化歸轉(zhuǎn)化思想提升數(shù)學(xué)解題能力思考看法

化歸轉(zhuǎn)變思想提高數(shù)學(xué)解題能力思慮看法化歸轉(zhuǎn)變思想提高數(shù)學(xué)解題能力思慮看法出名的數(shù)學(xué)家，莫斯科大學(xué)教授c.a.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)布《什么叫解題》的演講時(shí)提出：“解題就是把要解的題化歸轉(zhuǎn)變?yōu)橐呀?jīng)解過的題”?；瘹w轉(zhuǎn)變就是把未知解的問題轉(zhuǎn)變到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解問題的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)的解題過程，就是經(jīng)過不停的化歸轉(zhuǎn)變，從未知向已知、從不規(guī)范向規(guī)范、從復(fù)雜向簡單的化歸轉(zhuǎn)變過程。歷年高考，化歸轉(zhuǎn)變思想無處不見，化歸方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中是寬泛存在，各處可見，與中學(xué)數(shù)學(xué)教課親密相關(guān)。本文就教課實(shí)踐中怎樣加加強(qiáng)歸轉(zhuǎn)變思想,提高數(shù)學(xué)解題能力談一些淺易的看法。一、化歸轉(zhuǎn)變的目標(biāo)和方向同一個(gè)數(shù)學(xué)問題，因?yàn)椴炜吹慕嵌炔煌瑯?，?duì)問題的解析、理解的層次不同樣，可致使使轉(zhuǎn)變目標(biāo)的不同樣與解題方法的不同樣．但目的只有一個(gè)，化歸轉(zhuǎn)變后所得出的問題，應(yīng)是已經(jīng)解決或是較為簡單解決的問題。所以，化歸轉(zhuǎn)變的方向應(yīng)是盡量做到化繁為簡、化隱為顯、化難為易、化未知為已知、化一般為特別、化抽象為詳盡．而化歸轉(zhuǎn)變的思想實(shí)質(zhì)就在于不該以靜止的眼光，而應(yīng)以運(yùn)動(dòng)、變化、發(fā)展以及事物間的相互聯(lián)系和限制的看法去對(duì)待問題。即應(yīng)該擅長對(duì)所要解決的問題進(jìn)行變形和轉(zhuǎn)變，這實(shí)質(zhì)上也是在數(shù)學(xué)教課中辨證唯心主義看法的生動(dòng)表現(xiàn)。二、化歸轉(zhuǎn)變的等價(jià)性與不等價(jià)性化歸轉(zhuǎn)變包含等價(jià)轉(zhuǎn)變和非等價(jià)轉(zhuǎn)變兩種．等價(jià)轉(zhuǎn)變思想方法的特色是擁有靈便性和多樣性。在應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)變的思想方法去解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，沒有一個(gè)一致的模式去進(jìn)行。它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行變換；它可以在宏觀進(jìn)步行等價(jià)轉(zhuǎn)變，如在解析和解決實(shí)責(zé)問題的過程中，一般語言向數(shù)學(xué)語言的翻譯；它可以在符號(hào)系統(tǒng)內(nèi)部推行變換即恒等變形。等價(jià)轉(zhuǎn)變是將恒等變形在代數(shù)式方面的形變上升到保持命題的真假不變。等價(jià)轉(zhuǎn)變要求轉(zhuǎn)變過程中的前因結(jié)果是相互可逆推的．但事實(shí)上其實(shí)不是全部的轉(zhuǎn)變都是等價(jià)的，所以在轉(zhuǎn)變過程中，必然要注意轉(zhuǎn)變前后的等價(jià)性,如出現(xiàn)不等價(jià)轉(zhuǎn)變，則需附帶拘束條件，而在非等價(jià)轉(zhuǎn)變過程中經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生思想的閃光點(diǎn)，是找到解決問題的打破口．在數(shù)學(xué)操作中推行等價(jià)轉(zhuǎn)變時(shí)，我們要依據(jù)熟習(xí)化、簡單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則，即把我們遇到的問題，經(jīng)過轉(zhuǎn)變變?yōu)槲覀儽容^熟習(xí)的問題來辦理；也許將較為繁瑣復(fù)雜的問題變?yōu)楸容^簡單的問題，比方從超越式到代數(shù)式、從無理式到有理式、從分式到整式等；也許比較抽象的問題，轉(zhuǎn)變?yōu)楸容^直觀的問題，以便正確掌握問題的求解過程，比方數(shù)形結(jié)合法；也許從非標(biāo)準(zhǔn)型向標(biāo)準(zhǔn)型進(jìn)行轉(zhuǎn)變。依據(jù)這些原則進(jìn)行數(shù)學(xué)操作，轉(zhuǎn)變過程省時(shí)省力，如同因利乘便，經(jīng)常浸透等價(jià)轉(zhuǎn)變思想，可以提高解題的水平易能力。三、化歸轉(zhuǎn)變的方法化歸轉(zhuǎn)變方法有切割法、照射法、恒等變形法、換元法、函數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等等，切割法在幾何教課中，經(jīng)常對(duì)復(fù)雜的幾何圖形或幾何體進(jìn)行切割，使之成為簡單的幾何圖形或幾何體的組合。這是幾何中實(shí)現(xiàn)化歸轉(zhuǎn)變的常用方法。例1如圖三棱柱abc—a1b1c1中,若e,f分別為ab,ac的中點(diǎn),平面多面體befc—b1c1是不規(guī)則幾何體，只有益用割補(bǔ)法用三棱柱abc—a1b1c1的體積減去三棱臺(tái)aef—a1b1c1的體積才能解決，割補(bǔ)法是求解立體幾何問題的重要方法，在高考中也多次出現(xiàn)。eb1c1f將三棱柱分成體積為v1,v2兩部分,求v1:v2.（2）換元法：解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看作一個(gè)整體，用一個(gè)變量去取代它，進(jìn)而使問題獲得簡化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)變，重點(diǎn)是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，進(jìn)而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得簡單辦理。換元變形法用途很多，化簡代數(shù)式如使用換元法可以簡化計(jì)算過程，分解因式時(shí)使用換元法可以減少項(xiàng)數(shù)，便于發(fā)現(xiàn)關(guān)系，解方程時(shí)有些分式方程，指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程經(jīng)過換元可以變?yōu)檎椒匠?。有些高次方程?jīng)過換元可以達(dá)到降次的目的，有些無理方程經(jīng)過換元可以去掉或減少根號(hào)。證明條件等式時(shí)，使用換元簡單發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式之間的聯(lián)系。經(jīng)過換元引進(jìn)新的變量，可以把分其他條件聯(lián)系起來，隱含的條件展現(xiàn)出來，也許把條件與結(jié)論聯(lián)系起來。總之換元變形法用途十分寬泛，學(xué)生應(yīng)該熟練掌握在解題實(shí)踐中靈便地、創(chuàng)立性地去運(yùn)用。(3)照射法：學(xué)習(xí)了會(huì)集與照射后用照射來定義函數(shù)，而把反函數(shù)的概念建立在一一照射的基礎(chǔ)上，而確立反函數(shù)y=f(x)的照射是一個(gè)從原函數(shù)值域會(huì)集到定義域會(huì)集上的一個(gè)一一照射。照射法是實(shí)現(xiàn)化歸的一種重要方法，如因?yàn)榻⒘酥苯亲鴺?biāo)系，使平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)，曲線與方程建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系，幾何問題轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)問題。其他復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)、向量也建立起一一對(duì)應(yīng)化歸轉(zhuǎn)變思想提高數(shù)學(xué)解題能力思慮看法第2頁關(guān)系，把向量引進(jìn)了代數(shù)，使復(fù)數(shù)的代表運(yùn)算可用向量的幾何運(yùn)算來進(jìn)行。例:已知f(x)=10x-1-2，則f-1(8)等于（）a．2b.4c.8d.12解析:原式即求反函數(shù)式

y=f-1(x)

中當(dāng)自變量取

8時(shí)的函數(shù)值

.依據(jù)互為反函數(shù)之間

的關(guān)系

,只須求原函數(shù)式中函數(shù)值

y=8

時(shí)的

x值即可

.故8=10x-1-2

得x=2.應(yīng)選(a)4）恒等變形法無論在代數(shù)仍是三角教材中，恒等變形都據(jù)有十分重要的地址，特別是在求解代數(shù)方程和三角方程時(shí)，利用恒等變形以實(shí)現(xiàn)未知向已知的化歸，使我們能比較簡單求得方程的解。例略（5）函數(shù)法幾何問題、方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)變?yōu)榕c其相關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。例:實(shí)數(shù)q在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，方程cos2x+sinx=q解:原題就是求函數(shù)q=f(x)=cos2x+sinx的值域,

有實(shí)數(shù)解？由q=cos2x+sinx=-2sin2x+sinx+1易解.可見將參數(shù)的問題化歸轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)問題來辦理使問題變得淺易易解.（6）數(shù)形結(jié)合法例已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，務(wù)實(shí)數(shù)b的取值范圍。若是將無理方程轉(zhuǎn)變?yōu)橛欣矸匠虅t會(huì)產(chǎn)生增根，宜將之轉(zhuǎn)變?yōu)閥=和y=x+b結(jié)合圖形解之四、加加強(qiáng)歸轉(zhuǎn)變思想,提高數(shù)學(xué)解題能力（1）指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)變的思想方法，提高學(xué)生思想能力數(shù)學(xué)自己擁有謹(jǐn)慎的邏輯構(gòu)造，對(duì)培育學(xué)生的邏輯思想能力有著很大的作用，它能養(yǎng)成學(xué)生從事確立的，有序次的，有依據(jù)的思想習(xí)慣，學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和技術(shù)的同時(shí)就可以發(fā)展邏輯思想能力。上邊舉的化歸轉(zhuǎn)變方法和例題，在教課教材中是寬泛存在的。所以在教課中怎樣表現(xiàn)化歸轉(zhuǎn)變思想，怎樣運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)變方法，提高學(xué)生思想能力是很重要的。在教課中我采納講練結(jié)合，練為主線的方法有意識(shí)地指引和培育學(xué)生認(rèn)識(shí)化歸轉(zhuǎn)變思想，加強(qiáng)解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力，進(jìn)而提高學(xué)生思想能力和技術(shù)、技巧。（2）掌握化歸轉(zhuǎn)變基本方法，提高學(xué)生的認(rèn)知活動(dòng)能力化歸轉(zhuǎn)變思想在教課中致使社會(huì)實(shí)踐中都是一個(gè)重要的思想方法，化歸轉(zhuǎn)變思想的形成需要教師在教課中有意識(shí)地指引和培育。比方把二元二次方程組經(jīng)過降次消元化歸轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉淮畏匠糖蠼?；將無理方程化歸轉(zhuǎn)變?yōu)橛欣矸匠糖蠼猓挥秩缙矫鎺缀沃薪庖话闳切蔚膶?shí)責(zé)問題化歸轉(zhuǎn)變?yōu)榻庵苯侨切?；把弓形的相關(guān)計(jì)算化歸轉(zhuǎn)變?yōu)榻庵苯侨切危辉诹Ⅲw幾何中求二面角的度數(shù)可將問題化歸轉(zhuǎn)變到平面幾何的角（平面角）來求，又如證明面面平行問題化歸轉(zhuǎn)變?yōu)榫€面平行或線線平行，再如求四邊形的內(nèi)角和只要作一條對(duì)角線，就把問題化歸轉(zhuǎn)變到求三角形內(nèi)角和。（3）掌握化歸轉(zhuǎn)變實(shí)質(zhì)，提高學(xué)生的解題能力化歸轉(zhuǎn)變的實(shí)質(zhì)是不停更改問題，所以可以從改變問題的成分這方面去考慮，也可以從實(shí)現(xiàn)化歸轉(zhuǎn)變的常用方法去考慮。在實(shí)質(zhì)解題過程中，這兩個(gè)方面是相互浸透，相互增補(bǔ)的。其他，利用數(shù)式的運(yùn)算另辟捷徑來提高解題能力。比方銳角α，β，γ知足cos2α+cos2β+cos2γ=1,求證tgαtgβtgγ≥證2