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平面向量的數(shù)量積2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角定義:
一般地,實數(shù)λ與向量a
的積是一個向量,記作λa,它的長度和方向規(guī)定如下:(1)|λa|=|λ||a|(2)當λ>0時,λa
的方向與a方向相同;當λ<0時,λa
的方向與a方向相反;特別地,當λ=0或a=0時,λa=0運算律:設(shè)a,b為任意向量,λ,μ為任意實數(shù),則有:①λ(μa)=(λμ)
a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λbθ=180°θ=90°已知兩個非零向量a和b,作OA=a,
OB=b,則∠AOB=θ
(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角。θ=0°特殊情況OBAθ向量的夾角2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義平面向量的數(shù)量積我們學過功的概念,即一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s(如圖)θFS力F所做的功W可用下式計算
W=|F||S|cosθ
其中θ是F與S的夾角從力所做的功出發(fā),我們引入向量“數(shù)量積”的概念。已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為θ,我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b
a·b=|a||b|cosθ定規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0。
|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(向量b在a方向上)的投影。注意:向量的數(shù)量積是一個數(shù)量。向量的數(shù)量積是一個數(shù)量,那么它什么時候為正,什么時候為負?思考:a·b=|a||b|cosθ當0°≤θ<
90°時a·b為正;當90°<θ≤180°時a·b為負。當θ=90°時a·b為零。
設(shè)a,b都是非零向量,e是與b方向相同的單位向量,θ是a與e的夾角,則
(1)e·a=a·e=|a|cosθ(5)|a·b|≤|a||b|a·b|a||b|(4)cosθ=(3)當a與b同向時,a·b=|a||b|當a與b反向時,a·b=-|a||b|特別地,a·a=|a|2或|a|=√a·a。(2)a⊥ba·b=0重要性質(zhì):OABθ
abB1a·b=|a||b|cosθ解:a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×(-1/2)=-10例1已知|a|=5,|b|=4,a與b的夾角θ=120°,求a·b。例2已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。解:
|a|=√2,|b|=2,θ=45°∴a·b=|a||b|cosθ=√2×2×cos45°
=
2數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。a·b的幾何意義:OABθ|b|cosθabB1已知△ABC的頂點A(1,1),B(4,1),C(4,5)。計
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