第四章 頻域?yàn)V波

第四章頻域圖像增強(qiáng)24.1背景法國(guó)數(shù)學(xué)家JeanBaptisteJosephFourier在1807年和1822年提出傅立葉變換60年代出現(xiàn)快速傅立葉變換傅立葉變換域也稱為頻域34.2傅立葉變換

傅立葉積分調(diào)諧信號(hào)： 其中j2=-1傅立葉積分： 其中t代表時(shí)間，f代表頻率4傅立葉變換的定義(一維)f(x)為連續(xù)可積函數(shù)，其傅立葉變換定義為：其反變換為：F(u)=R(u)+jI(u)幅度譜：相位譜：能量譜（譜密度）5變換分析的直觀說明把一個(gè)信號(hào)的波形分解為許多不同頻率正弦波之和。6一維傅立葉變換舉例方波信號(hào)：經(jīng)過傅立葉變換后：7一維離散傅立葉變換(DFT)一維離散傅立葉變換公式為：逆變換為：8二維傅立葉變換二維傅立葉變換由一維傅立葉變換推廣而來：逆變換：幅度譜：相位譜：F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)9二維傅立葉變換舉例對(duì)于二維方波信號(hào)傅立葉變換為：幅度：10二維離散傅立葉變換對(duì)于二維傅立葉變換，其離散形式為：逆變換為：幅譜(頻譜)、相譜：111213二維離散傅立葉變換的性質(zhì)1.線性性質(zhì)：2.比例性質(zhì)：3.可分離性：14154.空間位移：5.頻率位移：圖像中心化：當(dāng)u0=v0=N/2時(shí)，166.周期性：F(u,v)=F(u+aN,v+bN),f(x,y)=f(x+aN,y+bN)7.共軛對(duì)稱性：8.旋轉(zhuǎn)不變性：9.平均值：如果f(x,y)為實(shí)數(shù)說明圖像的譜是對(duì)稱的1710.卷積定理：f(x,y)*h(x,y)<=>F(u,v)H(u,v)f(x,y)h(x,y)<=>F(u,v)*H(u,v)11.相關(guān)定理：互相關(guān)：f(x,y)Og(x,y)<=>F*(u,v)G

(u,v)f*(x,y)g

(x,y)<=>F(u,v)OG(u,v)自相關(guān)：f(x,y)Of(x,y)<=>|F(u,v)|2

|f(x,y)|2<=>F(u,v)OF(u,v)2012.帕塞瓦定理（能量定理）：若f1(x,y)=f2(x,y)=f(x,y)，則有：信號(hào)在空域的總能量等于其頻域的總能量。21頻率位移性質(zhì)當(dāng)圖像在頻率域移動(dòng)時(shí)需要用到頻率位移性質(zhì)：圖像中心化把圖像進(jìn)行傅立葉變換后，往往要把中心移到u0=v0=N/2的位置上22周期性和共軛對(duì)稱性周期性不難證明。共軛對(duì)稱性：f*(x,y)的傅立葉變換：23周期性和共軛對(duì)稱性的應(yīng)用1.圖形的頻譜分析和顯示2.圖像中心化242526平均值平均值定義：由傅立葉變換定義：因此，f(x,y)的平均值與傅立葉變換系數(shù)的關(guān)系為：27卷積卷積積分：如果函數(shù)y(t)滿足下列關(guān)系式則稱函數(shù)y(t)為函數(shù)x(t)

和h(t)

的卷積卷積積分的圖解表示：x(t)th(t)t1/211128卷積積分的圖解表示（續(xù)）：位移h(t1-)11x()x()h(-)1/2-1折迭h(t-)1/2t11*相乘2y(t)1t1t積分29卷積積分的步驟：1折迭：把h()相對(duì)縱軸作出其鏡像2位移：把h(-)移動(dòng)一個(gè)t

值3相乘：將位移后的函數(shù)h(t-)乘以

x()4積分：h(t-)和

x()乘積曲線下的面積即為

t時(shí)刻的卷積值30

包含脈沖函數(shù)的卷積：即x(t)或h(t)中有一個(gè)為脈沖函數(shù)，則它們的卷積是一種最簡(jiǎn)單的卷積-T0T0h(t)*x(t)tax(t)tA-T0T0h(t)tA31卷積定理：如果x(t)

和h(t)

的富里葉變換分別為X(f)

和H(f),則x(t)*h(t)的富里葉變換為X(f)H(f)。即卷積定理的簡(jiǎn)單推導(dǎo)：====令=t-323538頻域?yàn)V波在傅立葉變換域，變換系數(shù)反映了圖像的某些特征。頻譜的低頻分量對(duì)應(yīng)于圖像的平滑區(qū)域，而外界疊加噪聲、邊緣對(duì)應(yīng)于頻譜中頻率較高的部分等。39基本步驟圖像乘以計(jì)算圖像乘以濾波器函數(shù)計(jì)算的反變換得到實(shí)數(shù)部分將結(jié)果乘以濾波后圖像4041基本濾波器及其性質(zhì)構(gòu)造一個(gè)低通濾波器，使低頻分量順利通過而有效地阻止高頻分量，即可濾除頻域中高頻部分的噪聲，再經(jīng)逆變換就可以得到平滑圖像。高通濾波與低通濾波的作用相反，它使高頻分量順利通過，而使低頻分量受到削弱。陷波濾波器：使圖像的均值為0。4344454.3頻域平滑濾波器頻域基本的濾波模型為H(u,v):AFiltertransferfunction.F(u,v):FouriertransformoftheimageG(u,v):Objectiveimage464.3.1理想低通濾波器

D(u,v)isthedistancefrompoint(u,v)totheoriginofthefrequencyrectangle.ImagesizeisM*N.

二維理想低通濾波器的傳遞函數(shù)4748在每個(gè)點(diǎn)(u,v)處的能量4951ILPF的模糊和振鈴現(xiàn)象可以用卷積定理來解釋。

inspatialdomaininfrequencydomain52534.3.2Butterworth低通濾波器階數(shù)為n、截止頻率為D0

的Butterworth低通濾波器(BLPF)被定義為5455574.3.3Gaussian低通濾波器二維高斯低通濾波器(GLPFs)的傳遞函數(shù)為

令,則586061624.3.4低通濾波器的附加例子64高分辨率輻射計(jì)圖像654.4頻域銳化濾波器圖像的銳化可以通過高通濾波過程實(shí)現(xiàn)，減弱傅立葉變換的低頻成份，而不改變高頻信息。是低通濾波的相反過程。684.4.1理想高通濾波器2-Didealhighpassfilter(IHPF)isdefinedas694.4.2Butterworth高通濾波器704.4.3Gaussian高通濾波器714.4.4頻域的Laplacian變換734.4.4TheLaplacianintheFrequencyDomainWeformanenhancedimageg(x,y)bysubtract