初三二次函數(shù)常見題型及解題策略

二次函數(shù)常見題型及解題策略1、兩點(diǎn)間的距離公式：abrf^mx^^x（x+xy+y）2、中點(diǎn)坐標(biāo)：線段ab的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為：ab,a，bI2 2）3、一元二次方程有整數(shù)根問題，解題步驟如下：①用A和參數(shù)的其他要求確定參數(shù)的取值范圍；②解方程，求出方程的根；（兩種形式：分式、二次根式）③分析求解：若是分式，分母是分子的因數(shù)；若是二次根式，被開方式是完全平方式。例：關(guān)于x的一元二次方程X2—2（m+1x+m2=0有兩個(gè)整數(shù)根，m<5且m為整數(shù)，求m的值。4、二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為整數(shù)點(diǎn)問題。（方法同上）例：若拋物線y=mx2+（3m+1x+3與x軸交于兩個(gè)不同的整數(shù)點(diǎn)，且m為正整數(shù)，試確定此拋物線的解析式。5、方程總有固定根問題，可以通過解方程的方法求出該固定根。舉例如下：已知關(guān)于x的方程mx2—3（m-1）x+2m—3=0（m為實(shí)數(shù)），求證：無論m為何值，方程總有一個(gè)固定的根。解：當(dāng)m=0時(shí)，x=1；當(dāng)m豐0時(shí)，A=（m—3）2>0,x=3m-'土 ,x=2一—、x=1；2m 1m2綜上所述：無論m為何值，方程總有一個(gè)固定的根是1。第1頁共7頁

6、函數(shù)過固定點(diǎn)問題，舉例如下：已知拋物線J=x2-mx+m-2（m是常數(shù)），求證：不論m為何值，該拋物線總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn)，并求出固定點(diǎn)的坐標(biāo)。解：把原解析式變形為關(guān)于m的方程j-x2+2=mG-x）；0，解得:J0，解得:J=-1x=1???拋物線總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn)（1,—1）。（題目要求等價(jià)于：關(guān)于m的方程J-x2+2=mG-x）不論m為何值，方程恒成立）

fa=0小結(jié)：關(guān)于x的方程ax=b有無數(shù)解o1［八?? Ib=07、路徑最值問題（待定的點(diǎn)所在的直線就是對(duì)稱軸）（1）如圖，直線11、/2，點(diǎn)A在12上，分別在/］、12上確定兩點(diǎn)M、N，使得AM+MN之和最小。（2）如圖,直線小l相交，兩個(gè)固定點(diǎn)A、（2）如圖,直線小l相交，兩個(gè)固定點(diǎn)A、B，分別在l、l上確定兩點(diǎn)M、N使得BM+MN+AN之和最小。2 1 2（3）如圖，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)，線段a,在直線l上確定兩點(diǎn)E、F（E在F的左側(cè)）,使得四邊形AEFB的周長(zhǎng)最小。第2頁共7頁8、在平面直角坐標(biāo)系中求面積的方法：直接用公式、割補(bǔ)法9、函數(shù)的交點(diǎn)問題：二次函數(shù)(J=ax2+bx+c)與一次函數(shù)(y=kx+h)Iy—ax2+bx+c(1)解方程組V 7「 可求出兩個(gè)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)。[y=kx+h(2)解方程組[y=ax2+bx+c,即ax2+(b—k%+c—h=0,通過A可判斷兩個(gè)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)[y=kx十h有兩個(gè)交點(diǎn)OA>0僅有一個(gè)交點(diǎn)OA=0沒有交點(diǎn)OA<010、方程法(1)設(shè)：設(shè)主動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或基本線段的長(zhǎng)度(2)表示：用含同一未知數(shù)的式子表示其他相關(guān)的數(shù)量(3)列方程或關(guān)系式11、幾何分析法特別是構(gòu)造“平行四邊形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等圖形時(shí)，利用幾何分析法能給解題帶來方便。幾何要求幾何分析涉及公式應(yīng)用圖形跟平行有關(guān)的圖形平移l〃lOk=k、k=y1-y212 1 2 xi—x2平行四邊形矩形梯形跟直角有關(guān)的圖形勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、對(duì)頂角、互余、互補(bǔ)等AB=、：(y-y%+(x-x》直角三角形直角梯形矩形跟線段有關(guān)的圖形利用幾何中的全等、中垂線的性質(zhì)等。等腰三角形全等等腰梯形AB=(y-y)+Q-x)跟角有關(guān)的圖形利用相似、全等、平行、對(duì)頂角、互余、互補(bǔ)等第3頁共7頁1、(2012西城一模第25題)平面直角坐標(biāo)系xQy中，拋物線>=，%2—4g+4a+c與％軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B,與y軸的正半軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，OB=OC拋物線的頂點(diǎn)為D。(1)求此拋物線的解析式；(2)若此拋物線的對(duì)稱軸上的點(diǎn)P滿足/APB=ZACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)Q為線段BD上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于/AQB的平分線的對(duì)稱點(diǎn)為A',若QA—QB=<2,求點(diǎn)Q的坐標(biāo)和此時(shí)△QAA1的面積。第4頁共7頁2、（2012東城二模第25題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y=ax2+2ax+c的圖像與y軸交于點(diǎn)C（0,3），與x軸交于4、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為Q3，0）。（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M是第二象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，若直線OM把四邊形ACDB分成面積為1：2的兩部分，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，問：點(diǎn)P在何處時(shí)^CPB的面積最大？最大面積是多少？并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。第5頁共7頁 八 2八八3、（2012海淀二模第24題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2—2x與x軸負(fù)半軸交于m點(diǎn)A，頂點(diǎn)為B，且對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C。（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（2）D為OB中點(diǎn)，直線AD交y軸于E，若E（0，2），求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M在直線OB上，且使得AAMC的周長(zhǎng)最小，P在拋物線上，Q在直線BC上，若以A、M、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。第6頁共7頁

4、(2012東城二模第23題)已知關(guān)于x的方程(1—m)x2+(4—m)x+34、(2012東城二模第23題)(1)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍;(2)若正整數(shù)m滿足8—2m>2，設(shè)二次函數(shù))=(1—m)x2+(4—m)