(上海交大)大學(xué)物理上冊(cè)課后習(xí)題答案1質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

習(xí)題11-1．質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為其中為常量．求：〔1〕質(zhì)點(diǎn)的軌道；(2)速度和速率。解：(1)由，知：，消去t可得軌道方程：∴質(zhì)點(diǎn)的軌道為圓心在〔0，0〕處，半徑為R的圓；〔2〕由，有速度：而，有速率：。1-2．質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為，式中的單位為m，的單位為s。求：〔1〕質(zhì)點(diǎn)的軌道；〔2〕從到s的位移；〔3〕和s兩時(shí)刻的速度。解：〔1〕由，可知，消去t得軌道方程為：，∴質(zhì)點(diǎn)的軌道為拋物線?！?〕從到s的位移為：〔3〕由，有速度：和秒兩時(shí)刻的速度為：，。1-3．質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為，式中的單位為m，的單位為s.求：〔1〕任一時(shí)刻的速度和加速度；〔2〕任一時(shí)刻的切向加速度和法向加速度。解：(1)由，有：，，有：；〔2〕而，有速率：∴，利用有：。1-4．一升降機(jī)以加速度上升，在上升過(guò)程中有一螺釘從天花板上松落，升降機(jī)的天花板與底板相距為h，求螺釘從天花板落到底板上所需的時(shí)間。解法一：以地面為參照系，坐標(biāo)如圖，設(shè)同一時(shí)間內(nèi)螺釘下落的距離為，升降機(jī)上升的高度為，運(yùn)動(dòng)方程分別為〔1〕〔2〕相遇時(shí)y1=y2即得：。解法二：以升降機(jī)為非慣性參照系，那么重力加速度修正為，利用，有：。1-5．一質(zhì)量為的小球在高度處以初速度水平拋出，求：〔1〕小球的運(yùn)動(dòng)方程；〔2〕小球在落地之前的軌跡方程；〔3〕落地前瞬時(shí)小球的，，。解：〔1〕如圖，可建立平拋運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：，，∴；〔2〕聯(lián)立上面兩式，消去t得小球軌跡方程：〔為拋物線方程〕；〔3〕∵，∴，即：，在落地瞬時(shí)，有：，∴又∵，∴。1-6．路燈距地面的高度為，一身高為的人在路燈下以勻速沿直線行走。試證明人影的頂端作勻速運(yùn)動(dòng)，并求其速度.證明：設(shè)人向路燈行走，t時(shí)刻人影中頭的坐標(biāo)為，足的坐標(biāo)為，由相似三角形關(guān)系可得：，∴兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有：，考慮到：，知人影中頭的速度：〔常數(shù)〕。1-7．一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為(m)，在t從0到3s的時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)走過(guò)的路程為多少？解：由于是求質(zhì)點(diǎn)通過(guò)的路程，所以需考慮在0~3s的時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)速度為0的位置：假設(shè)解得，。1-8．一彈性球直落在一斜面上，下落高度，斜面對(duì)水平的傾角，問(wèn)它第二次碰到斜面的位置距原來(lái)的下落點(diǎn)多遠(yuǎn)(假設(shè)小球碰斜面前后速度數(shù)值相等，碰撞時(shí)人射角等于反射角)。解：小球落地時(shí)速度為，建立沿斜面的直角坐標(biāo)系，以小球第一次落地點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖示，→〔1〕→〔2〕第二次落地時(shí)：，代入〔2〕式得：，所以：。1-9．地球的自轉(zhuǎn)角速度最大增加到假設(shè)干倍時(shí)，赤道上的物體仍能保持在地球上而不致離開(kāi)地球?現(xiàn)在赤道上物體的向心加速度約為，設(shè)赤道上重力加速度為。解：由向心力公式：，赤道上的物體仍能保持在地球必須滿足：，而現(xiàn)在赤道上物體的向心力為：∴1-10．子彈的軌跡為拋物線，初速為，并且與水平面的夾角為。試分別求出拋物線頂點(diǎn)及落地點(diǎn)的曲率半徑。解：〔1〕拋物線頂點(diǎn)處子彈的速度，頂點(diǎn)處切向加速度為0，法向加速度為。因此有：，；〔2〕在落地點(diǎn)子彈速度為，由拋物線對(duì)稱性，知法向加速度方向與豎直方向成角，那么：，有：那么：。1-11．飛機(jī)以的速度沿水平直線飛行，在離地面高時(shí)，駕駛員要把物品投到前方某一地面目標(biāo)上，問(wèn)：投放物品時(shí)，駕駛員看目標(biāo)的視線和豎直線應(yīng)成什么角度?此時(shí)目標(biāo)距飛機(jī)下方地點(diǎn)多遠(yuǎn)?解：設(shè)此時(shí)飛機(jī)距目標(biāo)水平距離為有：┄①，┄②聯(lián)立方程解得：，∴。1-12．設(shè)將兩物體和分別以初速和拋擲出去．與水平面的夾角為；與水平面的夾角為，試證明在任何時(shí)刻物體相對(duì)物體的速度是常矢量。證明：兩個(gè)物體初速度為和，在任意時(shí)刻的速度為：與時(shí)間無(wú)關(guān)，故相對(duì)物體的速度是常矢量。1-13．一物體和探測(cè)氣球從同一高度豎直向上運(yùn)動(dòng)，物體初速為，而氣球以速度勻速上升，問(wèn)氣球中的觀察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末測(cè)得物體的速度各多少？解：取g=9.8m/s2。物體在任意時(shí)刻的速度表達(dá)式為：故氣球中的觀察者測(cè)得物體的速度代入時(shí)間t可以得到第二秒末物體速度：，〔向上〕第三秒末物體速度：第四秒末物體速度：〔向下〕。1-14．質(zhì)點(diǎn)沿軸正向運(yùn)動(dòng)，加速度，為常數(shù)．設(shè)從原點(diǎn)出發(fā)時(shí)速度為，求運(yùn)動(dòng)方程。解：由于是一維運(yùn)動(dòng)，所以，由題意：，別離變量并積分有：，得：又∵，積分有：∴1-15．跳水運(yùn)發(fā)動(dòng)自跳臺(tái)自由下落，入水后因受水的阻礙而減速，設(shè)加速度，.求運(yùn)發(fā)動(dòng)速度減為入水速度的10%時(shí)的入水深度。解：取水面為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為軸。跳水運(yùn)發(fā)動(dòng)入水時(shí)的速度：，入水后速度減為入水速度的10%時(shí)：，列式：，考慮到，有：，1-16．一飛行火箭的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：，其中b是與燃料燃燒速率有關(guān)的量，為燃?xì)庀鄬?duì)火箭的噴射速度。求：〔1〕火箭飛行速度與時(shí)間的關(guān)系；〔2〕火箭的加速度。解：看成一維運(yùn)動(dòng)，直接利用公式：，有：〔1〕，〔2〕1-17.質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：，，，式中為正的常量。求：〔1〕質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道方程；〔2〕質(zhì)點(diǎn)的速度大?。弧?〕質(zhì)點(diǎn)的加速度大小。解：〔1〕軌道方程為：，，這是一條空間螺旋線。空間螺旋線在平面上的投影，是圓心在原點(diǎn)，半徑為R的圓，其螺距為?！?〕，，，∴；〔3〕∴思考題11-1．點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，其瞬時(shí)速度為，瞬時(shí)速率為，平均速度為，平均速率為，那么它們之間的以下四種關(guān)系中哪一種是正確的?〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕答：〔3〕1-2．質(zhì)點(diǎn)的關(guān)系如圖，圖中，，三條線表示三個(gè)速度不同的運(yùn)動(dòng)．問(wèn)它們屬于什么類型的運(yùn)動(dòng)?哪一個(gè)速度大？哪一個(gè)速度小？答：勻速直線運(yùn)動(dòng)；。1-3．結(jié)合圖，說(shuō)明平均加速度和瞬時(shí)加速度的幾何意義。答：平均加速度表示速度在時(shí)間內(nèi)的平均變化率，它只能粗略地反映運(yùn)動(dòng)速度變化的快慢程度，而瞬時(shí)加速度能精確反映質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的變化。1-4．運(yùn)動(dòng)物體的加速度隨時(shí)間減小，而速度隨時(shí)間增加，是可能的嗎？答：是可能的。加速度隨時(shí)間減小，說(shuō)明速度隨時(shí)間的變化率減小，但速度仍在增加。1-5．如下圖，兩船和相距，分別以速度和勻速直線行駛，它們會(huì)不會(huì)相碰?假設(shè)不相碰，求兩船相距最近的距離．圖中和為。答：方法一：如圖，以A船為參考系，在該參考系中船A是靜止的，而船B的速度。是船B相對(duì)于船A的速度,從船B作一條平行于方向的直線BC,它不與船A相交,這說(shuō)明兩船不會(huì)相碰.由A作BC垂線AC,其長(zhǎng)度就是兩船相靠最近的距離作FD//AB,構(gòu)成直角三角形DEF，故有：，在三角形BEF中,由余弦定理可得：。方法二：兩船在任一時(shí)刻的位置矢量分別為：任一時(shí)刻兩船的距離為：令：。1-6．質(zhì)點(diǎn)在一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其位置矢量為，速度為，試說(shuō)明、、、的物理意義，并指出它們分別為零時(shí)，除了表示靜止外，還可表示質(zhì)點(diǎn)作何運(yùn)動(dòng)？解：中的為位置矢量的?！惨话憧捎帽硎尽常硎举|(zhì)點(diǎn)離原點(diǎn)的距離，表示質(zhì)點(diǎn)離原點(diǎn)的距離隨時(shí)間的變化率，即徑向速度.它為零表示質(zhì)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離不變，表示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓。即當(dāng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng).表示質(zhì)點(diǎn)的速率，它為零表示為恒量，所以