質(zhì)點力學(xué)運動定律與守恒定律

1第2章質(zhì)點力學(xué)的運動定律守恒定律（Newton’slawsofmotion）§2.1

質(zhì)點力學(xué)的基本定律§2.2動量動量守恒定律§2.3功動能勢能機械能守恒定律§2.4角動量角動量守恒定律§2.5剛體定軸轉(zhuǎn)動

§2.1

質(zhì)點力學(xué)的基本定律1、第一定律（慣性定律）慣性力

物體總是要保持靜止或勻速直線運動的狀態(tài)，直到受到力的作用迫使它改變這種狀態(tài)為止。

物體的慣性：物體具有保持其運動狀態(tài)不變的性質(zhì)。

力與運動的關(guān)系：力的作用是改變物體的運動狀態(tài)（運動速度），而不是維持物體的運動狀態(tài)（運動速度）；力是使物體運動狀態(tài)發(fā)生變化的物體間的相互作用。23直角坐標(biāo)系：曲線坐標(biāo)系：法向：切向：（圓周運動：=R）對慣性系成立

牛頓第二定律的微分形式是基本的普遍形式，適用于高速運動情況與變質(zhì)量問題。中學(xué)：大學(xué)：2.牛頓第二定律（1）質(zhì)量是慣性的量度（2）瞬時性（3）矢量性43.第三定律兩物體間的作用力和反作用力大小相等，方向相反，沿同一直線，分別作用在兩個不同的物體上。12F21第三定律的數(shù)學(xué)表達式:注意:1.作用力與反作用力同生同滅。2.作用力與反作用分別作用于兩個不同的物體,各產(chǎn)生其效果。3.作用力與反作用力性質(zhì)相同。F12物體受到繩的拉力和受到的重力是否是作用力與反作用力？問題:PT54.常見的幾種力彈力的三種形式：正壓力或支持力:物體通過一定面積相接觸而產(chǎn)生的相互作用力。拉力和張力:拉力是繩或線對物體的作用力;張力是繩子內(nèi)部各段之間的作用力。彈簧的彈力:(1)

重力：地球表面附近的物體受地球的引力作用。(2)

彈力：發(fā)生形變的物體,由于要恢復(fù)原狀,對與它接觸的物體產(chǎn)生的作用力。地球重力：彈力支持力正壓力張力拉力6例:如圖，質(zhì)量均勻分布的粗繩拉重物，已知：F

=150N，a

=

0.2m/s2，l=

4m，m

=

2kg.求：距頂端為x米處繩中的張力.拉緊的繩中任一截面兩側(cè)的兩部分之間相互作用力稱該截面處的張力.解：從頂端向下取x米繩，由牛頓第二定律若若繩的質(zhì)量忽略，則張力等于外力7質(zhì)點動力學(xué)的基本問題：質(zhì)點動力學(xué)問題可分為兩類：(1)

已知質(zhì)點的運動，求作用于質(zhì)點的力。由求：F一維直線運動，運動方程

x=x

(t)例：一質(zhì)點質(zhì)量為m=2kg，作直線運動，運動方程x=10t2+2t+1（SI）求質(zhì)點所受的合外力。解：5.應(yīng)用牛頓定律解題8解：例：一質(zhì)點質(zhì)量m，運動方程，求作用于質(zhì)點的合外力。9例:如圖所示，單擺運動為=0sint,為細繩與鉛直線所成的角,

0和均為常數(shù)。設(shè)擺錘質(zhì)量為m，繩長為R，求繩子的張力。解：質(zhì)點繞

c

點作變速圓周運動，其法向加速度為：m0RcmgT求得：10例：一質(zhì)點m=1kg，直線運動，受力f=2t，設(shè)t=0

時，x0=

0，v0=1m/s，求質(zhì)點的運動方程。解：(2)

已知作用于質(zhì)點的力，求質(zhì)點的運動。a.

選擇好坐標(biāo)系；b.根據(jù)F

=

mdv/dt

的分量形式建立運動微分方程式；c.對微分方程求解，得到運動方程。11解：x0mvF阻力沿x軸負方向，表示為：F=–kv

，k為常數(shù)。

將代入上式，得：當(dāng)t=0時，x=0；例：質(zhì)量為m

的物體，以初速度v0沿水平方向向右運動，所受到的阻力與速度v

成正比，求物體的運動方程。當(dāng)t=0時，v

=v012a慣性系非慣性系6.非慣性系

慣性力問題:1.在地面的站臺上觀察金杯的運動狀態(tài)如何?2.在加速行駛的車內(nèi)觀察金杯的運動狀態(tài)又如何?(答:靜止)(答:加速向左運動。)13

牛頓第二定律僅僅適用于慣性系(相對于地球靜止或作勻速直線運動的物體),怎樣把牛頓第二定律推廣到非慣性系呢?非慣性系：相對地面慣性系做加速運動的物體。平動加速系：相對于慣性系作變速直線運動，但是本身沒有轉(zhuǎn)動的物體。例如：在平直軌道上加速運動的火車。轉(zhuǎn)動參考系：相對慣性系轉(zhuǎn)動的物體。例如：轉(zhuǎn)盤在水平面勻速轉(zhuǎn)動。慣性力:在非慣性系中觀察和處理物體的運動現(xiàn)象時,為了應(yīng)用牛頓定律而引入的一種虛擬力。觀察：處理：14在平動加速參考系中慣性力:在非慣性系中牛頓第二定律的形式為慣性力不是物體間的相互作用，它沒有反作用力。

本質(zhì)上是物體慣性的體現(xiàn)，有真實的作用效果。

15問題：在轉(zhuǎn)動參考系中，如何引入慣性力對牛頓第二定律進行推廣？大小方向沿著圓的半徑向外在轉(zhuǎn)盤上(非慣性系)觀察:小球靜止。在轉(zhuǎn)動參考系中慣性力:在地面上(慣性系)觀察:小球受彈簧拉力做圓周運動；處理：彈簧拉力客觀存在(慣性離心力)16例：在加速運動的車上分析單擺與豎直方向的夾角。(1)

確定研究對象：物體m(2)

選參照系——

車（非慣性系）(3)

在參照系上建立直角坐標(biāo)系如圖；(4)

隔離物體分析力:解：運用牛頓第二定律列方程：x方向：y方向：解出:17例如圖m與M保持接觸,各接觸面處處光滑.求：m下滑過程中，相對M的加速度amM解：畫隔離體受力圖M相對地面加速運動，運動加速度設(shè)為以M為參考系畫m

的受力圖以地面為參考系畫M的受力圖18以地面為參考系對M列方程以M為參考系（非慣性系）對m

列方程結(jié)果為：x方向：x'方向：y'方向：19求積分有：—

動量定理物體在運動過程中所受到的合外力的沖量，等于該物體動量的增量。比較：中學(xué)Ft=mv2

-mv1直線運動，F(xiàn)—恒力普遍性，直線，曲線，直角坐標(biāo)系，分量式：§2

動量動量守恒定律1.質(zhì)點的動量定理力對時間過程的積累效應(yīng)，沖量。20mF（a）0t(s)F(N)4730（b）解:由動量定理:(1)上式中F=30N,v0=0m/s,解出v4=4.16m/s(2)上式中F=70–10t,解出v7=2.78m/s(3)解出v6=4.24m/s例：如圖

a所示，質(zhì)量為m=10kg的木箱，在水平拉力F

的作用下，由靜止開始運動，若拉力的大小隨時間變化的關(guān)系如圖b所示，已知木箱與地面間的摩擦系數(shù)=0.2，求：t=4、7、6s時木箱速度的大小。212.質(zhì)點組（系）的動量定理m1m2mn內(nèi)力成對產(chǎn)生，矢量和為零;推廣到系統(tǒng)的所有內(nèi)力矢量和為零。對第i個質(zhì)點，一共有n個這樣的方程，求和：22

由n個質(zhì)點組成的力學(xué)系統(tǒng)所受合外力的沖量等于系統(tǒng)總動量的增量。注意：內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的總動量；內(nèi)力能改變每一個質(zhì)點的動量。23

汽車發(fā)動機內(nèi)氣體對活塞的推力以及各種傳動部件之間的作用力能使汽車前進嗎？使汽車前進的力是什么力？

參考解答：汽車發(fā)動機內(nèi)氣體對活塞的推力以及各種傳動部件之間的作用力都是汽車系統(tǒng)的內(nèi)力，內(nèi)力只會改變內(nèi)部各質(zhì)點的運動狀態(tài)，不會改變系統(tǒng)的總動量，所以不能使汽車前進。使汽車前進的力只能是外力，這個外力就是地面給汽車的摩擦力。粗略分析如下：當(dāng)汽車發(fā)動機內(nèi)氣體對活塞的推力帶動傳動部件使主動輪（一般為汽車的后輪）繞輪軸轉(zhuǎn)動時，使主動輪與地面的接觸部分相對地面有向后滑動的趨勢，從而使地面對汽車施以向前的摩擦力，使汽車整體向前加速運動。

由于汽車前進使從動輪（汽車的前輪）相對地面有向前的運動趨勢，因此從動輪受到地面施以的方向向后的摩擦力，該摩擦力對從動輪軸的力矩使從動輪滾動起來。所以汽車的運動最終靠的是地面施加的摩擦力。24=常矢量如果系統(tǒng)所受的外力之和為零（即），則系統(tǒng)的總動量保持不變。這個結(jié)論叫做動量守恒定律。條件3.動量守恒定律直角坐標(biāo)系下的分量形式=常量=常量=常量25關(guān)于動量守恒定律，注意幾點：開始靜止，加上一對力后，轉(zhuǎn)動；動量守恒嗎？每一對對應(yīng)點的動量矢量和還是為零。(2)碰撞、打擊—摩擦力、重力作用，外力矢量和不為零(因t很短,碰撞、打擊的內(nèi)力遠大于外力),仍有動量守恒.(3)外力矢量和不為零,但沿著某一方向分量的代數(shù)和為零,總動量在該方向的分量守恒.(1)動量是矢量，是矢量守恒。26例：車(M)長l,人(m)，車對地光滑,問人從車的一端走到另一端時,人和車各對地移動了多少?x人x車解:(人,車)—

系統(tǒng)沿水平方向,動量守恒.一維直線運動,27

物體m與質(zhì)元dm在

t

時刻的速度以及在

t

+

dt

時刻合并后的共同速度如圖所示：mdmm+dm

把物體與質(zhì)元作為系統(tǒng)考慮，初始時刻與末時刻的動量分別為：初始時刻末時刻4.變質(zhì)量物體的運動方程28對系統(tǒng)利用動量定理略去二階小量，兩端除d

t值得注意的是，dm可正可負，當(dāng)dm取負時，表明物體質(zhì)量減小，對于火箭之類噴射問題，為尾氣推力。變質(zhì)量物體運動微分方程29(1)確定研究系統(tǒng),取定坐標(biāo)系(2)寫出系統(tǒng)動量表達式(3)求出系統(tǒng)動量變化率(4)分析系統(tǒng)受力(5)應(yīng)用動量定理求解變質(zhì)量問題的處理方法例1：裝煤車的牽引力例2：勻速提柔軟鏈條30例：柔軟的繩盤在桌面上，總質(zhì)量為m0，總長度l,質(zhì)量均勻分布，均勻地以速度v0提繩。求：繩子被拉上任一段后，繩端的拉力F。解：(方法一)取整個繩子為研究對象(系統(tǒng))受力圖t

時刻繩子被拉上x,

t+dt

時刻繩子被拉上x+dx

t

時刻和t+dt時刻系統(tǒng)總動量分別為:31例：一輛煤車以v

=3m/s的速率從煤斗下面通過,每秒鐘落入車廂的煤為

△m=500kg。如果車廂的速率保持不變,應(yīng)用多大的牽引力拉車廂?設(shè)以地面為參考系，建立坐標(biāo)系如圖，解:

研究對象：

t時刻車中煤的總質(zhì)量m和

t+dt

時刻落入車廂的煤的質(zhì)量dm

t

時刻和t+dt時刻系統(tǒng)水平總動量分別為:dt時間內(nèi)系統(tǒng)水平總動量增量為:由動量定理可得:mdmOx32

質(zhì)點系的質(zhì)量中心，簡稱質(zhì)心。具有長度的量綱，描述與質(zhì)點系有關(guān)的某一空間點的位置。

質(zhì)心運動反映了質(zhì)點系的整體運動趨勢。5.

質(zhì)心質(zhì)心運動定理拋手榴彈的過程COxy33質(zhì)心(質(zhì)量中心)定義對于分立體系：直角坐標(biāo)系下：xzyOm2m1mimNc34M對于連續(xù)體：直角坐標(biāo)系下：(xcyczc)cxzyOdm35dxx例:求腰長為a等腰直角三角形均勻薄板的質(zhì)心位置。這個結(jié)果和熟知的三角形重心位置一致。三角形質(zhì)心坐標(biāo)xc是解:因為等腰直角三角形對于直角的平分線對稱，所以質(zhì)心位于此分角線上。以此分角線為x軸，作坐標(biāo)軸如圖所示。Oxy在離原點處取寬度為dx的面積元，由于面積元的高度為2y，所以其面積為2ydx=2xdx。設(shè)薄板每單位面積的質(zhì)量為，則此面積元的質(zhì)量dm=2xdx。36——

質(zhì)心運動定理表明：不管物體的質(zhì)量如何分布，也不管外力作用在物體的什么位置上，質(zhì)心的運動就象是物體的質(zhì)量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作用其上的一個質(zhì)點的運動一樣。質(zhì)心的運動只由合外力決定，內(nèi)力不能改變質(zhì)心的運動情況。質(zhì)心運動反映了質(zhì)點系的整體運動趨勢。37動量守恒定律=常矢量=常矢量系統(tǒng)所受合外力矢量和為零，動量守恒。即質(zhì)心速度保持不變！38

天安門前放焰火時，一朵五彩繽紛的焰火的質(zhì)心的運動軌跡如何？（忽略空氣阻力與風(fēng)力）為什么在空中焰火總是以球形逐漸擴大？答：由質(zhì)心運動定理F=mac可知，系統(tǒng)的外力決定質(zhì)心的運動。天安門前放焰火時，若不計阻力和風(fēng)力，焰火受到的外力只有重力，所以焰火質(zhì)心的運動軌跡就是一條拋物線。

焰火在空中炸開時，由于爆炸力遠遠大于重力，可近似認為焰火系統(tǒng)動量守恒，焰火各質(zhì)點的動量之和必須保持為零，所以各方向的動量都有，且相反方向的動量大小必定相等，從而使空中的焰火大致以球形逐漸擴大。39例：

一質(zhì)量m1=50kg的人站在一條質(zhì)量

m2=200kg,長度l=4m的船頭上。開始時船靜止,求當(dāng)人從船頭走到船尾時船移動的距離d=？x0yC船C船解:取人和船為系統(tǒng),該系統(tǒng)在水平方向不受外力,因而水平方向的質(zhì)心速度不變,即質(zhì)心始終靜止不動。當(dāng)人在船左端時,人和船這個系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)為當(dāng)人在船右端時,人和船這個系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)為由于所以即:求當(dāng)人從船頭走到船尾時船移動的距離401.功（定義）、變力做功的計算.軌道分成N個小段,每個小段足夠小,其上F大小、方向均一定，按恒力作功，有：取第i小段,有:§3功動能

勢能機械能守恒定律

牛頓定律——瞬時作用關(guān)系。力的空間積累對質(zhì)點運動的影響。ab41直角坐標(biāo)系：功率：t內(nèi)作功A，平均功率：瞬時功率：或ab42例：已知力質(zhì)點從原點移動到

x

=

8,y

=

6處該力做功多少?43系統(tǒng)中一對內(nèi)力的功

設(shè)有兩個質(zhì)點1和2，質(zhì)量分別為m1和m2，f1為質(zhì)點1受到質(zhì)點2的作用力，f2為質(zhì)點2受到質(zhì)點1的作用力，它們是一對作用力和反作用力。思考:這樣一對內(nèi)力的功與參照系有關(guān)嗎?0dt時間質(zhì)點2對質(zhì)點1的相對位移表明：任何一對作用力和反作用力所作的總功具有與參考系選擇無關(guān)的不變性質(zhì)。

由此可見，一對作用力與反作用力所作的總功只與作用力

及相對位移

有關(guān)。44(1)直線運動：(2)曲線運動：代入上式，有：合外力對物體所作的功等于物體動能的增量。2.質(zhì)點的動能定理

不僅產(chǎn)生于

方向的改變，而且也決定于

大小的變化。453.保守力勢能

Ep重力勢能彈力勢能引力勢能定義：力F

作功與始末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。F—保守力功的大小只與物體的始末位置有關(guān)，而與所經(jīng)歷的路徑無關(guān)，這類力叫做保守力。不具備這種性質(zhì)的力叫做非保守力。保守力

以保守力相互作用的物體系統(tǒng)，在一定的相對位置狀態(tài)下所具有的能量稱勢能。460xybacy1y2h如果質(zhì)點沿a-d-c下落，計算過程與結(jié)果與此完全一樣。d重力作功與始末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。如果m沿c-b-a運動，則所以，adcba一周，重力勢能,(重力勢能——重力作功）任取一中間元過程m在重力

的作用下從a-b-c，重力

作的功。47彈性勢能（彈性力作功）x0mkm：x1—x2彈性力勢能與保守力作功的一般關(guān)系：保守力作正功，勢能減少。保守力作負功（外力反抗保守力作功），勢能增加。彈性力作功也僅僅與質(zhì)點的始末位置有關(guān)，與具體路徑無關(guān)。48引力勢能(計算一對萬有引力的功)由此可見，萬有引力作功也僅僅與質(zhì)點的始末位置有關(guān)，與具體路徑無關(guān)。

兩個物體的質(zhì)量分別為M和m，它們之間有萬有引力作用。這一對萬有引力作功之和只取決于它們間的相對運動，選擇不同的坐標(biāo)系計算這一對力作功之和都會得出相同的結(jié)果。M

靜止，以M為原點O建立坐標(biāo)系，研究m

相對M

的運動。49重力勢能彈性勢能引力勢能勢能曲線50勢能曲線的作用：保守力沿某坐標(biāo)軸的分量等于勢能對此坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)的負值。(1)根據(jù)勢能曲線的形狀可以討論物體的運動。(2)利用勢能曲線，可以判斷物體在各個位置所受保守力的大小和方向。例：雙原子分子勢能曲線

rEp

r0or=r0時，

有

fr

=0平衡位置r>r0時，

有

fr<0，指向r的減小方向，是引力。

r<r0時，有

fr

>0，指向r增大的方向，是斥力。51123外力外力外力內(nèi)力內(nèi)力內(nèi)力內(nèi)力和外力內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點之間的相互作用力。N個質(zhì)點組成系統(tǒng)——質(zhì)點組。對第i個質(zhì)點：(i=1,2,3……N)把

N

個方程加起來:4.質(zhì)點組的動能定理所有外力作的功與所有內(nèi)力作的功的代數(shù)和等于系統(tǒng)總動能的增量質(zhì)點組的動能定理.52內(nèi)力：保守內(nèi)力或非保守內(nèi)力。質(zhì)點組的動能定理功能原理：系統(tǒng)外力與非保守內(nèi)力作功之和等于系統(tǒng)機械能的增量。機械能守恒定律：如果一個系統(tǒng)內(nèi)只有保守內(nèi)力做功，或者非保守內(nèi)力與外力的總功為零，則系統(tǒng)內(nèi)各物體的動能和勢能可以互相轉(zhuǎn)換，但機械能的總值保持不變。這一結(jié)論稱為機械能守恒定律。53運用功能原理解題步驟:(1)確定研究對象——“系統(tǒng)”（保守力的施力體劃在系統(tǒng)內(nèi)）;(2)分析系統(tǒng)所受的力及力所做的功；(3)選擇慣性系建坐標(biāo)；(4)選擇零勢能點；(5)計算始末態(tài)的機械能及各力所做的功;(6)應(yīng)用功能原理列方程解方程。54例:一根質(zhì)量為m長為

L的勻質(zhì)鏈條,放在摩擦系數(shù)為

的水平桌面上,其一端下垂,長度為a,如圖所示,設(shè)鏈條由靜止開始運動,求:⑴鏈條離開桌面過程中摩擦力所做的功;⑵鏈條剛剛離開桌面時的速率。L-aa(1)確定研究對象——“系統(tǒng)”=鏈條+桌面+地球;(2)分析系統(tǒng)所受的力及力所做的功；(3)選擇地球慣性系建立坐標(biāo)系；(4)選擇零勢能點；(原點所在水平位置)摩擦力ox零勢能點關(guān)鍵：鏈條離開桌面過程中摩擦力所做的功:任取一中間元過程55(5)計算始末態(tài)的機械能(6)應(yīng)用功能原理列方程解方程鏈條剛剛離開桌面時的速率：零勢能點L-aa零勢能點始末56定義：質(zhì)點對定點的角動量(又稱動量矩)為角動量大?。娣e）角動量方向§4角動量，角動量守恒定律1.角動量做圓周運動時，由于，質(zhì)點對圓心的