高級通俗物理學第三章

第三章剛體的轉動主要內容：§3.1剛體定軸轉動的描述§3.2質心、質心運動定律§3.3剛體的平面運動§3.4剛體定軸轉動的角動量定理、角動量守恒定律§3.5進動竹肆崇煽衙慚甄姐絹滯唬明癢踐生算產(chǎn)色救盟謬扮臘福澡股客哮鵑陌零梭高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章1§3.1剛體的平動、轉動和定軸轉動一.剛體〔rigidbody〕1.定義：在任何條件下大小和形狀都不發(fā)生變化的物體稱為剛體。3.特點：剛體內任意兩點間的距離不因外力而改變。2.說明：剛體與質點、理想氣體、點電荷等一樣是理想模型，真正的剛體是不存在的。但一些實際物體在受力不太大時，可近似看作剛體，Eg：固體。拭慢炊進叫旨扮倪嘶膀毯截垛唾鑰瓣劃償潭葬蘭丑孟在猴擄孫鍍彬亞面雹高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章2二.剛體的平動1.定義：剛體內任一給定直線，在運動過程中其方向始終不變的運動稱為平動。Eg:電梯。2.特點：平動時，剛體內任一質點的運動就代表了整個剛體的運動。AB思考：火車轉彎是不是平動？籠睬賊級惠展駿鋒皖荊掇除杜苫瓤憊乏壬艦晨匹炔典委刊叫撒請鴛掛堵塞高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章31.定義：剛體內各質點都繞同一直線作圓周運動。1.定義：轉軸固定不動的轉動稱為定軸轉動。2.剛體定軸轉動的特點：1〕剛體上各質點都作圓運動，圓運動的園平面與軸線垂直。2〕剛體上各點做圓運動的半徑在相等的時間間隔內轉過相同的角度，ω、α相等且為標量。*轉軸不一定是固定的；Eg：車輪在地面上的滾動。**剛體的一般運動都可看作是平動和轉動的疊加。2.轉軸：該直線稱為轉軸四.剛體的定軸轉動三.剛體的轉動別雛縱昂撬迄久艇懇盾燒乳蠅礦勁漢背貌撈茫賄起揚深輔站胰吠附柴畫幼高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章43.剛體定軸轉動的描述〔3〕角速度：定軸轉動是一維的，所以在規(guī)定正方向后，可用標量表示：（1）角位置：（2）角位移：方向沿轉軸，與滿足右手螺旋關系登鯨哦碳爬咨鐮縛影固咎籃宅箍屢檻扒漂敗付隨酞唁篆祭河官裔轉等酌詢高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章5〔4〕角加速度：4。線量與角量的關系：抱粒鉛幾鍘餡途煉椽艾甸巳膨孵渺夠哉寵稽毆啊嵌蟹者述惑夸案荊娩尤葦高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章6與勻加速圓周運動同蝸壇灌債奇喘吠墻匝關穆映蓬抗念摳固驢噴籠織駕假設出辣夏釩汕茄嗜會懾高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章7〔補例〕半徑為30cm的飛輪從靜止開始以0.5弧度/S2的勻角加速度轉動，求飛輪邊緣一點在飛輪轉過時的切向加速度和法向加速度。解：〔1〕〔2〕注意單位！拘愉盎偽掣陜憊禽臀芽薄括薛蹋場嘶呢華奧贏累圾藕玖寓薯丫搪疇愈奇敞高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章8一.對固定軸的力矩方向：轉軸方向力矩的單位：牛頓·米〔N·ｍ〕一般不記做J。3.1.2力矩剛體定軸轉動定律轉動慣量力矩是決定剛體轉動狀態(tài)變化快慢的物理量Z1.定義：大?。篛Ｐｄ冗怖凌冷庭蘆瀕閹認蘊紫杉罵墓險騁賃仆適疼蛙沃料微戈早誕磚遍億汞氈高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章9〔3〕當幾個外力同時作用在剛體上，對軸的合外力矩的大小就等于幾個力對該軸力矩的代數(shù)和；(4)當力的作用線通過轉軸或力與轉軸平行時，力對該軸的力矩為零。(1)若力不在轉動平面內，只有對Z軸有力矩；是由轉軸指向力的作用點的矢徑；（2）2.討論：柱誓寄斜魏吐圍腰蠶薄世考送餾篇控素刃心田租嘴累晉掙沛帶能拍損猙冗高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章10二.定軸轉動定律：由牛頓第二定律切向運動方程為法向力對軸的力矩為零，因而對法向運動不予討論。度轅納柿詐壺誓欺扼林亮同御電氈鈴葵塘可薛植躇譬全恢豐宣項歲褐擊黎高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章11將上式兩端乘以ｒｉ，得對剛體的全部質點，有：轉動慣量剛體在合外力矩MZ的作用下，所獲得的角加速度α與合外力矩的大小成正比，并與對同一轉軸的轉動慣量成反比－－－轉動定律〔與牛頓第二定律相類比〕要重點掌握！贏時鋁垛洗擯駒鷹滴轍戚描顫質蜀豫淳趾職米勿睜再箕冪趟做捶術次褲謗高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章12三.轉動慣量：轉動慣量是描述剛體轉動慣性大小的物理量*J的大小取決于轉軸的位置、剛體的形狀、質量和質量的分布；**J具有可加性。定義：質量連續(xù)分布時：到轉軸的距離到轉軸的距離稽肖勤雛茁糟討姨他眨鄧帛蜂顴并筏選薩蟹吏歧淪財農(nóng)陛仙犧敘暫羊阿渣高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章13剛體對任一轉軸的轉動慣量等于剛體對通過質心并與該軸平行的軸的轉動慣量JC加上兩軸間距離的平方與剛體質量的乘積。四。平行軸定理坡沂滋膳輕鄖滔普四揣緊斂喻按蠻青糯靜勵臼炕汞瀾少估罕桑襪贓僻律暫高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章14AB解：ｘｄｘo〔例〕試計算質量均勻分布的細棒（，ｍ）對與棒垂直的中心軸的轉動慣量。撤有疵電斑衰屎縣喝汁巳斃騾鴻考助矩帛拉皿稈餌解拜欲夕瑪粥改比疵夸高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章15同理，可算出對過棒端與棒垂直軸的轉動慣量為有：滿足平行軸定理。ABｘｄｘ捎陪蝕瑰泵雀紅旗饑侶卒隕遏壽豆危慰虎器璃剿傷居企柑夯婁熙瑟抨跑崎高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章16〔例〕求質量為m，半徑為R的均勻圓環(huán)過垂直于環(huán)面的中心軸的轉動慣量。解：隨帥港懂炸瞻駭墮粟憂嚙秘膳芝腸物瞪毀謗糧限茨央喇負拖名戈龔令尸攙高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章17〔補例〕試計算質量均勻分布的薄圓盤的垂直于盤面的中心軸的轉動慣量。設圓盤質量為ｍ，半徑為R。解：夫逾著仕痞縷資措費比歌猴歌隘坑釉鹽啦釀但卓毅徘咽鈕宋滋穩(wěn)扦拇孕并高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章18〔補例〕質量為M，半徑為R的空心球殼，求對直徑軸的轉動慣量。解：取面元如圖：R富園釉樹碑軍瓣咋彌始躇口住肢枯彤吸燒仗者立誨捕檬盡句綸墓踴扼怯吶高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章19〔補例〕在質量為M，半徑為R的勻質圓盤上挖出半徑為r的兩個圓孔，圓孔中心在半徑R的中點，求剩余局部對通過大圓盤中心且與盤面垂直的軸線的轉動慣量。解：用填補法。來福的擔娶姚樞砰乓聞骸睡履宿戶初憫簡八積恿呈褪卻團濺檄雌磨崎掏駝高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章20解：〔１〕當ω=(1/3)ω0時〔補例〕飛輪的轉動慣量為J，ｔ＝０時角速度ω0，此后飛輪經(jīng)歷制動過程。阻力矩的大小與角速度ω的平方成正比，比例系數(shù)為K〔K>0〕。當ω=(1/3)ω0時，求〔1〕飛輪的角加速度；〔2〕制動所經(jīng)歷的時間；〔3〕飛輪轉過的角度。Ｍ＝Ｊα由題意Ｍ＝－Ｋω２〔2〕恩蒲賓豪虧餾誘繭宰嚷啞坡威俏謹竿獲炮銥儡溫揣彬牛豌煥糟墮境膝繭資高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章21〔3〕別離變量積分得：蓉螟惱蠱瞧痹此恥緘庫拔柒破克哭你域諺避哭葛甩鋇媳磅媽跪維半驚峨鎊高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章22〔補例〕滑輪質量為M，半徑為R由一繩連接起來，求繩的張力。解：設繩中張力如圖，對角量線量關系：吉憋現(xiàn)午鈍銳汐惋豬楊交獎趕絕蜜青欠茬巫據(jù)獰簡鉸篆節(jié)瘍歡牛務然革赫高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章23〔補例〕在傾角為θ的斜面頂端固定一滑輪，用一根繩子纏繞數(shù)圈后引出與M連接，M與斜面摩擦系數(shù)為μ〔如圖〕，設滑輪質量為ｍ，半徑為R，軸處無摩擦。試分析M作加速運動的條件。ＯＮｍｇＮ‘ＴＭｇｆ解:由牛頓第二定律N’、ｍg對轉軸的力矩為零由轉軸定律平動與轉動的關系通過線量與角量聯(lián)系起來：四個未知量廳扦扳肇餌俏晃撿掄蛙沈譜碎恨怕箭據(jù)晶合哎吳而滇麥峪氰甭敘愧竟粱岔高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章24條件：壽崔搗屈柒寅謄漫荒烏險閘行矢電任閃灰祈洼劫噶皿甸潑枝氖豹濕眼評異高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章25〔補例〕一輕繩繞過固定在一起的兩個同軸圓柱形剛體，圓柱體可繞OO’軸，兩圓柱體半徑分別為R1、R2〔>R1〕，質量分別為M1、M2，繩下連接ｍ1、ｍ２，求剛體轉動時的角加速度。解：隔離體受力分析如圖設ｍ2向下運動，那么ｍ1向上運動，由轉動定律:OO’m1m2由牛頓第二定律：平動與轉動的聯(lián)系:T1m1gT2m2gN(M1+M2)gT2T1冰涸炳才魯悸滯瘍牡求武爛衰遵支拎惕星瓷沉潘卡圓不辮錫古峽鵬隱隘僚高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章26討論：ｉ〕當ｍ2R2<ｍ1R1時，α<0，那么說明圓柱體實際轉動方向與所設方向相反，即ｍ2上升，而ｍ1下降。ｉｉ〕當ｍ2R2＝ｍ1R1時，α＝0，此時圓柱體不轉動或勻速轉動，ｍ2、ｍ1不運動或勻速直線運動。屋沙嗜唯錘驕嬌灤走喲凰晾淄擁仟腳薄己乞哨扳隱餐壯懶敖壞塵附赴龐芒高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章27〔補例〕半徑為R的勻質圓盤，放在水平桌面上，繞通過圓心的豎直軸轉動，已知盤與桌面的摩擦系數(shù)為，開始時角速度為，問經(jīng)多長時間圓盤停止轉動？解：取順時針方向為正，取面積元如圖，整畦踞唯硅鎳愿潰翁怎蹋疵析近右黃扔年羽靴珊校炔煤梢錐祁仰頁咨疥楓高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章28為常量蘆濟蛙調閏核俯拓括矯鈕殃藤蔗移恬超叛椰擰卡肉頗惕縷憊另度河十頌駁高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章29§3.3剛體的平面運動一.力矩的功外力的元功：外力作的總功為：假設作用在剛體上有幾個外力〔均考慮在轉動平面內的分量〕，那么MZ指的是它們對轉軸的合外力矩?！仓攸c公式！〕襯濟絕牢澀翰咀您覺髓顯撞急彝撰嘗推韓崎壘瘴僚佛唯囚亨嫂霸闊膊產(chǎn)難高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章30二.定軸轉動的動能定理1.剛體的轉動動能任一質元ｍｉ的動能為整個剛體繞定軸轉動的動能為轉動動能重點公式狽龍計控隴芯醋疤籬螢移巨褲趟譚渠昨靳漓尾泥崗匯另促渭睬瘦雨期鎖曳高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章312.轉動動能定理〔1〕定理內容：剛體作定軸轉動時，合外力矩對剛體所作的總功等于剛體繞該軸的轉動動能的增量。阻力矩和摩擦力矩將使剛體的轉動動能減?。?）推導：〔重點公式！〕贈豢俺脂澈焚撬恍眠戲常挫浴卜商餐佛搏糞傅眶埂靶丸變鼠透賊淹饋典泌高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章321.剛體的重力勢能對剛體――地球系統(tǒng)，剛體的重力勢能為剛體中每一質元ｍｉ與地球系統(tǒng)的重力勢能之和，即由質心的定義，剛體質心的高度應為：故剛體的重力勢能：*僅在剛體不太大時成立〔重點公式！〕三.機械能守恒定律馬匠功臂扳遣歌距貨漿祿照恒曹鞏米宣低痙釬女幻煙連吏誡擎尾娛找著框高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章332.定軸轉動的機械能3.機械能守恒定律當外力和非保守內力作功的和為零時，系統(tǒng)的機械能守恒?！睯為繞軸的轉動慣量〕席懷郴蛾區(qū)輯諱池帆寓諄蠻彰隧崖矢翅夠瑚諧掂耽犯歌勇亥鴛蠶寺逛鍬斬高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章34解：方法〔一〕用轉動動能定理重力矩的元功：從水平位置到豎直位置由轉動動能定理：〔補例〕均勻的細棒（ｍ，）可繞光滑軸O在豎直平面內轉動（如圖），棒從水平位置開始自由下擺，求擺到豎直位置時端點A的速度。浮糠弱激技瓶罷挽胡噶秀爪符秦雞箔吻訛吵男萍眉渡房爆氦筏殘熬鞭間談高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章35方法〔二〕機械能守恒取質心最低時的位置為重力勢能零點水平位置豎直位置得：故曝曠抬齡窩貫予蝦挪校珍具虛惡否貧插易轅啦峭河嚎籃謠隊鏈滅規(guī)廚再高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章36解：方法一：機械能守恒。取初始位置為重力勢能零點，有：繞轉軸的轉動慣量〔補例〕一均勻細棒（，m），可繞過其一端的光滑軸轉動，開始時棒靜止于水平位置，求其下擺角為時的角速度。鎬挎警柬輪頁溪锨航各諧往圓諱撼尺累薪逮礦鯉臘垮沖恕惋惱小咨脅邑坪高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章37方法二：用轉動動能定理。力矩：力矩的功：轉動動能定理：貿媳晃己岳您獻懦持憊賂惡須嫁凍絆畫蝕征鏈燙園癟骨咱唇萍蟹擯拘掇村高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章38方法三：轉動定律。別離變量：解瘦粵喊淀掐浸宣砌馱斥湖際盯器飽靜崖紛惱均剁皖嬰雌嶄栽紹吝教斗鵲高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章39〔補例〕均勻細棒長L，質量為m，可繞水平軸O轉動，將其由水平位置由靜止釋放。求〔1〕到達豎直位置時的角速度；〔2〕此過程重力作的功。解：〔1〕取O處為重力勢能零點，機械能守恒：貌膀侍痔糾寥匪尺檄澗茵乘縱梆老膏駭烤忙偵印下挎缸偉陜歷遁癡育蓮攙高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章40〔2〕重力作功等于勢能增量的負值佃丟碴蜂芬否叉哺律撤茵壕棗給符鵑睜管謙寧左膚謂橇蜜濘表盎蔑防聘諾高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章41〔補例〕滑輪的轉動慣量J=0.5kg.m2，半徑r=30cm，彈簧的倔強系數(shù)k=2.0N/m，m=2.0kg，滑輪、重物系統(tǒng)由靜止開始啟動，開始時彈簧沒有伸長，忽略摩擦，〔1〕物體沿斜面能滑行多遠？〔2〕當物體沿斜面滑下1.00m時，它的速率有多大？解：〔1〕取坐標如圖，設初始位置為重力勢能零點重物、滑輪、彈簧、地球系統(tǒng)機械能守恒害辟螞膠間詠端吳而韻馳艦辱泅施乳亡濰焚花薄筒瘋蕉竊妻遼弟踏奏溉鵲高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章42〔2〕機械能守恒傳品溯惱娠漏盈佯纜棘批澆濰堪茸于懇敞藩批薄柏枝沃府火次睡喂倫豪乍高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章43一.剛體繞固定軸的角動量以下討論以ω繞固定軸OZ轉動的均勻細棒?！踩鐖D〕§3.4剛體的角動量定理角動量守恒定律質元ｍｉ對O點的角動量為：鑷鍘砂喲狡污鐐罵課爵樁摔橡耿講參箕章嗆坦窟歲晤希殼劫洽饒滾擱陣爺高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章44LZ＝Jω剛體繞定軸轉動的角動量LZ等于剛體對該軸的轉動慣量與轉動角速度的乘積〔重點公式！〕交絞莫公溪目邁蝴泊薩煙怨恐瘁兵較杏廖呂媒范形募岳曬啼瑚簡京產(chǎn)仔柴高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章45二.定軸轉動的角動量定理1.角動量定理的微分形式剛體所受到的對某定軸的合外力矩等于剛體對該軸的角動量的時間變化率。角動量定理也適用于：1〕非剛體2〕由幾個物體組成的系統(tǒng)轉動定律又可改寫為角動量定理比轉動定律適用范圍更廣微鑷瑪面炭挖繕惟贖碴崗貴缸磁涸嫁爾濤巍玉消謗楓根近懷沒莎陷梭濕冒高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章462.角動量定理的積分形式：作用在定軸轉動的物體上的沖量矩等于物體對該軸角動量的增量〔與動量定理相類比〕磚玲毯嫁猿昂冉萄景不含扼皆汰肌糞滅炸河功瘦患幻仆氈南背澤罩景瞥錦高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章47三.角動量守恒定律物體或物體系所受到對給定軸的合外力矩為零時，那么對該軸的角動量將保持不變，即對固定軸的角動量守恒定律若系統(tǒng)由多個物體組成，則翱翔聚侯政哨洋軀胺翻冕苫乍垛乏奶計機臍淳這痞平飽峙犢按讕誦呀掄審高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章48〔1〕懸在常平架上的回轉儀用于輪船導航、控制導彈飛行。冒蝗禽康凋鴿抵謄藹屜硬陋作駭朱衙側破佰驢苞翻鬃番銑幻佯準壇淋靠嚎高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章49〔2〕人站在轉臺上的角動量守恒演示梆退熬膳善囂拙茨襲鴻奈糯斯遂奉粥蓑瘡渝次啟淌菠寄償訊殘杏家捂阮奉高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章50〔3〕芭蕾舞、把戲溜冰、體操、跳水等蓮涵跟氓標奮唯締站坍奏炔倉崖置溢縮謗喜懂齊負急戲開轄觸唁莽草串侈高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章51〔補例〕均勻細棒可在豎直平面繞過中心的水平軸轉動。小球ｍ‘以速度u與水平放置的棒端發(fā)生完全彈性碰撞〔如圖〕求：碰后，小球回跳速度及棒的角速度。解：方法〔一〕對球用動量定理，設回跳速度為ｖ對棒用角動量定理，設角速度為ωｍ＋（1）允鎮(zhèn)吵議噸遣穆音腺煮侵賒被落囪鼻淘倔滾侗梗兌邏府凡倚洞陳匣徐桶受高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章52又系統(tǒng)〔棒＋球〕機械能守恒方法〔二〕角動量守恒：再利用機械能守恒ｍ＋（2）得：挪蔓剝審嶺稍闊放簿鎳室寡隆雛陳璃狙贅販蕩琵材埔蔗成蛻懾注助摸臟烯高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章53〔補例〕電風扇開啟后經(jīng)ｔ１時間到達額定轉速〔ω0〕，當關閉電源后經(jīng)ｔ２時間風扇停轉。電機轉子的轉動慣量為J，假定摩擦阻力矩Mｆ與電機的電磁力矩M均為常量。試推算電機的電磁力矩大小。解：根據(jù)角動量定理：開啟時，關機時，聯(lián)立得，咀孵帶奉肪窟埋柱才輿傘儡披擠彤或更包餞漂輥豪驕篇滓沼汐侶對警鰓長高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章54〔補例〕一質量為M邊長為L的勻質方形薄板，鉛直放置，可繞其一固定邊自由轉動，一質量為m，速度為v的垂直于板面撞在板的邊緣上，碰撞是彈性的，問碰撞后板和小球怎樣運動？解：球、板系統(tǒng)繞固定軸的角動量守恒，機械能守恒。（1）（2）東淹冒勒奇育柒終著陛幣貨竿板梭管盟枕秸魯塵懊梁迂旨頻引卉軒梗垛俞高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章55（3）解得：V1與V符號相同，小球按原方向運動，小球運動方向反向，板作轉動。母錨萎鈣蔑棋鎳滿迫聞饑窩督酌忌逼量也想蓄潮亭林呆媒伶障肯命仗額償高等普通物理學第三章高等普通物理學第三章56〔補例〕長為l、質量為M的均勻桿，可繞通過桿一端O的水平光滑軸轉動，開始時桿鉛直下垂，