不是只有一個(gè)公共點(diǎn).3．如圖，在三棱錐O—ABC中，D、E、F分別是棱OA、OB、OC的三等分點(diǎn)，在△DEF和△ABC中，角一定相等的有________對(duì)． 解析：由得DE∥AB，

EF∥BC，DF∥AC.由等角定理知， ∠EDF=∠BAC，∠DEF=∠ABC，∠DFE=∠ACB.

答案：34．如圖，平面α與平面β相交于EF，C∈EF，C′∈EF，AC?α，A′C′?α，BC?β，B′C′?β，且AC∥A′C′，BC∥B′C′，∠ACB＝120°，∠A′C′B′＝________. 答案：120°5．下列各圖是正方體和正四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，過四個(gè)點(diǎn)共面的圖形是________．(寫出符合要求序號(hào))解析：在④選項(xiàng)中，可證Q點(diǎn)所在棱與PRS平行，因此，P、Q、R、S四點(diǎn)不共面．可證①中PQRS為梯形；③中可證PQRS為平行四邊形；②中如圖取A1A與BC的中點(diǎn)分別為M、N，可證明PMQNRS為平面圖形，且PMQNRS為正六邊形．答案：①②③ 平面的基本性質(zhì)包括三個(gè)公理及公理3的三個(gè)推論．公理1是確定直線在平面內(nèi)的依據(jù)(也可以說是平面經(jīng)過直線的依據(jù))．公理2是確定兩個(gè)平面相交的依據(jù)，并且知道當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，它們相交于一條公共直線，用它可以證明一些點(diǎn)共線的問題．公理3及其推論都是確定一個(gè)平面的依據(jù)．【例1】如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，

BC

AD，BE

FA，G、H分別為FA、FD的中點(diǎn)． (1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形； (2)C、D、F、E四點(diǎn)是否共面？為什么？(2)解法一：證明D點(diǎn)在EF、CH確定的平面內(nèi)．解法二：延長(zhǎng)FE、DC分別與AB交于M，M′，可證M與M′重合，從而FE與DC相交．

證明：(1)由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，可得GH綊AD.又BC綊AD，∴GH綊BC，∴四邊形BCHG為平行四邊形．(2)解法一：由BE綊AF，G為FA中點(diǎn)知，BE綊FG，∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四點(diǎn)共面．解法二：如右圖，延長(zhǎng)FE，DC分別與AB交于點(diǎn)M，M′，∵BE綊AF，∴B為MA中點(diǎn)．∴BC綊AD，∴B為M′A中點(diǎn)，∴M與M′重合，即FE與DC交于點(diǎn)M(M′)，∴C、D、F、E四點(diǎn)共面．變式1：設(shè)E、F、G、H為空間四點(diǎn)，命題甲：點(diǎn)E、F、G、H不共面；命 題乙：直線EF和GH不相交．試判斷甲是乙成立的什么條件？ 解：∵當(dāng)點(diǎn)E、F、G、H不共面時(shí)，直線EF和GH不相交，∴甲是乙成立的 充分條件． ∵當(dāng)EF和GH平行時(shí)，EF和GH不相交，點(diǎn)E、F、G、H在同一個(gè)平面內(nèi)， ∴甲不是乙成立的必要條件．綜上所述，甲是乙成立的充分不必要條件．利用兩平面交線的唯一性，證明諸點(diǎn)在兩平面的交線上是證明空間諸點(diǎn)共線的常用方法．證明點(diǎn)共線的方法從另一個(gè)角度講也就是證明三線共點(diǎn)的方法．證明線共點(diǎn)，基本方法是先確定兩條直線的交點(diǎn)，再證交點(diǎn)在第三條直線上，也可將直線歸結(jié)為兩平面的交線，交點(diǎn)歸結(jié)為兩平面的公共點(diǎn)，由公理2證明點(diǎn)在直線上．【例2】已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G 分別是邊BC、CD上的點(diǎn)， (1)若F、G分別為BC、CD的中點(diǎn)，試證EFGH為平行四邊形； (2)若＝2，試證EF、AC、HG相交于一點(diǎn)．證明：(1)如圖連結(jié)AC，BD，則EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG，則EFGH為平行四邊形．(2)∵E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，∴EH綊BD；又∵＝2，∴FG綊BD，∴EFGH為梯形，則EF，GH相交于一點(diǎn)O，即O∈EF，O∈GH，∴O∈平面ABC，O∈平面ADC，又面ABC∩面ADC＝AC，則O∈AC，即EF、AC、HG相交于一點(diǎn)．變式2：(1)三個(gè)平面兩兩相交，則三個(gè)平面的交線可能有______________， 可能將整個(gè)空間劃分為____________． (2)已知三個(gè)平面兩兩相交且有三條交線，試證三條交線互相平行或者相交 于一點(diǎn)． 答案：(1)一條或三條若三個(gè)平面有一條交線，則三個(gè)平面將空間分為六 部分，若三個(gè)平面有三條交線可將空間分為七或八部分(2)證明略判定兩直線為異面直線的方法：1．定義法：判定兩條直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)．2．判定定理：過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直 線是異面直線，如圖所示．3．反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩直線平行或相交，由假設(shè) 的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)密的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)肯定兩條直線異面．此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到．【例3】如圖，已知平面α與平面β交于a，b在β內(nèi)，且b與a交于A，c在 α內(nèi)，且c∥a，求證：b、c是異面直線．

思路點(diǎn)撥：本例的證法不只一種可采用反證法也可采用異面直線的判定定 理來證明．證法一：假設(shè)b、c不是異面直線，它們同在平面γ內(nèi)．∵平面α、γ均過直線c與點(diǎn)A，∴α與γ重合，a在α內(nèi)．∴a在γ內(nèi)．又∵γ與β均過直線a與b，∴β與γ重合，從而α與β重合，這與題設(shè)α與β交于a相矛盾．∴b、c是異面直線．證法二：假設(shè)b、c不是異面直線，則b與c相交或平行．若b與c相交，∵a∥c，a與b相交，從而a、b、c在同一平面內(nèi)，即平面α與β重合，這與題設(shè)α與β交于a矛盾．若b與c平行，∵a∥c，∴a∥b這與題設(shè)a與b交于A矛盾．綜上可知，b與c是異面直線．證法三：在b上取一點(diǎn)P(不同于A)，則P?α，∵c?α，A?c，∴PA與c是異面直線，即b與c是異面直線．

變式3：如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別是A1B1，B1C1的 中點(diǎn)，問： (1)AM和CN是否是異面直線？說明理由； (2)D1B和CC1是否是異面直線？說明理由．解：(1)不是異面直線．理由：∵M(jìn)、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)，∴MN∥A1C1，又∵A1A綊D1D，而D1D綊C1C，∴A1A綊C1C，∴四邊形A1ACC1為平行四邊形．∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，∴A、M、N、C在同一個(gè)平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線．(2)是異面直線，證明如下：假設(shè)D1B與CC1在同一個(gè)平面D1CC1內(nèi)，則B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1.∴BC?平面CC1D1，∴B∈面CC1D1D，這與ABCD—A1B1C1D1是正方體相矛盾．∴假設(shè)不成立，故D1B與CC1是異面直線.【規(guī)律方法總結(jié)】1．證明若干個(gè)點(diǎn)共線的重要方法之一，是證明這些點(diǎn)分別是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)公理3可知它們共線．2．證明三線共點(diǎn)，可證明兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上．3．證明點(diǎn)共面、線共面的基本途徑是先由滿足確定平面條件的幾個(gè)點(diǎn)或幾條直線作出平面，再證明其余元素在該平面內(nèi)．4．處理異面問題，往往經(jīng)平移后轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的問題．5．證明異面直線常用反證法.

【高考真題】【例4】(2009·安徽卷)對(duì)于四面體ABCD，下列命題正確的是

(寫出所有正確命題的編號(hào))． ①相對(duì)棱AB與CD所在的直線異面；②由頂點(diǎn)A作四面體的高，其垂足是△BCD三條高線的交點(diǎn)；③若分別作△ABC和△ABD的邊AB上的高，則這兩條高所在的直線異面；④分別作三組相對(duì)棱中點(diǎn)的連線，所得的三條線段相交于一點(diǎn)； ⑤最長(zhǎng)棱必有某個(gè)端點(diǎn)，由它引出的另兩條棱的長(zhǎng)度之和大于最長(zhǎng)棱．分析：畫出圖形，根據(jù)各個(gè)命題尋找其成立的根據(jù)，或者尋找其不成立的反例．規(guī)范解答：命題①中，如果AB，CD共面，則四點(diǎn)A，B，C，D共面，ABCD為平面圖形，與ABCD是四面體矛盾，故命題①正確；命題②中，如果命題成立，即頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影為底面三角形的垂心，如圖(1)所示，則CD⊥AH，CD⊥BE，根據(jù)線面垂直的判定定理，知CD⊥平面ABH，故CD⊥AB，同理可以證明AD⊥BC，AC⊥BD，但這些條件在題目的已知中是不具備的，故命題②不一定成立，即命題不正確；命題③中，如圖(2)所示，當(dāng)△ABC，△ABD的AB邊上的高的垂足為同一個(gè)點(diǎn)時(shí)，命題不成立，這種情況是完全可能的，如當(dāng)CA＝CB，DA＝DB時(shí)，故命題③不正確；命題④中，如圖(3)所示，E，F(xiàn)，G，H，I，J分別為BC，AD，CD，AB，AC，BD的中點(diǎn)，連接各中點(diǎn)，容易證明四邊形EHFG為平行四邊形，故HG，EF相交于一點(diǎn)，且該點(diǎn)平分兩線段，即交點(diǎn)為線段HG的中點(diǎn)，設(shè)為O；同理可以證明HG，IJ也相交于一點(diǎn)，且在該點(diǎn)互相平分，即線段IJ也過線段HG的中點(diǎn)O，故三組對(duì)棱中點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，故命題④正確；命題⑤中，如圖(2)所示，設(shè)最長(zhǎng)棱為AC，假設(shè)結(jié)論不成立，即不存在端點(diǎn)，由它引出的另兩條棱的長(zhǎng)度之和大于最長(zhǎng)棱，即從兩個(gè)端點(diǎn)A，C引出的兩條棱的長(zhǎng)度之和均不大于AC，即AB＋AD≤AC，CB＋CD≤AC，兩個(gè)不等式相加，得AB＋AD＋CB＋CD≤2AC，即(AB＋CB)＋(AD＋CD)≤2AC.在△ABC，△ADC中AB＋CB＞AC，AD＋CD＞AC，兩式相加得(AB＋CB)＋(AD＋CD)＞2AC，得出矛盾結(jié)論，說明假設(shè)不成立，故命題⑤正確．故填①④⑤.

【全解密】【命題探究】本題考查異面直線的概念、直線與直線、直線與平面垂直的證明、空間三線共點(diǎn)的證明、反證法在立體幾何中的應(yīng)用，是一道能全面檢測(cè)考生對(duì)傳統(tǒng)立體幾何方法掌握程度、空間想象能力、邏輯推理能力，分析問題、解決問題能力的試題．本題作為一道填空題，其目的不是要求考生在考場(chǎng)上對(duì)各個(gè)命題作出嚴(yán)格的理論證明，而是要求考生根據(jù)自己的知識(shí)積累和直覺想象、空間想象作出選擇，是一道優(yōu)秀的考題．【課本探源】本題中的命題②，實(shí)際上是由一道經(jīng)典的立體幾何題改編而來，這道題目是“四面體的頂點(diǎn)在底面上的射影是底面三角形垂心的充要條件是四面體有兩組對(duì)棱互相垂直”．命題④是各個(gè)版本教材都有的一個(gè)題目“空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求證四邊形EFGH