論文題目：半無限長弦振動求解1

論文題目

：半無限長弦振動的求解學院2009級電氣信息工程學院專業(yè)物理學屆別2009學生姓名楊昌敏學號20090840526指導教師劉涵哲

論文的大體內容前言達朗貝爾公式用MATLAB求解時所用到的函數

無限長的弦的自由振動半無限長弦振動達朗貝爾公式達朗貝爾公式：達朗貝爾公式的適用范圍：波動方程為：沒有邊界條件，有初始條件；初始位移為：u|t=0=φ(x),初始速度為ut|t=0=ψ(x)。

用MATLAB時所用的的函數

1.plot函數調用格式：plot(y),plot(x,y),plot(x1,y1,x2,y2……)

2.axis:坐標控制3.set:使用set命令可以改變刻度值4.Linspace:利用linspace函數創(chuàng)建向量.一維的弦振動方程的解析解及MATLAB求解無限長的弦的自由振動

例題1：定解問題utt-a*auxx=0(-∞<x<∞)

u（x,t=0）=sinTπl(wèi)x=φ(x)

ut(x,t=0)=0

由達朗貝爾公式求得：u（x,t=0）=sinTπl(wèi)xcosTπl(wèi)(at)，用軟件MATLAB進行求解得的圖像按時間先后得到圖形如下所示：結論：由常規(guī)求解得到的波形為sinTπl(wèi)xcosTπl(wèi)（at)，在(3l7≤x≤4l7)的波形sinTπl(wèi)x向x軸的負方向傳播及在(3l7≤x≤4l7)的波形sinTπl(wèi)x向x軸的正方向傳播；在MATLAB上進行求解所得圖像與之符合，兩例波所通過的地區(qū)振動消失而弦靜止在原平衡位置.例題2：定解問題：utt-a*auxx=0(-∞<x<∞)

u（x,t=0）=φ(x)=0

ut(x,t=0)=ψ(x)=1由達朗貝爾公式求得：表示的波形向左和向右以a的速度移動.波也通過的地區(qū),振動消失但偏離了原平衡位置，用軟件MATLAB進行求解的圖像.按時間先后得到圖形如下所示：結論：用MATLAB求解得到的結果與常規(guī)求解所得結果一致，波也通過的地區(qū),振動消失但偏離了原平衡位置.用端點反射來解決半無限長弦振動問題例題1:半無限長弦振動的初始位移和初始速度都為零，端點做很小的振動；u|x=0=Asin(wt)，求該弦的振動。

解：設u(x,t)表示t時刻x處的位移定解問題:utt-a*auxx=0(0<x<∞)

u（x,t=0）=φ(x)=0

ut(x,t=0)=0

u(x=0,t)=Asinwtⅰ.當x>at,則端點的影響未傳到由達朗貝爾公式得u(x,t)=0ii當x<at，考慮到端點的影響，對問題進行延拓，設t=0時刻,Φ(x)=0(x≥0);Φ(x)=φ(x)(x<0)Ψ(x)=0(x≥0);Ψ(x)=ψ(x)(x<0)代入達朗貝爾公式并且滿足邊界條件，假設ψ(x)=0時，則φ(x)=2Asin（-wx/a）.得到的解為u（x,t）=Asinw（t-x/a），結論：在沒有端點x=0影響下得到的波形是為零,然而隨著時間的改變,被端點反射的波影響的部分的波形為u（x,t）=Asinw（t-x/a）.例題2.求解無限長理想傳輸線上電報方程的解，端點通過電阻R而相接。初始電壓分布Acoskx,初始電流分布Acoskx,在什么條件下端點沒有反射（這種情況叫做匹配）解：設v(x,t)為t時刻x,處的電壓j(x,t)為t時刻x,處的電流定解問題：電壓vtt-a*avxx=0

x<0

v(x,t=0)=Acoskx=φ(x)

Vt(x,t=0)==ψ(x)

電流jtt-a*ajxx=0

j(x,t=0)=

Acoskx=φ(x)

jt(x,t=0)==ψ(x)(1).︱x︱﹥at,認為端點的影響不能傳到，由達朗貝爾公式求解得：

v（x,t）=Acosk(x-at)

j（x,t）=Acosk(x-at)

(2).︱x︱<at,考慮到端點的影響，令v（x,t）=Acosk(x-at)+V1(x+at)，

j（x,t）=Acosk(x-at)+j1(x+at)由jt=-vx/L，Vt=-jx/C的關系得

j1′(x+at)=-V1′(x+at)

再加上邊界條件v(x=0,t)=Rj(x=0,t),解得

由表達式可知(x+at)項為反射波，要使反射波不存在，則=0即=則R0稱為傳輸線的特性阻抗。結論：在沒有端點x=0反射波的影響的時候的電壓和電流的波形分別是v（x,t）=Acosk(x-at)和j（x,t）=Acosk(x-at)，受到端點的反射