【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2011屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 7-3平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線的位置關(guān)系課件 理 蘇教版_第1頁
【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2011屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 7-3平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線的位置關(guān)系課件 理 蘇教版_第2頁
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文檔簡介

第3課時(shí)平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線的位置關(guān)系1.理解空間直線,平面位置關(guān)系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題.【命題預(yù)測】平面的基本性質(zhì)、公理的推論都是每年必考的知識(shí)點(diǎn),主要用于證明一條直線在一個(gè)平面內(nèi)、點(diǎn)共線或點(diǎn)在線上、平面相交、平面存在且唯一等問題,常出現(xiàn)在大題中,填空題中也經(jīng)常出現(xiàn)這些性質(zhì)及其推論的運(yùn)用.【應(yīng)試對(duì)策】1.圖形對(duì)于分析空間元素的位置關(guān)系、展開想象,探索解題思路是至關(guān)重要的,而三個(gè)公理是立體幾何作圖的依據(jù),因此,在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)重視畫圖與識(shí)圖,既能正確運(yùn)用實(shí)、虛線畫出結(jié)構(gòu)合理的直觀示意圖,又能正確識(shí)別空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,要注意通過作圖加深對(duì)公理的掌握與理解,對(duì)于公理2,必須透徹理解“有且只有”的含義,這里的“有”是說平面存在,“只有”是說平面唯一,“有且只有”強(qiáng)調(diào)平面存在并且唯一這兩個(gè)方面.在學(xué)習(xí)時(shí)還應(yīng)深刻理解確定平面的條件,如公理2的條件是“不在同一直線上的三點(diǎn)”.2.證明點(diǎn)或線的共面問題是平面基本性質(zhì)的具體應(yīng)用,主要是先確定所在的平面,再證明其他線、點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi).方法有兩種,一是先用部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面,再證其余的也在這個(gè)平面內(nèi);二是證明兩個(gè)平面重合.有時(shí)也采用反證法,且反證法是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)方法,也是立體幾何中經(jīng)常用的方法.證明點(diǎn)共線的問題,可先由兩點(diǎn)確定一條直線,再證其他的點(diǎn)也在這條直線上,也可以證明所有的點(diǎn)都在一條特定的直線(如由公理3確定的兩平面的交線)上,證明線共點(diǎn)問題,可先由其中兩條直線交于一點(diǎn),再證這個(gè)點(diǎn)也在其他的直線上,也可以證明所有的直線都經(jīng)過一個(gè)特定的點(diǎn).3.等角定理主要解決了角在空間中的平移問題,它揭示了一個(gè)角在空間平移后,其大小不會(huì)改變.理解異面直線的定義時(shí),對(duì)“不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線”要有深刻的認(rèn)識(shí),其中“任何”是不可缺少的,不能誤解為“不同在某一個(gè)平面內(nèi)”.求兩條異面直線所成角的大小,一般方法是通過平行移動(dòng)直線,把異面問題化為共面問題來解決.根據(jù)空間等角定理及其推論,知異面直線所成角的大小與頂點(diǎn)位置無關(guān),可將角的頂點(diǎn)取在其中的一條直線上,特別地,可以取在其中一條直線與另一條直線所在平面的交點(diǎn)或異面直線的端點(diǎn).要注意異面直線所成角的范圍是.【知識(shí)拓展】異面直線1.定義:所謂異面直線是指不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線.2.性質(zhì):兩條異面直線既不相交也不平行.3.判定定理 過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線,和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.如圖所示,該圖形的符號(hào)語言是:已知a?α,A?α,B∈α,B?a

?直線AB和a是異面直線.畫異面直線要依托平面,一般有以下兩種畫法:1.平面的基本性質(zhì) 公理1:如果一條直線上的

在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi). 公理2:如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們還有其他公共點(diǎn),這些公共點(diǎn)的集 合是經(jīng)過這個(gè)公共點(diǎn)的

. 公理3:經(jīng)過不在

的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.兩點(diǎn)一條直線同一條直線上2.直線與直線的位置關(guān)系

思考:如何判斷兩直線是異面直線? 提示:(1)根據(jù)定義;(2)利用反證法.3.平行線的傳遞性 公理4:平行于

的兩條直線互相平行.4.等角定理 如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別

并且方向相同,那么這兩個(gè)角等.5.異面直線的判定定理 過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線,和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是

.

同一條直線平行異面直線6.異面直線所成的角 a與b是異面直線,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O,作直線a′∥a,b′∥b,我們把直線 a′和b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a,b

.若異面直線a,b 所成的角是直角,則稱異面直線a,b

,記作a⊥b.所成的角互相垂直1.“直線l上有兩點(diǎn)在平面α內(nèi)”是“平面α經(jīng)過l”的________條件;“兩個(gè)平面有公共點(diǎn)”是“這兩個(gè)平面相交”的______條件. 答案:充要充要如圖,“平面α與平面ABC只有一個(gè)公共點(diǎn)”,此結(jié)論錯(cuò)誤的原因是______________________________.

答案:如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們還有其他公共點(diǎn),而不是只有一個(gè)公共點(diǎn).3.如圖,在三棱錐O—ABC中,D、E、F分別是棱OA、OB、OC的三等分點(diǎn),在△DEF和△ABC中,角一定相等的有________對(duì). 解析:由得DE∥AB,

EF∥BC,DF∥AC.由等角定理知, ∠EDF=∠BAC,∠DEF=∠ABC,∠DFE=∠ACB.

答案:34.如圖,平面α與平面β相交于EF,C∈EF,C′∈EF,AC?α,A′C′?α,BC?β,B′C′?β,且AC∥A′C′,BC∥B′C′,∠ACB=120°,∠A′C′B′=________. 答案:120°5.下列各圖是正方體和正四面體,P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn),過四個(gè)點(diǎn)共面的圖形是________.(寫出符合要求序號(hào))解析:在④選項(xiàng)中,可證Q點(diǎn)所在棱與PRS平行,因此,P、Q、R、S四點(diǎn)不共面.可證①中PQRS為梯形;③中可證PQRS為平行四邊形;②中如圖取A1A與BC的中點(diǎn)分別為M、N,可證明PMQNRS為平面圖形,且PMQNRS為正六邊形.答案:①②③ 平面的基本性質(zhì)包括三個(gè)公理及公理3的三個(gè)推論.公理1是確定直線在平面內(nèi)的依據(jù)(也可以說是平面經(jīng)過直線的依據(jù)).公理2是確定兩個(gè)平面相交的依據(jù),并且知道當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí),它們相交于一條公共直線,用它可以證明一些點(diǎn)共線的問題.公理3及其推論都是確定一個(gè)平面的依據(jù).【例1】如圖,四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,

BC

AD,BE

FA,G、H分別為FA、FD的中點(diǎn). (1)證明:四邊形BCHG是平行四邊形; (2)C、D、F、E四點(diǎn)是否共面?為什么?(2)解法一:證明D點(diǎn)在EF、CH確定的平面內(nèi).解法二:延長FE、DC分別與AB交于M,M′,可證M與M′重合,從而FE與DC相交.

證明:(1)由已知FG=GA,F(xiàn)H=HD,可得GH綊AD.又BC綊AD,∴GH綊BC,∴四邊形BCHG為平行四邊形.(2)解法一:由BE綊AF,G為FA中點(diǎn)知,BE綊FG,∴四邊形BEFG為平行四邊形,∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH,∴EF∥CH,∴EF與CH共面.又D∈FH,∴C、D、F、E四點(diǎn)共面.解法二:如右圖,延長FE,DC分別與AB交于點(diǎn)M,M′,∵BE綊AF,∴B為MA中點(diǎn).∴BC綊AD,∴B為M′A中點(diǎn),∴M與M′重合,即FE與DC交于點(diǎn)M(M′),∴C、D、F、E四點(diǎn)共面.變式1:設(shè)E、F、G、H為空間四點(diǎn),命題甲:點(diǎn)E、F、G、H不共面;命 題乙:直線EF和GH不相交.試判斷甲是乙成立的什么條件? 解:∵當(dāng)點(diǎn)E、F、G、H不共面時(shí),直線EF和GH不相交,∴甲是乙成立的 充分條件. ∵當(dāng)EF和GH平行時(shí),EF和GH不相交,點(diǎn)E、F、G、H在同一個(gè)平面內(nèi), ∴甲不是乙成立的必要條件.綜上所述,甲是乙成立的充分不必要條件.利用兩平面交線的唯一性,證明諸點(diǎn)在兩平面的交線上是證明空間諸點(diǎn)共線的常用方法.證明點(diǎn)共線的方法從另一個(gè)角度講也就是證明三線共點(diǎn)的方法.證明線共點(diǎn),基本方法是先確定兩條直線的交點(diǎn),再證交點(diǎn)在第三條直線上,也可將直線歸結(jié)為兩平面的交線,交點(diǎn)歸結(jié)為兩平面的公共點(diǎn),由公理2證明點(diǎn)在直線上.【例2】已知空間四邊形ABCD中,E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn),F(xiàn)、G 分別是邊BC、CD上的點(diǎn), (1)若F、G分別為BC、CD的中點(diǎn),試證EFGH為平行四邊形; (2)若=2,試證EF、AC、HG相交于一點(diǎn).證明:(1)如圖連結(jié)AC,BD,則EF∥AC,HG∥AC,因此EF∥HG;同理EH∥FG,則EFGH為平行四邊形.(2)∵E、H分別是AB、AD的中點(diǎn),∴EH綊BD;又∵=2,∴FG綊BD,∴EFGH為梯形,則EF,GH相交于一點(diǎn)O,即O∈EF,O∈GH,∴O∈平面ABC,O∈平面ADC,又面ABC∩面ADC=AC,則O∈AC,即EF、AC、HG相交于一點(diǎn).變式2:(1)三個(gè)平面兩兩相交,則三個(gè)平面的交線可能有______________, 可能將整個(gè)空間劃分為____________. (2)已知三個(gè)平面兩兩相交且有三條交線,試證三條交線互相平行或者相交 于一點(diǎn). 答案:(1)一條或三條若三個(gè)平面有一條交線,則三個(gè)平面將空間分為六 部分,若三個(gè)平面有三條交線可將空間分為七或八部分(2)證明略判定兩直線為異面直線的方法:1.定義法:判定兩條直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi).2.判定定理:過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線,與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直 線是異面直線,如圖所示.3.反證法:先假設(shè)兩條直線不是異面直線,即兩直線平行或相交,由假設(shè) 的條件出發(fā),經(jīng)過嚴(yán)密的推理,導(dǎo)出矛盾,從而否定假設(shè)肯定兩條直線異面.此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到.【例3】如圖,已知平面α與平面β交于a,b在β內(nèi),且b與a交于A,c在 α內(nèi),且c∥a,求證:b、c是異面直線.

思路點(diǎn)撥:本例的證法不只一種可采用反證法也可采用異面直線的判定定 理來證明.證法一:假設(shè)b、c不是異面直線,它們同在平面γ內(nèi).∵平面α、γ均過直線c與點(diǎn)A,∴α與γ重合,a在α內(nèi).∴a在γ內(nèi).又∵γ與β均過直線a與b,∴β與γ重合,從而α與β重合,這與題設(shè)α與β交于a相矛盾.∴b、c是異面直線.證法二:假設(shè)b、c不是異面直線,則b與c相交或平行.若b與c相交,∵a∥c,a與b相交,從而a、b、c在同一平面內(nèi),即平面α與β重合,這與題設(shè)α與β交于a矛盾.若b與c平行,∵a∥c,∴a∥b這與題設(shè)a與b交于A矛盾.綜上可知,b與c是異面直線.證法三:在b上取一點(diǎn)P(不同于A),則P?α,∵c?α,A?c,∴PA與c是異面直線,即b與c是異面直線.

變式3:如圖所示,正方體ABCD—A1B1C1D1中,M、N分別是A1B1,B1C1的 中點(diǎn),問: (1)AM和CN是否是異面直線?說明理由; (2)D1B和CC1是否是異面直線?說明理由.解:(1)不是異面直線.理由:∵M(jìn)、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn),∴MN∥A1C1,又∵A1A綊D1D,而D1D綊C1C,∴A1A綊C1C,∴四邊形A1ACC1為平行四邊形.∴A1C1∥AC,得到MN∥AC,∴A、M、N、C在同一個(gè)平面內(nèi),故AM和CN不是異面直線.(2)是異面直線,證明如下:假設(shè)D1B與CC1在同一個(gè)平面D1CC1內(nèi),則B∈平面CC1D1,C∈平面CC1D1.∴BC?平面CC1D1,∴B∈面CC1D1D,這與ABCD—A1B1C1D1是正方體相矛盾.∴假設(shè)不成立,故D1B與CC1是異面直線.【規(guī)律方法總結(jié)】1.證明若干個(gè)點(diǎn)共線的重要方法之一,是證明這些點(diǎn)分別是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn),再根據(jù)公理3可知它們共線.2.證明三線共點(diǎn),可證明兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上.3.證明點(diǎn)共面、線共面的基本途徑是先由滿足確定平面條件的幾個(gè)點(diǎn)或幾條直線作出平面,再證明其余元素在該平面內(nèi).4.處理異面問題,往往經(jīng)平移后轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的問題.5.證明異面直線常用反證法.

【高考真題】【例4】(2009·安徽卷)對(duì)于四面體ABCD,下列命題正確的是

(寫出所有正確命題的編號(hào)). ①相對(duì)棱AB與CD所在的直線異面;②由頂點(diǎn)A作四面體的高,其垂足是△BCD三條高線的交點(diǎn);③若分別作△ABC和△ABD的邊AB上的高,則這兩條高所在的直線異面;④分別作三組相對(duì)棱中點(diǎn)的連線,所得的三條線段相交于一點(diǎn); ⑤最長棱必有某個(gè)端點(diǎn),由它引出的另兩條棱的長度之和大于最長棱.分析:畫出圖形,根據(jù)各個(gè)命題尋找其成立的根據(jù),或者尋找其不成立的反例.規(guī)范解答:命題①中,如果AB,CD共面,則四點(diǎn)A,B,C,D共面,ABCD為平面圖形,與ABCD是四面體矛盾,故命題①正確;命題②中,如果命題成立,即頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影為底面三角形的垂心,如圖(1)所示,則CD⊥AH,CD⊥BE,根據(jù)線面垂直的判定定理,知CD⊥平面ABH,故CD⊥AB,同理可以證明AD⊥BC,AC⊥BD,但這些條件在題目的已知中是不具備的,故命題②不一定成立,即命題不正確;命題③中,如圖(2)所示,當(dāng)△ABC,△ABD的AB邊上的高的垂足為同一個(gè)點(diǎn)時(shí),命題不成立,這種情況是完全可能的,如當(dāng)CA=CB,DA=DB時(shí),故命題③不正確;命題④中,如圖(3)所示,E,F(xiàn),G,H,I,J分別為BC,AD,CD,AB,AC,BD的中點(diǎn),連接各中點(diǎn),容易證明四邊形EHFG為平行四邊形,故HG,EF相交于一點(diǎn),且該點(diǎn)平分兩線段,即交點(diǎn)為線段HG的中點(diǎn),設(shè)為O;同理可以證明HG,IJ也相交于一點(diǎn),且在該點(diǎn)互相平分,即線段IJ也過線段HG的中點(diǎn)O,故三組對(duì)棱中點(diǎn)的連線交于一點(diǎn),故命題④正確;命題⑤中,如圖(2)所示,設(shè)最長棱為AC,假設(shè)結(jié)論不成立,即不存在端點(diǎn),由它引出的另兩條棱的長度之和大于最長棱,即從兩個(gè)端點(diǎn)A,C引出的兩條棱的長度之和均不大于AC,即AB+AD≤AC,CB+CD≤AC,兩個(gè)不等式相加,得AB+AD+CB+CD≤2AC,即(AB+CB)+(AD+CD)≤2AC.在△ABC,△ADC中AB+CB>AC,AD+CD>AC,兩式相加得(AB+CB)+(AD+CD)>2AC,得出矛盾結(jié)論,說明假設(shè)不成立,故命題⑤正確.故填①④⑤.

【全解密】【命題探究】本題考查異面直線的概念、直線與直線、直線與平面垂直的證明、空間三線共點(diǎn)的證明、反證法在立體幾何中的應(yīng)用,是一道能全面檢測考生對(duì)傳統(tǒng)立體幾何方法掌握程度、空間想象能力、邏輯推理能力,分析問題、解決問題能力的試題.本題作為一道填空題,其目的不是要求考生在考場上對(duì)各個(gè)命題作出嚴(yán)格的理論證明,而是要求考生根據(jù)自己的知識(shí)積累和直覺想象、空間想象作出選擇,是一道優(yōu)秀的考題.【課本探源】本題中的命題②,實(shí)際上是由一道經(jīng)典的立體幾何題改編而來,這道題目是“四面體的頂點(diǎn)在底面上的射影是底面三角形垂心的充要條件是四面體有兩組對(duì)棱互相垂直”.命題④是各個(gè)版本教材都有的一個(gè)題目“空間四邊形ABCD中,E,F(xiàn),G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),求證四邊形EFGH

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