結構力學基礎

結構力學基礎一、靜定結構分析二、超靜定結構分析三、影響線及其應用四、結構動力學基礎2/2/20231§1-1概述§1-2靜定梁與靜定剛架§1-3靜定桁架§1-4靜定拱§1-５靜定結構位移計算一、靜定結構分析2/2/202321.工程結構的定義:——由基本構件（如拉桿、柱梁、板等）按照合理的方式所組成的構件的體系，用以支承荷載并擔負預定的任務。如：橋梁、房屋等。

§1-1概述一、靜定結構分析2/2/202332.結構力學的研究對象:研究對象材料力學——研究單個桿件彈性力學——研究桿件（更精確）、板、殼、及塊體（擋土墻）等非桿狀結構結構力學——研究由桿件系統(tǒng)（FramedStructure）組成的工程結構?！?-1概述2/2/20234桁架結構傳力分析§1-1概述2/2/20235拱結構傳力分析§1-1概述2/2/202363.結構力學的任務：(1)研究結構在荷載等因素作用下的內力（強度）及位移（剛度）計算。

☆強度——結構在外力作用下是否會破壞的問題。（如：橋在火車作用下的內力計算問題）?！顒偠取Y構在外力作用下變形是否滿足規(guī)定值。（如：橋在火車作用下的位移、撓度、轉角計算）。

§1-1概述2/2/20237

(2)研究結構的穩(wěn)定性及動力荷載作用下的反應。

☆穩(wěn)定性——受壓構件在軸向壓力作用下，能否保持其直線平衡狀態(tài)?！?-1概述(3)研究結構的組成規(guī)則和合理形式。

桿件如受壓后變彎——失穩(wěn)NN2/2/20238§1-2靜定梁與靜定剛架1.單跨靜定梁彎矩圖--習慣繪在桿件受拉的一側，不需標正負號軸力和剪力圖--可繪在桿件的任一側，但需標明正負號NBANABQBAQABMAB正MBA負A端B端桿端內力內力圖2/2/20239一般為斜直線水平線拋物線(下凸)有極值為零處有尖角(向下）有突變(突變值=

P)有極值如變號無變化

有突變（突變值=M）剪力圖彎矩圖梁上情況無外力均布力作用(q向下)集中力作用處(P向下)集中力偶M作用處鉸處無影響為零斜直線()2/2/2023101.單跨靜定梁例：令Q(X)=3qa－qx=0得X=3a2/2/2023111.單跨靜定梁利用疊加法作M圖：疊加后得：2/2/202312P

aPlabAB?應熟記常用單跨梁的彎矩圖2/2/202313ABlqql2

22/2/202314BAqlql2

82/2/202315BAPlabPabl2/2/202316MBAablMl

alM

blMMl2/2/2023172.多跨靜定梁:

關鍵在于正確區(qū)分基本部分和附屬部分，熟練掌握截面法求控制截面彎矩，熟練掌握區(qū)段疊加法作單跨梁內力圖。多跨靜定梁——由若干根梁用鉸相連，并用若干支座與基礎相連而組成的靜定結構。2/2/202318基、附關系層疊圖多跨靜定梁簡圖基本部分--不依賴其它部分而能獨立地維持其幾何不變性的部分。

附屬部分--依賴基本部分的存在才維持幾何不變的部分。2/2/2023192.多跨靜定梁

*多跨靜定梁的受力分析及內力圖

分析計算順序：先附屬部分，后基本部分。

(1)確定全部反力（包括基本部分反力及連接基本部分與附屬部分的鉸處的約束反力），作出層疊圖。

(2)將多跨靜定梁折成幾個單跨靜定梁，按先附屬部分后基本部分的順序繪內力圖。

2/2/2023202.多跨靜定梁例2/2/2023213.靜定平面剛架

*剛架的概念：剛架是由梁和柱共同組成的一個整體承重結構。其特性總是有剛結點,即梁和柱的連接是剛性連接。共同承載，可削減M峰值。剛結點2/2/202322保持角度不變剛結點處的變形特點3.靜定平面剛架

2/2/202323

例.作內力圖

3.靜定平面剛架2/2/202324(1)

求反力。

切斷C鉸，考慮右邊平衡，再分析左邊部分。求得反力如圖所示：3.靜定平面剛架C2/2/202325(2)作M圖

(3)做Q、N圖

(4)校核M圖

N圖Q圖3.靜定平面剛架2/2/202326§1-4靜定桁架2/2/202327*

桁架的定義：——由若干個以鉸（Pins）結點連接而成的結構，外部荷載只作用在結點上。§1-4靜定桁架1.結點法求桁架內力截取桁架中的任一結點，由作用于該結點的外力及繞該結點諸桿的內力組成的平面匯交力系的平衡條件:由此求出該結點處各桿的內力。

2/2/2023281.

結點法求桁架內力⑴先求出桁架的支座反力。⑵對于簡單桁架，先取用兩根桿件組成的結點，按求其內力，然后按幾何組成的反順序，依次求出其他桿內力。計算順序：(組成順序：2→6→3→5→4)結點法計算順序：4→5→3→6→21234765如：2/2/2023291.

結點法求桁架內力例2641357幾何組成：3→4→6→5→72/2/2023301.

結點法求桁架內力首先取結點7：再取結點5：易求得：依次6→4→3可求得其余各桿內力（如圖）7N5352/2/2023311.

結點法求桁架內力2641357+60-45+60+750-50+15-120+25-20-202/2/2023322.

截面法求桁架的內力原則：截取桁架的某一部分（包含二個或二個以上結點）作為脫離體，應用平面一般力系的三個平衡條件，求解桁架內力。2/2/2023332.截面法求桁架的內力作法：(1)截取包含三根桿件部分的桁架，應用平衡條件求解。1KN1KN1KNⅠⅠ2/2/2023342.

截面法求桁架的內力(2)當截取的桿件在三根以上時：1)當截取n根桿件時，其中n－1根桿件相互平行，則用投影方程求出不與其平行桿的內力。ⅠⅠ求2/2/2023352.

截面法求桁架的內力2)當截取n根桿件，其中n－1根桿相交于一點，則用力矩方程，求出與其不相交桿的內力。求2/2/2023362.

截面法求桁架的內力例1.作截面I-I，取左半部分，利用力矩平衡條件可得：2/2/2023372.

截面法求桁架的內力作I-I截面，取上半部分：例2.求2/2/2023382.

截面法求桁架的內力作I-I截面，取左部分：例3．求2/2/2023393.

截面法與結點法的聯(lián)合應用例II2/2/2023403.

截面法與結點法的聯(lián)合應用作截面I-I，取左半邊：由考慮結點5：考慮結點8：考慮結點6：682/2/202341§1-5靜定拱2/2/2023421.基本概念

*拱的定義拱——桿軸線為曲線，并在豎向荷載作用下將產生水平推力的結構。無水平推力，為曲梁

§1-5靜定拱2/2/2023432.

三鉸拱的數解法1.

求反力：HA、HB、VA、VB§1-5靜定拱2/2/2023442.

三鉸拱的數解法取左半拱為隔離體，考慮其平衡：

——相應簡支梁在C處的彎矩。

三鉸拱的約束反力只與荷載及三鉸的位置有關，

與拱軸線無關。

2/2/2023452.

三鉸拱的數解法*

內力計算：⑴任一截面K(位置)：

⑵內力：

2/2/2023462.

三鉸拱的數解法⑶彎矩計算：2/2/2023472.

三鉸拱的數解法

⑷軸力計算：

⑸剪力計算：

——左正、右負

三鉸拱的內力與拱的軸線形狀有關。

2/2/2023483.

三鉸拱的合理拱軸線

(1)定義：在已知荷載作用下，能選擇三鉸拱的軸線，使得拱的所有橫截面上的彎矩為零。該拱的軸線就稱為三鉸拱的合理拱軸線。

(2)條件：拱軸線與壓力線重合時，滿足橫截面上的彎矩M＝0、Q=0，而僅有軸力N。

2/2/202349例3.

三鉸拱的合理拱軸線2/2/202350求各段的合理拱軸線。⑴AD段：

⑵DC段：

⑶BC段：3.

三鉸拱的合理拱軸線2/2/202351§1-５靜定結構位移計算2/2/2023521.變形體系的虛功原理變形體系處于平衡的充要條件是：對于任何虛位移，外力所作虛功總和等于各微段上的內力在其形變上所作的虛功之和，或外力虛功等于變形虛功。§1-５靜定結構位移計算2/2/202353平面桿系：——虛功方程γγ力：位移：§1-５靜定結構位移計算2/2/2023542.位移計算的一般公式·單位荷載法桿系結構的虛功方程:——虛力原理求位移§1-５靜定結構位移計算2/2/2023552.位移計算的一般公式·單位荷載法位移狀態(tài)（實際狀態(tài)）力狀態(tài)（虛擬狀態(tài)）△γQMN§1-５靜定結構位移計算2/2/2023562.位移計算的一般公式·單位荷載法外力：內力：——由上式可求出位移△K。力狀態(tài)§1-５靜定結構位移計算2/2/2023572.位移計算的一般公式·單位荷載法——在虛擬的力狀態(tài)中，于所求位移點沿所求位移方向加一個單位荷載，以使荷載虛功恰好等于所求位移的計算位移方法。單位荷載法：§1-５靜定結構位移計算2/2/2023583.荷載作用下的位移計算若MP、NP、QP表示實際狀態(tài)中微段上的內力。由材料力學知：§1-５靜定結構位移計算2/2/2023593.荷載作用下的位移計算——平面桿系結構在荷載作用下的位移計算公式?！?-５靜定結構位移計算2/2/2023603.荷載作用下的位移計算說明：1.逐段、逐桿積分。2.精確于直桿、曲桿不精確。如其曲率不大（截面高≤R），可得較精確的解。3.對以受彎為主的結構（梁、剛架）：對只有軸力的結構（桁架）：組合結構則應分別對待?！?-５靜定結構位移計算2/2/2023613.荷載作用下的位移計算例：求△cy1.

建立力狀態(tài)，在C點加單位豎向力。2.

建立各桿內力方程：3.

求位移：EIEI§1-５靜定結構位移計算2/2/2023623.荷載作用下的位移計算積分注意事項：⒈逐段、逐桿積分。⒉兩狀態(tài)中內力函數服從同一坐標系。⒊彎矩的符號法則兩狀態(tài)一致。§1-５靜定結構位移計算2/2/2023634.圖乘法可用圖乘法代替積分運算的條件：(1)桿軸線為直線。(3)之中至少有一者為直線圖形（或由直線段組成的折線）。(2)EI沿桿長不變?！?-５靜定結構位移計算2/2/202364yy0MP圖M1圖dxABxx04.圖乘法§1-５靜定結構位移計算2/2/202365條件：1各桿EI為常數；2桿軸為直線；3MP、M1中至少有一個為直線圖形。積分等于曲線圖形的面積乘以其形心對應的直線圖形的縱坐標。已知：EI為常數。求：MP圖M圖M=11例1、解：MP、M圖均為直線，縱坐標可從任意圖形中選。PlPlB2/2/202366例2、解：已知：EI=常數。求B點的轉角。aaPAB4EIEIEIPaMP圖M圖1M=1“-”說明實際的轉角方向與所設的單位力方向相反2/2/202367§1-５靜定結構位移計算2/2/202368§1-５靜定結構位移計算2/2/202369§2-1力法§2-2位移法二、超靜定結構分析2/2/2023701.超靜定結構的概念§2-1力法*計算方法2/2/2023712.

力法的基本概念*基本未知量思路：將對超靜定結構的分析轉化為對靜定結構的分析。多余未知力——基本未知量*基本結構§2-1力法2/2/2023722.

力法的基本概念*基本方程（幾何）位移條件方程：2/2/202373*基本步驟1、選取基本結構。2、列出典型方程：3、計算系數和自由項：4、解方程：5、作M圖：2/2/2023742.

力法的基本概念總結力法：

解除超靜定結構的多余聯(lián)系而得到靜定的基本結構，以多余未知力作為基本未知數，根據基本結構應與原結構變形相同而建立的位移條件，首先求出多余未知力，然后由平衡條件即可計算其余反力、內力的方法?！?-1力法2/2/202375力法的基本原理求解圖示單跨梁原結構待解的未知問題AB基本結構已掌握受力、變形primarystructureorfundamentalstructure基本體系fundamentalsystemorprimarysystem轉化2/2/202376變形協(xié)調條件力法典型方程(TheCompatibilityEquationofForceMethod)未知力的位移“荷載”的位移總位移等于已知位移已掌握的問題消除兩者差別2/2/202377疊加作彎矩圖或系數求法單位彎矩圖荷載彎矩圖

—

位移系數自乘系數和未知力等于多少？

—

廣義荷載位移互乘2/2/2023783.力法的典型方程三次超靜定x1x23§2-1力法2/2/2023793.力法的典型方程將位移展開：令分別是引起的的作用點沿方向的位移。同理?！?-1力法2/2/2023803.力法的典型方程于是得：可寫出其一般形式：主系數，主位移。付系數，付位移?！?-1力法2/2/2023813.力法的典型方程系數梁剛架：桁架：自由項梁剛架：桁架：§2-1力法2/2/202382例11、取基本結構：2、基本方程：3、作圖，求算系數和自由項：解：4.實例分析2/2/2023834、解方程：5、作圖：2/2/202384例2解：1、取基本結構：2、3、求系數。4、解方程:5、2/2/202385力法基本思路小結

根據結構組成分析，正確判斷多余約束個數——超靜定次數。

解除多余約束，轉化為靜定的基本結構。多余約束代以多余未知力——基本未知力。

分析基本結構在單位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立位移協(xié)調條件——力法典型方程。

從典型方程解得基本未知力，由疊加原理獲得結構內力。超靜定結構分析通過轉化為靜定結構獲得了解決。2/2/202386將未知問題轉化為已知問題，通過消除已知問題和原問題的差別，使未知問題得以解決。這是科學研究的基本方法之一。2/2/202387

由于從超靜定轉化為靜定，將什么約束看成多余約束不是唯一的，因此力法求解的基本結構也不是唯一的。解法1：原結構基本體系FPFP解法2：原結構基本體系FPFP2/2/202388原結構FP基本體系FPM1圖M2圖FPaFPMP圖單位和荷載彎矩圖2/2/202389FPaFP由單位和荷載彎矩圖可勾畫出基本體系變形圖FPFPaFP由單位和荷載M圖可求得位移系數、建立方程FP（×Fpa）2/2/202390原結構FP基本體系FPFPaFP單位和荷載彎矩圖2/2/202391對稱荷載:作用在對稱結構對稱軸兩側,大小相等,方向和作用點對稱的荷載反對稱荷載:作用在對稱結構對稱軸兩側,大小相等,作用點對稱,方向反對稱的荷載5.對稱性(Symmetry)利用對稱荷載反對稱荷載2/2/202392對稱荷載反對稱荷載PllMllPllEI=CllEI=CM右面這些荷載是對稱,反對稱荷載,還是一般性荷載?5.對稱性(Symmetry)利用2/2/2023935.對稱性利用對稱性利用原則：⑴取對稱的基本結構。⑵如荷載對稱或反對稱——取半結構。2/2/2023945.對稱性利用*取半結構1、奇數跨對稱結構：⑴對稱荷載：⑵反對稱荷載：2/2/2023955.對稱性利用2、偶數跨對稱結構：⑴對稱荷載：2/2/2023965.對稱性利用⑵反對稱荷載：2/2/202397例12/2/202398例2⑴取半結構，基本結構：⑶求系數：⑵⑷若

強梁弱柱若

弱梁強柱

很小2/2/202399例32/2/20231006.超靜定結構位移計算*基本原理：在荷載及多余未知力共同作用下，基本結構的受力和位移與原結構完全一致。因而求超靜定結構位移，可用求基本結構位移來代替。虛功原理§2-1力法2/2/20231016.超靜定結構位移計算圖2II△kk圖2II§2-1力法2/2/20231026.超靜定結構位移計算

如取基本結構求虛擬狀態(tài)的內力，可使問題簡化。圖k圖2II§2-1力法2/2/20231036.超靜定結構位移計算再取一種基本結構：圖k圖2II同樣可得：§2-1力法2/2/2023104*發(fā)展歷史

1864年出現(xiàn)力法。上世紀初出現(xiàn)了混凝土，出現(xiàn)了高次超靜定結構，用力法解高次超靜定問題十分繁瑣，于是建立了位移法。30年代出現(xiàn)了由位移法演變而來的漸進法。

§2-2位移法1.概述

2/2/2023105*位移法與力法的區(qū)別

在給定的外部因素的作用下，（幾何不變的）結構真實的解答是唯一的。兩者有確定的關系，知其一必知其二。真實解答中

力法，先求力（未知力、內力、反力），再計算相應位移。位移法，先確定位移，再求內力?！?-2位移法1.概述

2/2/2023106*位移法與力法的區(qū)別

用力法求解，有6個未知數。

用位移法求解，未知數=

？個?！?-2位移法1.概述

2/2/20231072.位移法基本解題思路例：作M圖：(順時針作用于桿端的彎矩正)2/2/2023108歸納出位移法解題的基本思路：⑴依據幾何條件（支、變形），確定某些結點位移為基本未知數。⑵視各桿為單跨超靜定梁，建立內力和位移的關系。⑶由基本方程（平衡方程）求位移。⑷求結構內力。2.位移法基本解題思路2/2/2023109*位移法中需要解決的問題：⑴解出單跨超靜定梁在常見外部因素作用下的內力。⑵確定以哪些結點的哪些位移為未知量。⑶如何建立一般情形下的基本方程。2.位移法基本解題思路2/2/20231103.位移法的基本未知數與基本結構*基本未知量——結點的位移先確定數目⑴角位移的數目（未知量）=剛結點數固端支座——角位移=0鉸支座，鉸結點——角位移不獨立。2個角位移3個角位移3個角位移2/2/20231113.位移法的基本未知數與基本結構⑵線位移未知量數目首先必須強調

那么，有兩個已知無線位移的點引出的不共線的受彎桿形成的新的結點也無線位移。一般方法：取鉸接體系：結點線位移數=自由度數=使絞結體系成為幾何不變體系所必加的最少鉸鏈桿數

2/2/20231123.位移法的基本未知數與基本結構2/2/20231133.位移法的基本未知數與基本結構*基本結構——單跨超靜定梁的組合體。⑴假設在剛結點處加上附加剛臂-----阻止結點轉移⑵適當地加入附加鏈桿-----使結點無線位移2/2/20231144.位移法的典型方程及計算步驟*基本原理及基本方程——充分利用疊加原理考慮如下結構：2/2/20231154.位移法的典型方程及計算步驟基本結構轉化為原結構的條件是

：基本結構在給定荷載及結點位移Z1、Z2共同作用下，在附加約束中產生的總約束反力R1、R2應等于零，即2/2/20231164.位移法的典型方程及計算步驟由疊加原理求如R1、R2，分解成下列幾種情形：(1)荷載單獨作用——R1P、R2P（相應約束反力）(2)單位位移單獨作用——2/2/20231174.位移法的典型方程及計算步驟(3)單獨作用——疊加以上結果得：——典型方程——單位位移單獨作用引起的第一個附加約束中的反力（矩）。2/2/20231184.位移法的典型方程及計算步驟當有n個基本未知量時：根據反力互等定理：2/2/2023119解題過程：超靜定結構拆成基本結構加上某些條件原結構的變形協(xié)調條件（力法基本方程）2/2/2023120位移法：先求某些結點位移結構內力解題過程：結構拆成單根桿件的組合體加上某些條件1.桿端位移協(xié)調條件2.結點的平衡條件2/2/2023121*計算步驟（實例分析）1、取基本結構：2、列剛度方程：3、系數及自由項：（作、，借助表11-1）2/2/2023122解典型方程，求位移：解得4、疊加繪M圖：2/2/2023123例：1、簡化原結構，取基本結構:2、列基本方程：3、求系數：2/2/20231244、解方程得：2/2/20231255對稱性的利用

外部因素奇數跨偶數跨2/2/20231265對稱性的利用

2/2/20231275對稱性的利用

2/2/2023128例：求彎矩。1、取半結構：2、取基本結構：3、典型方程：4、求系數：5、解方程：6、作圖2/2/2023129§3-1概述§3-2單跨靜定梁的影響線§3-3間接荷載作用下的影響線§3-4多跨靜定梁的影響線§3-5靜定平面桁架的影響線§3-6最不利荷載位置§3-7簡支梁的包絡圖三、影響線及其應用2/2/2023130§3-1概念三、影響線及其應用1.

移動荷載一組力，其大小、方向、彼此間的距離保持不變，而整個力系平行移動。移動荷載作用下，結構的內力（M、Q、N)及位移（撓度、轉角）隨著移動荷載位置而發(fā)生變化。移動2/2/2023131§3-1概念2.最不利荷載位置結構的某一量值（反力、內力、位移）隨移動荷載位置移動而變化，該量值最大時的荷載作用位置。在此只討論移動荷載為單位豎向集中力的情況。2/2/2023132§3-1概念例：有一單位力在簡支梁上移動的影響線影響線：在單位集中力移動荷載作用下，結構內某一量值（反力、內力、位移）隨單位力作用位置變化的圖形，稱為該量值的影響線。2/2/2023133§3-2單跨靜定梁的影響線作影響線的方法靜力法——將單位集中力的任意位置用x表示，用靜力平衡條件求出某一量值與x之間的函數關系式，即影響線方程，再依方程作圖。

2/2/2023134§3-2單跨靜定梁的影響線1.簡支梁的影響線

*反力影響線(規(guī)定反力向上為正)：2/2/2023135§3-2單跨靜定梁的影響線*彎矩的影響線(規(guī)定梁下緣受拉為正)：(右直線)(左直線)作用于AC段作用于CB段2/2/2023136§3-2單跨靜定梁的影響線*剪力影響線(規(guī)定使梁段順時針為正)：作用在AC段（左直線）作用在CB段(右直線)2/2/2023137§3-2單跨靜定梁的影響線2.外伸梁的影響線*反力影響線：2/2/2023138*跨內部分截面的內力影響線：（1）彎矩影響線：在DC段時在CE段時§3-2單跨靜定梁的影響線2/2/2023139（2）剪力影響線：在DC段時在CE段時§3-2單跨靜定梁的影響線2/2/2023140*外伸跨內力影響線：（1）彎矩影響線：在DK段時在KE段時KK§3-2單跨靜定梁的影響線2/2/2023141（2）剪力影響線：在DK段時在KE段時KK1§3-2單跨靜定梁的影響線2/2/2023142如果K在A截面處：在DK(A)段在K(A)E段K§3-2單跨靜定梁的影響線2/2/2023143§3-3間接荷載作用下的影響線2/2/2023144§3-3間接荷載作用下的影響線傳力過程：輪壓→→→→→→橋面板縱梁橫梁主梁橋臺地基主梁只是在與橫梁連接處受到集中荷載的作用。通過橫梁傳遞給主梁的集中力稱為間接荷載，又稱為結點荷載。（panelpoint）2/2/2023145§3-3間接荷載作用下的影響線間接荷載作用下主梁上MC的影響線：縱梁主梁橫梁CDXEdyDyEycADEBCP=12/2/2023146§3-3間接荷載作用下的影響線（1）單位力P=1作用在結點處(A、D、E、F、B)，各結點處的影響線豎標與P=1直接作用在主梁AB上MC影響線相同。ADEBCP=1F2/2/2023147§3-3間接荷載作用下的影響線（2）單位力P=1作用在兩相鄰結點間,如DE間，假定P=1作用在縱梁上時產生的MC影響線豎標為Y。P=1產生的影響線MC豎標應等于其分力(d-x)/d和x/d產生的MC影響線豎標之和。ADEBCP=1F2/2/2023148§3-3間接荷載作用下的影響線作用：——在DE間呈直線變化。2/2/2023149§3-3間接荷載作用下的影響線間接荷載作用下主梁影響線作法：1.先作直接荷載作用下所求量值的影響線。2.取各結點處豎標，將各點在每一縱梁范圍內連以直線。2/2/2023150§3-3間接荷載作用下的影響線例1：2/2/2023151例2：§3-4多跨靜定梁的影響線2/2/2023152§3-4多跨靜定梁的影響線2/2/2023153§3-5靜定平面桁架的影響線1.桁架影響線分析的特點*桁架上移動的荷載作用形成：下承式：上承式：P=1在下弦移動P=1在上弦移動2/2/2023154*桁架中移動荷載是通過縱、橫梁系傳遞到橫梁的結點上的。因此，間接荷載影響線的計算方法適用于桁架影響線的計算。§3-5靜定平面桁架的影響線1.桁架影響線分析的特點2/2/20231552.桁架支反力影響線——與相應的簡支梁的支反力影響線相同?！?-5靜定平面桁架的影響線2/2/20231563.桁架內力影響線：*力矩法：——一般用于求上、下弦桿的內力影響線*投影法：——一般用于求腹桿的內力影響線*結點法：——求端支斜桿影響線§3-5靜定平面桁架的影響線2/2/2023157例：(一)力矩法求的影響線?！?-5靜定平面桁架的影響線2/2/2023158取右側平衡：由c、當在12段時，運用間接荷載影響線性質（1）求，作截面。a、在A1段取左側平衡：由b、在2B段2/2/2023159(2)求上弦桿的影響線。2/2/2023160二、用投影法求腹桿的影響線。a、b、c、2/2/2023161三、用結點法求支座斜桿的影響線。c、b、a、2/2/2023162靜定桁架影響線作法：1、區(qū)分P=1在桁架上或下弦桿移動。2、用力矩法作出的影響線，其左、右兩直線恒交于矩心的下方。3、用投影法求出的影響線，其左、右兩直線相互平行，曲折部分在切斷面作在載重鉸間。2/2/2023163*最不利荷載位置：移動荷載作用下，某一量值（內力、反力、變形）隨位置而變化，使得某一量值發(fā)生最大（或最小）值時的荷載位置，稱為該量值的最不利荷載位置。§3-6最不利荷載位置2/2/20231642、最不利荷載位置的確定(1)

影響線為折線形：一組集中力作用在結構的某一位置上，量值為：（規(guī)定以逆時針為正,即沿逆時針轉到角時為正）§3-6最不利荷載位置2/2/2023165通常使用的方法：將移動荷載中數值較大且較多密集的集中力組放在影響線的最大豎標附近。將移動荷載盡可能放在同一符號的影響線線段范圍內?！?-6最不利荷載位置2/2/2023166§3-7簡支梁的包絡圖包絡圖——聯(lián)結各截面的最大、最小的內力的圖形。包絡圖作用荷載活載需要考慮其沖擊力影響（動力影響），用沖擊系數來表示。2/2/2023167

設活載——均布荷載q

，某內力影響線正負面積及總面積活載的換算荷載為k，于是該力在恒載活載共同作用下的最大最小值分別為：§3-7簡支梁的包絡圖2/2/2023168§4-1概述§4-2單自由度體系的運動方程§4-3單自由度體系的自由振動§4-4單自由度體系在簡諧荷載作用下的動力計算§4-5單自由度體系在任意荷載作用下的動力計算§4-6多自由度體系的自由振動§4-7多自由度體系主振型的正交性四、結構動力學基礎2/2/2023169為什么要對結構進行動力分析？§4-1概述TacomaNarrowsBridge1940.7.1-11.72/2/2023170

1940年11月7日上午，位于美國華盛頓州剛建成四個月，主跨853米，位居當時世界第三的塔科馬海峽橋（TakomaNarrowBridge），在八級大風（風速19m/s）作用下，經過劇烈的扭曲震蕩后，橋面結構解體損毀，半跨墜落水中。當時該橋沒有封閉交通。在塔科馬橋風毀前，橋梁風毀時有發(fā)生（其中以懸索橋居多），人們總是把橋梁的風毀歸咎于對靜力風荷載估計不足，而導致強度或變形破壞。然而塔科馬橋的設計是經過充分的抗風靜力計算，足以支承數以萬噸計的重量和荷載，卻仍在較低風速下被風吹毀，不能不令全世界橋梁工程師為之震驚。風作用引起的抖振、渦激共振等是造成橋梁疲勞損傷的元兇。

§4-1概述2/2/2023171海城地震破壞現(xiàn)場

震級：7.3級時間：1975年2月4日死亡：2041人損失：17.5億元2/2/2023172唐山地震破壞現(xiàn)場

震級：7.8級時間：1976年7月28日死亡：24.2萬人損失：超過200億元2/2/2023173麗江地震破壞現(xiàn)場

震級：7.0級時間：1996年2月3日死亡：309人損失：30.5億元2/2/2023174921臺灣地震東勢地區(qū)嚴重的災情

----到處可見樓如骨牌般倒塌2/2/2023175地震災害：死亡人數最多，最容易引起社會恐慌的災害全國各種災害死亡人數對比（1949-1991）40%54%地震災害氣象災害地質災害海洋、林業(yè)災害其他災害§4-1概述2/2/2023176§4-1概述一、結構動力計算的特點（2）研究單自由度及多自由度的自由振動、強迫振動。1、任務：（1）研究動力荷載作用下，結構的內力、位移等計算原理和計算方法。求出它們的最大值并作為結構設計的依據。結構靜力學：主要研究結構在靜力荷載作用下的靜力反應（靜內力和靜位移等）。結構動力學：主要研究結構在動力荷載作用下的動力反應（動內力、動位移、速度、加速度等）。2、內容：2/2/2023177§4-1概述一、結構動力計算的特點2、內容：2/2/2023178輸入（動力荷載）結構（系統(tǒng)）輸出（動力反應）控制系統(tǒng)（裝置、能量）第一類問題：反應分析——正問題§4-1概述一、結構動力計算的特點2、內容：當前結構動力學的研究內容可用下圖表示：2/2/2023179當前結構動力學的研究內容可用下圖表示：控制系統(tǒng)（裝置、能量）輸入（動力荷載）結構（系統(tǒng)）輸出（動力反應）第二類問題：參數（或稱系統(tǒng)）識別§4-1概述一、結構動力計算的特點2、內容：2/2/2023180控制系統(tǒng)（裝置、能量）輸入（動力荷載）結構（系統(tǒng)）輸出（動力反應）第三類問題：荷載識別。二、三為反問題當前結構動力學的研究內容可用下圖表示：§4-1概述一、結構動力計算的特點2、內容：2/2/2023181輸入（動力荷載）結構（系統(tǒng)）輸出（動力反應）控制系統(tǒng)（裝置、能量）第四類問題：控制問題當前結構動力學的研究內容可用下圖表示：§4-1概述一、結構動力計算的特點2、內容：2/2/2023182§4-1概述一、結構動力計算的特點3、靜荷載和動荷載（1）靜荷載：荷載的大小、方向和作用點不隨時間變化或隨時間極其緩慢地變化，不致使結構產生顯著的加速度，由此引起的慣性力與作用荷載相比可以略去不計的荷載。（2）動荷載：荷載的大小、方向和作用點不僅隨時間變化，而且加載速率較快，由此產生的慣性力在結構分析中不容忽視的荷載。2/2/20231834、特點（2）內力與荷載不能構成靜平衡。必須考據慣性力。依達朗伯原理，加慣性力后，將動力問題轉化為靜力問題。(1)必須考慮慣性力。(3)分析自由振動即求自振頻率、振型、阻尼參數等是求強迫振動動力反應的前提和準備。(4)學習循序漸進?！?-1概述2/2/2023184動荷載可有多種分類方法，常見的是：動荷載確定不確定風荷載地震荷載其他無法確定變化規(guī)律的荷載周期非周期簡諧荷載非簡諧荷載沖擊荷載突加荷載其他確定規(guī)律的動荷載二、動力荷載的種類

2/2/2023185二、動力荷載的種類——常見荷載

1、簡諧周期荷載：荷載按正弦余弦規(guī)律變化（偏心轉子對結構的沖擊）。P(t)=psint2/2/2023186二、動力荷載的種類——常見荷載

2、沖擊荷載：荷載在短時間內急劇增加或減少（鍛錘對基礎的沖擊、爆炸等）。P(t)totdP(t)totd3、風荷載4、地震荷載2/2/2023187三、振動體系的自由度

1、基本未知量：

以質點位移作為基本未知量。結構上全部質點有幾個獨立的位移，就有幾個獨立的未知量。2、自由度：

結構運動時，確定全部質點位置所需要的獨立幾何參變量的數目（與幾何組成自由度不同）?！?-1概述2/2/2023188（2）與幾何組成分析中的自由度不同。

對梁和剛架（1）略去軸向變形（2）略去慣性力矩∴只有一個自由度M=ml分布質量，有無限自由度ml3、有關自由度的幾點說明：（1）基本未知量數目與自由度數目是一致的。前者強調獨立位移數目，后者強調獨立坐標數目。（3）一般采用“集中質量法”，將連續(xù)分布的質量集中為幾個質點研究。2/2/2023189

（4）并非一個質量集中點一個自由度（分析下例）。

（5）結構的自由度與是否超靜定無關。2個自由度2個自由度4個自由度靜定結構6次超靜定結構3次超靜定結構2/2/2023190EIy2y1(2個)EI(0個)y1(1個)(6)自由度數與質點的數目無關EI=∞EIy1(1個)(1個)2/2/2023191（7）可用加鏈桿的方法確定自由度。(8)彈簧支撐：彈簧對自由度無影響EIy2y1EIy2y12/2/20231922、引起振幅衰減是因能量損耗，其主要原因有：（2）周圍介質對振動的阻力。（1）結構材料的內摩擦阻力。（4）地基土等的摩擦阻力。（5）建筑物基礎振動引起土體振動，振波傳播，能量擴散。（3）支座、結點等構件聯(lián)結處的摩擦力。四、體系振動的衰減現(xiàn)象，阻尼力1、自由振動的衰減：

結構在自由振動時的振幅隨時間逐漸減小，直至振幅為零、震動停止的現(xiàn)象。2/2/2023193

4、粘滯阻尼理論（伏伊特理論）：

阻尼力與體系振動的變形速度成正比，方向與速度方向相反。

3、阻尼：

使能量耗散的因素，統(tǒng)稱為阻尼。(c為阻尼系數）2/2/2023194§4-2

單自由度體系的運動方程一、研究單自由度體系振動的重要性

1、單自由度體系是工程上一些實際結構的簡化。

2、單自由度體系是研究復雜動力計算的基礎。建筑物基礎水塔的水平振動2/2/2023195二、單自由度體系振動的簡化模型

mk11ck11cm恢復力簡化為一彈簧，阻尼力簡化為一阻尼器1、彈簧剛度系數（k11）：使彈簧伸長或壓縮單位長度所需之力。2、彈簧柔度系數（11）:在單位力作用下，彈簧的伸長或壓縮量。2/2/2023196三、單自由度體系振動微分（運動）方程的建立

mk11cy0ysydS(t)WI(t)D(t)P(t)取物塊為隔離體,其上共作用五個力1、達朗伯原理是建立運動方程所依據的基本原理。2、剛度法列動力平衡方程S(t)-彈簧張力D(t)-阻尼力I(t)-慣性力P(t)-外力W-重力2/2/20231973、柔度法列位移方程S(t)WI(t)D(t)P(t)以彈簧為研究對象,分析它與物塊聯(lián)結點處的位移。y0S’(t)任意時刻的位移:即:將代入上式,得:2/2/2023198單自由度體系振動微分（運動）方程:彈簧張力阻尼力慣性力干擾力mk11cy0ysydS(t)WI(t)D(t)P(t)2/2/2023199§4-3

單自由度體系的自由振動一、無阻尼自由振動2、運動方程及其解的形式：令則其解則tc2cy令cc2c1

1、特點：

(1)無能量耗散,振動一經開始永不休止：(2)無振動荷載：2/2/20232003、幾個概念（1）周期：振動一次所需的時間。（2）工程頻率：單位時間內的振動次數（與周期互為倒數）。單位為1/秒。（3）頻率（圓頻率）：旋轉向量的角速度，即體系在2秒內的振動次數。自由振動時的圓頻率稱為“自振頻率”。單位為弧度/秒。2/2/2023201頻率定義式：頻率計算式：周期計算式：自振頻率是體系本身的固有屬性，與體系的剛度、質量有關，與激發(fā)振動的外部因素無關。2/2/2023202自振頻率和周期的特性：

①只與質量和剛度有關，與荷載無關；是結構動力反應的重要標志。②剛度越大，頻率越高，周期越短；質量越大，頻率越低，周期越長?！?-3

單自由度體系的自由振動2/2/20232034、微分方程中各常數由初始條件確定

代入：將時得：于是：2/2/2023204進一步可確定式中的c和cc2c15、分析例題2/2/2023205例1:列振動方程，求自振周期和頻率。mEIEIEIEIEA=∞lll12i/l2k解：6i/lkΔ=15、分析例題2/2/2023206例2:列振動方程，求自振周期和頻率。

解：mEIEI1=∞lmEIkk12i/l212i/l212i/l2Δ=1EImlT1223p=lEIlik24/12232=x=mlEImk2243w==lyEIym02423=+&&2/2/2023207例3:求自振周期和頻率。解：mEI1=∞EAllEIF=1lN=12/2/2023208例4:列振動方程，求自振周期和頻率。

l/2ll/2l/2EA=∞E1I1=∞EIEIααNA2/2/2023209αNA2/2/20232102/2/2023211——產生單位轉角位移需要的力偶——轉動慣量2/2/2023212A具有共同的自由度時，各質點的質量或轉動慣量才能相加。2/2/2023213ll/2l/2EI=∞例5:求自振周期和頻率。

解2/2/2023214二、有阻尼的自由振動1、振動方程及其解令則特征方程特征根S(t)WI(t)D(t)P(t)y0S’(t)2/2/2023215或：（1）k＜ω，小阻尼情況式中稱為“有阻尼振動的圓頻率”相應地稱為“有阻尼振動的自振周期”y’t2（一對共軛復根）結論：振幅e-kt衰減的自由振動。2/2/2023216特征根（2）k＞ω，大阻尼情況（兩個不等的負實根）通解令則或結論：上式中不含簡諧振動因子，阻尼使能量耗盡，故不振動。2/2/2023217yyttoo特征根（3）k=ω，臨界阻尼情況（兩個相同的實根）結論：由振動過渡到非振動的臨界狀態(tài)。通解大阻尼情況下的振動曲線：2/2/20232182、阻尼系數的確定（1）阻尼比的概念實際工程中K＜＜ω，屬于小阻尼衰減性振動。通常以阻尼比作為基本參數。根據定義故阻尼系數臨界狀態(tài)時2/2/2023219（2）阻尼比的確定yt于是：依上式可繪出振動圖形：2/2/2023220（3）阻尼系數的確定根據實測兩個相鄰振幅來計算阻尼比，進而求阻尼系數。實測振幅相隔一個周期的振幅比值不變阻尼對自振頻率的影響很小2/2/2023221例1:解：取整數n=5，經過5個周期（1.5s)以后，振幅可降到初始位移的5%以下2/2/2023222解（1）對數遞減量：（2）阻尼比：（3）阻尼系數：（4）振動5周期后的振幅：

例2:圖示門式剛架作自由振動。t=0時，y0=0.5cm，y0=0。測得Ｔ’=1.5S;一周期后,y1=0.4cm。求門架的阻尼系數及振動5周期后的振幅y5。.PM=1120tEI=∞2/2/2023223§4-4

單自由度體系在簡諧荷載作用下的動力計算一、考慮阻尼時運動方程及其解2、運動方程設：則：通解包括兩部分：1、強迫振動——結構在動力荷載（外干擾力）作用下產生的振動。2/2/20232243、求齊次解：特征方程：特征根：4、求特解（待定系數法）：設：將上式代入原方程后，可確定D1、D2：2/2/2023225設：進一步，可得：于是可將特解寫為的形式。將各量代入后，可求出特解：通解：2/2/2023226利用可確定通解中的常數C1、C2，于是：初始條件決定的自由振動伴生自由振動穩(wěn)態(tài)（純）強迫振動2/2/2023227分析上式，達到穩(wěn)態(tài)后：——穩(wěn)態(tài)（純）強迫振動，按干擾力頻率而振動。振動階段過渡階段——三種振動共存平穩(wěn)階段——只有純強迫振動2/2/2023228達到穩(wěn)態(tài)時運動方程的解為：運動方程:二、動位移幅值的計算（考慮阻尼）：利用和(AS為干擾力幅值產生的靜位移)運動方程的解（任意時刻的位移）可改寫為：1、考慮阻尼2/2/2023229動位移幅值為：于是：稱為“動力系數”或“放大系數”。令：2/2/20232302、不考慮阻尼時動位移幅值的計算不考慮阻尼時，令動力放大系數計算式中3、共振時動位移幅值的計算共振時，令動力放大系數計算式中放大系數：放大系數：動位移幅值：動位移幅值：2/2/20232314、影響動位移幅值大小的因素（1）與干擾力幅值成正比；（2）與/的比值有關；（a）當＜＜時--------動荷載可作為靜荷載處理；（b）當＞＞時--------與阻尼無關，結構可視為靜止；（c）當=時--------共振，設計時應避免共振。由于阻尼的存在，振幅不會無限大。分析下式：2/2/20232325、位移和振動荷載之間的相位關系（1）當不計阻尼（=0）時（a）當/＜1時:φ=0，A與P同相位；（b）當/＞1時:φ=，A與P反相位。有阻尼振動的特解：式中：tg=0,且為正值tg0/2tg=0,且為負值2/2/2023233（2）當考慮阻尼時（a）當/＜1時--------0＜φ＜/2；A與P有相位差；（b）當/＞1時--------/2＜φ＜，A與P有相位差；（c）當/=1時--------φ=/2，A與P相位差為/2。1、強迫振動達到穩(wěn)態(tài)時，振動荷載輸入的能量等于體系振動過程中消耗的能量。三、強迫振動時的能量轉換2、依能量關系同樣可以推導出振幅的計算式：2/2/20232341、一般方法由于結構的彈性內力與位移成正比，所以位移達到幅值時，內力也應達到幅值（不計阻尼時，位移與動荷載同相位）。將慣性力幅值和干擾力幅值同時加在體系上，然后按靜力學方法求解，即可求得反力和內力的幅值。四、動內力幅值的計算m2/2/20232352、比例算法當動力荷載與慣性力共線時，由于結構的位移與外力成正比，位移、內力同時達到幅值，故可以按比例計算。將慣性力幅值放大倍后加在質量處，而后按靜力學方法求解即可。mm時，位移為時，位移最大依比例關系：2/2/2023236

1、純強迫振動的振幅可由干擾力振幅P所引起的靜位移AS放大倍而得到。

五、計算動位移幅值、動內力幅值時應注意的問題

2、當結構的剛度系數易求時，動位移幅值可按下式計算：

3、若荷載直接作用在質點上，動位移幅值按下式計算：

若荷載不直接作用在質點上，則應以-Rip代替P，或以ip代替P11。2/2/2023237mmm4、當動力荷載與慣性力共線時，既是動位移放大系數，也是各截面動內力和動位移的放大系數。若荷載直接作用在質點上，動位移幅值按下式計算：若荷載不直接作用在質點上，則應以-Rip代替P，或以ip代替P11（見下圖）。2/2/20232382m2m例