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文檔簡(jiǎn)介
結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)
結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)
第三章:?jiǎn)巫杂啥润w系的自由振動(dòng)
第3章單自由度體系的自由振動(dòng)
自由振動(dòng):結(jié)構(gòu)受到擾動(dòng)離開(kāi)平衡位置以后,不再受任何外力影響的振動(dòng)過(guò)程。
運(yùn)動(dòng)方程:擾動(dòng)的表現(xiàn):
第3章單自由度體系的自由振動(dòng)
3.1無(wú)阻尼自由振動(dòng)
無(wú)阻尼:c=0
自由振動(dòng):p(t)=0運(yùn)動(dòng)方程:初始條件:
3.1無(wú)阻尼自由振動(dòng)
設(shè)無(wú)阻尼自由振動(dòng)解的形式為:
其中:s為待定系數(shù);A為常數(shù)系數(shù)方程:兩個(gè)虛根:
3.1無(wú)阻尼自由振動(dòng)
運(yùn)動(dòng)方程的通解為:
指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的關(guān)系:運(yùn)動(dòng)方程的解:A,B—待定常數(shù),由初始條件確定。3.1無(wú)阻尼自由振動(dòng)
將位移
和速度帶入初始條件:得待定常數(shù)為:3.1無(wú)阻尼自由振動(dòng)
體系無(wú)阻尼自由振動(dòng)的解
其中無(wú)阻尼振動(dòng)是一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)(Simpleharmonicmotion)
ωn——自振頻率。
3.1無(wú)阻尼自由振動(dòng)
圖3.1
無(wú)阻尼體系的自由振動(dòng)
3.1無(wú)阻尼自由振動(dòng)
結(jié)構(gòu)自振頻率和自振周期
自振頻率:Naturalfrequency(ofvibration)
自振周期:NaturalPeriod(ofvibration)
——結(jié)構(gòu)的重要?jiǎng)恿μ匦?/p>
3.1無(wú)阻尼自由振動(dòng)
結(jié)構(gòu)自振頻率和自振周期及其關(guān)系
自振圓頻率:(單位:弧度/秒,rad/s)自振周期:(單位:秒,sec)自振頻率:(單位:周/秒,赫茲,Hz)第3章單自由度體系的自由振動(dòng)
3.2有阻尼自由振動(dòng)
運(yùn)動(dòng)方程:初始條件:
3.2有阻尼自由振動(dòng)
令u(t)=est,代入運(yùn)動(dòng)方程
得:
3.2有阻尼自由振動(dòng)
u(t)=est
當(dāng):
體系不發(fā)生往復(fù)的振動(dòng)當(dāng):
體系產(chǎn)生往復(fù)的振動(dòng)
使:成立的阻尼c稱為臨界阻尼臨界阻尼記為ccr:
3.2有阻尼自由振動(dòng)
圖3.2臨界阻尼體系的自由振動(dòng)
3.2有阻尼自由振動(dòng)
1.臨界阻尼和阻尼比
臨界阻尼:體系自由振動(dòng)反應(yīng)中不出現(xiàn)往復(fù)振動(dòng)所需的最小阻尼值。臨界阻尼完全由結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量決定的常數(shù)。阻尼比:阻尼系數(shù)c和臨界阻尼ccr的比值,用ζ表示
3.2有阻尼自由振動(dòng)
1.臨界阻尼和阻尼比
(1)當(dāng)ζ<1時(shí),稱為低阻尼(Underdamped),結(jié)構(gòu)體系稱為低阻尼體系;(2)當(dāng)ζ=1時(shí),稱為臨界阻尼(Criticallydamped);(3)當(dāng)ζ>1時(shí),稱為過(guò)阻尼(Overdamped),結(jié)構(gòu)體系稱為過(guò)阻尼體系。
對(duì)于鋼結(jié)構(gòu):
鋼筋混凝土結(jié)構(gòu):
3.2有阻尼自由振動(dòng)
臨界阻尼和阻尼比圖3.3低阻尼、臨界阻尼和高阻尼體系的自由振動(dòng)曲線3.2有阻尼自由振動(dòng)
2.低阻尼體系(UnderdampedSystems)
將:代入:得:
低阻尼體系滿足初始條件的自由振動(dòng)解:其中:ωD—阻尼體系的自振頻率
3.2有阻尼自由振動(dòng)
2.低阻尼體系(UnderdampedSystems)ωD—阻尼體系的自振頻率
TD—阻尼體系的自振周期ωn和Tn分別為無(wú)阻尼體系的自振頻率和自振周期(1)阻尼的存在使體系自由振動(dòng)的自振頻率變小(2)阻尼的存在使體系的自振周期變長(zhǎng)。當(dāng)ζ=1時(shí),自振周期TD=∞。
3.2有阻尼自由振動(dòng)
2.低阻尼體系(UnderdampedSystems)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè):ωD和TD理論計(jì)算:ωn和Tn工程中結(jié)構(gòu)的阻尼比ζ在1~5%之間,一般不超過(guò)20%,因此可以用有阻尼與無(wú)阻尼計(jì)算結(jié)果接近。圖3.5阻尼對(duì)自振頻率和自振周期的影響3.2有阻尼自由振動(dòng)
(1)低阻尼體系的阻尼對(duì)結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)的影響很大,因而,合理地確定體系的阻尼是結(jié)構(gòu)動(dòng)力問(wèn)題研究中的一項(xiàng)重要工作。(2)由于阻尼對(duì)體系的衰減自由振動(dòng)曲線影響大,通過(guò)對(duì)體系衰減曲線的分析,可以有效地分辨出不同體系的阻尼比。3.2有阻尼自由振動(dòng)
3.運(yùn)動(dòng)的衰減和阻尼比的測(cè)量
相鄰振動(dòng)峰值比:
3.2有阻尼自由振動(dòng)
3.運(yùn)動(dòng)的衰減和阻尼比的測(cè)量
對(duì)數(shù)衰減率δ:
阻尼比計(jì)算公式:小阻尼時(shí)計(jì)算公式:3.2有阻尼自由振動(dòng)
3.運(yùn)動(dòng)的衰減和阻尼比的測(cè)量
相隔j周的振動(dòng)峰值比:對(duì)數(shù)衰減率:阻尼比:J50%
—振幅衰減至50%所需的次數(shù)3.2有阻尼自由振動(dòng)
4.自由振動(dòng)試驗(yàn)
阻尼比ζ的測(cè)量(當(dāng)ζ<20%時(shí)):用位移記錄:用加速度記錄:結(jié)構(gòu)的自振周期TD的測(cè)量:用相鄰振幅的時(shí)間間隔來(lái)計(jì)算:
3.2有阻尼自由振動(dòng)
4.自由振動(dòng)試驗(yàn)
算例3.1
用自由振動(dòng)法研究一單層框架結(jié)構(gòu)的性質(zhì),用一鋼索給結(jié)構(gòu)的屋面施加P=73kN的水平力,使框架結(jié)構(gòu)產(chǎn)生Δst=5.0cm的水平位移,突然切斷鋼索,讓結(jié)構(gòu)自由振動(dòng),經(jīng)過(guò)2.0sec,結(jié)構(gòu)振動(dòng)完成了4周循環(huán),振幅變?yōu)?.5cm。從以上數(shù)據(jù)計(jì)算:
①
阻尼比ζ;
②
無(wú)阻尼自振周期Tn;
③
等效剛度k;
④
等效質(zhì)量m;
⑤
阻尼系數(shù)c;
⑥
位移振幅衰減到0.5cm時(shí)所需的振動(dòng)周數(shù)。3.2有阻尼自由振動(dòng)
4.自由振動(dòng)試驗(yàn)
解:①
計(jì)算阻尼比ζ
ui=5.0cm,j=4,ui+j=2.5cm代入方程:得:結(jié)構(gòu)屬于小阻尼體系3.2有阻尼自由振動(dòng)
4.自由振動(dòng)試驗(yàn)
解:②計(jì)算無(wú)阻尼自振周期Tn(振動(dòng)周次:4;時(shí)間:2秒)有阻尼自振周期:無(wú)阻尼自振周期:對(duì)于小阻尼體系,自振周期近似等于無(wú)阻尼自振周期
3.2有阻尼自由振動(dòng)
4.自由振動(dòng)試驗(yàn)
解:③
計(jì)算等效剛度k(外荷載P=73kN,靜位移Δst=0.05m)
④
等效質(zhì)量m3.2有阻尼自由振動(dòng)
4.自由振動(dòng)試驗(yàn)
解:⑤
阻尼系數(shù)c
3.2有阻尼自由振動(dòng)
4.自由振動(dòng)試驗(yàn)
解:⑥
位移振幅衰減到0.5cm時(shí)所需的振動(dòng)周數(shù)
3.3自由振動(dòng)過(guò)程中的能量
SDOF體系中能量來(lái)源:初始位移和初始速度體系初始時(shí)刻具有的總能量:任意t時(shí)刻體系的總能量:其中,質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能EK和彈簧的應(yīng)變能ES
:
3.3自由振動(dòng)過(guò)程中的能量
無(wú)阻尼體系中的能量:
無(wú)阻尼體系自由振動(dòng)過(guò)程中的總能量守恒,不隨時(shí)間變化,等于初始時(shí)刻輸入的能量。
3.3自由振動(dòng)過(guò)程中的能量
有阻尼體系中的能量:
在0至t時(shí)刻由粘性阻尼耗散的能量ED為:
阻尼在體系振動(dòng)過(guò)程中始終在消耗能量隨著,
t→∞體系中的總能量將完全被阻尼所消耗當(dāng)t→∞時(shí),ED=EI
3.4庫(kù)侖(Coulomb)阻尼自由振動(dòng)
圖3.9具有庫(kù)侖摩擦阻尼的彈簧—質(zhì)點(diǎn)體系
(b):(c):其中
-特解-無(wú)阻尼自由振動(dòng)頻率3.4庫(kù)侖(Coulomb)阻尼自由振動(dòng)
設(shè)在初始時(shí)刻t=0初始條件為:在第一個(gè)半周循環(huán)(0≤t≤Tn/2):由初始條件:
振動(dòng)解:一個(gè)余弦函數(shù),振幅為u(0)-uF,但其中軸向上偏移uF
當(dāng)t=π/ωn(=Tn/2)時(shí),質(zhì)點(diǎn)達(dá)到負(fù)向最大值:3.4庫(kù)侖(Coulomb)阻尼自由振動(dòng)
在第二個(gè)半周循環(huán)(Tn/2≤t≤Tn):在時(shí)刻t=Tn/2的條件為:由初始條件:
振動(dòng)解:振動(dòng)的振幅為u(0)-3uF,但其中軸向下偏移uF
當(dāng)t=2π/ωn(=Tn)時(shí):3.4庫(kù)侖(Coulomb)阻尼自由振動(dòng)
在第三個(gè)半周循環(huán)(T≤t≤3Tn/2):○○
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