圖形與幾何-黃曉學(xué)20130817

1“圖形與幾何”內(nèi)容解析

主講：江蘇師范大學(xué)黃曉學(xué)2

本專題的學(xué)習(xí)目標(biāo)為：1．把握“圖形與幾何”內(nèi)容新變化．2．體會“圖形與幾何”教學(xué)三策略．3．如何顯化數(shù)學(xué)思想．4．如何教好初中數(shù)學(xué)．【學(xué)習(xí)目標(biāo)】3新版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)基本框架2012年1月，教育部正式頒布《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）。

《標(biāo)準(zhǔn)》由4個本體部分和2個附錄組成。前言：課程性質(zhì)、基本理念和設(shè)計(jì)思路課程目標(biāo)：總體目標(biāo)和學(xué)段目標(biāo)課程內(nèi)容：數(shù)與代數(shù)；圖形與幾何；統(tǒng)計(jì)與概率；綜合與實(shí)踐實(shí)施建議：教學(xué)、評價、教材、資源開發(fā)附錄1：有關(guān)行為動詞的分類附錄2：課程內(nèi)容與實(shí)施中的實(shí)例4人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展

樹立正確的課程觀《標(biāo)準(zhǔn)》的核心理念改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式5《標(biāo)準(zhǔn)》中的核心概念核心概念10個：數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。與“圖形與幾何”密切相關(guān)的概念：“空間觀念、幾何直觀、推理能力”幾何（測地術(shù)）是從實(shí)踐活動及生活里的問題中產(chǎn)生出來的，朝著積累新的事實(shí)和闡明它們相互間的關(guān)系的方向發(fā)展的6數(shù)學(xué)課程目標(biāo)總目標(biāo)：獲得四基、發(fā)展能力、培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度學(xué)段目標(biāo)：3個學(xué)段；4個方面（知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決和情感態(tài)度）四基：基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本經(jīng)驗(yàn)四能：發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題7圖形與幾何（三學(xué)段）：內(nèi)容結(jié)構(gòu)上略有調(diào)整（圖形的性質(zhì)、圖形的運(yùn)動、圖形與坐標(biāo)）（原來是圖形的認(rèn)識、圖形與變換、圖形與坐標(biāo)、圖形與證明）對基本事實(shí)規(guī)定更清晰（9條），不再使用“公理”這個詞增強(qiáng)了“圖形與幾何”內(nèi)容的條理性，進(jìn)一步闡述了合情推理和演繹推理的關(guān)系，強(qiáng)調(diào)了幾何證明表述方式的多樣性8“圖形與幾何”內(nèi)容構(gòu)成圖形的性質(zhì)點(diǎn)、線、面、角，相交線與平行線，三角形，四邊形，圓，尺規(guī)作圖，定義，命題，定理。圖形的變化圖形的軸對稱，圖形的旋轉(zhuǎn)，圖形的平移，圖形的相似，圖形的投影。圖形與坐標(biāo)坐標(biāo)與圖形位置，坐標(biāo)與圖形運(yùn)動9“圖形與幾何”內(nèi)容的變化（刪除的內(nèi)容）圖形的認(rèn)識所有關(guān)于梯形、等腰梯形的相關(guān)要求探索并了解圓與圓的位置關(guān)系所有關(guān)于影子、視點(diǎn)、視角、盲區(qū)等內(nèi)容，以及對雪花曲線和麥比烏斯帶等圖形的欣賞圖形的變化關(guān)于鏡面對稱的要求10“圖形與幾何”內(nèi)容的變化（增加的內(nèi)容）必學(xué)部分會比較線段的大小，理解線段的和、差以及中點(diǎn)的意義；了解平行于同一條直線的的兩條直線平行會按照邊長的關(guān)系和角的大小對三角形進(jìn)行分類；了解并證明圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系；過一點(diǎn)作一知直線的垂線；已知一直角邊和斜邊作直角三角形；作三角形的外接圓與內(nèi)切圓；作圓的內(nèi)接正四六邊形選學(xué)部分了解平行線性質(zhì)定理的證明；了解相似三角形判定定理的證明；探索并證明垂徑定理；探索并證明切線長定理；了解圓周角及其推論的證明。11“圖形與幾何”內(nèi)容的變化（改變的內(nèi)容-圖形的性質(zhì)）（實(shí)驗(yàn)稿）（2011版）1.通過豐富的實(shí)例進(jìn)一步認(rèn)識角理解角的概念2.了解補(bǔ)角、余角、對頂角的概念理解補(bǔ)角、余角、對頂角的概念3.知道等角的余角相等、補(bǔ)角相等、對頂角相等探索并掌握。。。的性質(zhì)4.了解線段垂直平分線及其性質(zhì)探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理（。。。；反之，。。。）5.探索并掌握等腰三角形的性質(zhì)探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理6.探索并掌握一個三角形是等腰三角形的條件探索并證明等腰三角形的判定定理7.了解等邊三角形的概念并探索其性質(zhì)探索等邊三角形的性質(zhì)定理和判定定理8.體驗(yàn)勾股定理的探索過程探索勾股定理及其逆定理9.會用勾股定理解決簡單問題能運(yùn)用它們解決一些簡單的實(shí)際問題10.了解切線的概念掌握切線的概念12“圖形與幾何”內(nèi)容的變化（改變的內(nèi)容-圖形的變化）（實(shí)驗(yàn)稿）（新版）1.認(rèn)識軸對稱了解軸對稱的概念2.能按要求做出簡單平面圖形經(jīng)過一次或兩次軸對稱后的圖形，探索簡單圖形間的軸對稱關(guān)系，并指出對稱軸能畫出簡單平面圖形（點(diǎn)，線段，直線，三角形等）關(guān)于給定對稱軸的對稱圖形3.認(rèn)識旋轉(zhuǎn)認(rèn)識關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)4.了解平行四邊形、圓是中心對稱圖形探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對稱性質(zhì)5.探索相似圖形的性質(zhì)，知道相似多邊形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例、面積比等于相似比的平方了解相似多邊形和相似比（增加了兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例這一基本事實(shí)）13“圖形與幾何”內(nèi)容變化分析原因分析試驗(yàn)區(qū)一線教師的意見和建議；關(guān)注數(shù)學(xué)課程改革的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家的意見和建議因素分析與理念的契合程度；是否利于目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)；與學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐的聯(lián)系；學(xué)生對知識內(nèi)容的接受能力；對學(xué)科本質(zhì)以及核心思想的體現(xiàn)。特點(diǎn)分析：突出基本數(shù)學(xué)思想；不同的人得到不同的發(fā)展；重視發(fā)展學(xué)生的幾何直觀；適度增加幾何推理和證明（9條基本事實(shí)）14基本事實(shí)1：兩點(diǎn)確定一條直線?；臼聦?shí)2：兩點(diǎn)之間線段最短?；臼聦?shí)3：過一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線垂直?；臼聦?shí)4：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行?；臼聦?shí)5：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行?；臼聦?shí)6：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等。（解釋其合理性：三角形的確定）基本事實(shí)7：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等?；臼聦?shí)8：三邊分別相等的兩個三角形全等?；臼聦?shí)9：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。基本事實(shí)9條15*了解平行線性

質(zhì)定理的證明

例證明兩直線平行，同位角相等。這個證明可以利用反證法完成。如圖15所示，我們希望證明：如果AB∥CD，那么∠1＝∠2。假設(shè)∠1≠∠2，過點(diǎn)O作直線A′B′，使∠EOB′＝∠2。根據(jù)“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行”這個基本事實(shí)，可得A′B′∥CD。這樣，過點(diǎn)O就有兩條直線AB，A′B′平行于CD，這與基本事實(shí)“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行”矛盾，說明∠1≠∠2的假設(shè)是不對的，于是有∠1＝∠2。*反例的運(yùn)用：局部性反例與全局性反例

全局性反例一組對邊相等、一組對角相等的凸四邊形是平行四邊形嗎？局部性反例如果四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形BEFC是平行四邊形，則四邊形AEFD是平行四邊形。1617“圖形與幾何”數(shù)學(xué)教材基本模式《標(biāo)準(zhǔn)》意義下的數(shù)學(xué)教材特征：充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)價值；準(zhǔn)確體現(xiàn)《標(biāo)準(zhǔn)》要求；利于學(xué)生學(xué)習(xí)；內(nèi)容出現(xiàn)體現(xiàn)過程性。數(shù)學(xué)教材基本結(jié)構(gòu)章節(jié)結(jié)構(gòu)：章題圖引言+若干節(jié)+回顧與思考習(xí)題：節(jié)習(xí)題+章習(xí)題主題呈現(xiàn)模式：問題情境-建立模型-解釋應(yīng)用拓展學(xué)習(xí)活動體例：問題情境—探索歸納—隨堂練習(xí)18“圖形與幾何”教學(xué)實(shí)施要點(diǎn)空間觀念、幾何直觀和推理能力是與“圖形與幾何”課程領(lǐng)域密切相關(guān)的核心概念空間觀念：根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形根據(jù)幾何圖形想象出實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互位置之間的關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動和變化；根據(jù)語言的描述畫出圖形。（把物體表面分解）幾何直觀：利用圖形描述和分析問題，側(cè)重對非幾何對象的處理推理能力：合情推理（用于發(fā)現(xiàn)）和演繹推理（用于證明），在推理時注重尋找合情的理由和合理的證明思路。（切線長問題：對折—發(fā)現(xiàn)、全等-證）19對幾何直觀的再認(rèn)識幾何直觀所指有兩點(diǎn)：一是幾何，指借助幾何圖形的形象關(guān)系；二是直觀，指對數(shù)學(xué)研究對象的直接感知和整體把握。綜合看，幾何直觀就是借助于見到的（或想像出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，對數(shù)學(xué)的研究對象進(jìn)行直接感知、整體把握的能力。4種表現(xiàn)形式：實(shí)物直觀（10捆1箱看數(shù)位）、簡約符號直觀（線路圖看行程）、圖形直觀（圖解公式）、替代物直觀（模型看原型）

20希爾伯特（Hilbert）在其名著《直觀幾何》一書中指出，圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果。幾何直觀在研究、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的價值由此可見一般。21（2）《標(biāo)準(zhǔn)》中幾何直觀的含義（解釋了其作用）

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：“幾何直觀是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用?！?2它表明：今后數(shù)學(xué)課程中有兩件事需要刻意去做，即針對較抽象的數(shù)學(xué)對象的“圖形表示”和“圖形分析”。前者指教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生通過畫圖來表達(dá)數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣，能畫圖時盡量畫；后者指引導(dǎo)學(xué)生借助圖形將相對抽象的、復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系直觀、清晰地展示出來，通過對圖形的分析思考進(jìn)而尋求解決問題的思路。23幾何直觀的培養(yǎng)

使學(xué)生養(yǎng)成畫圖習(xí)慣,鼓勵用圖形表達(dá)問題可以通過多種途徑和方式使學(xué)生真正體會到畫圖對理解概念、尋求解題思路上帶來的便利。在教學(xué)中應(yīng)有這樣的導(dǎo)向：能畫圖時盡量畫，其實(shí)質(zhì)是將相對抽象的思考對象“圖形化”，盡量把問題、計(jì)算、證明等數(shù)學(xué)的過程變得直觀24重視變換——讓圖形動起來幾何變換或圖形的運(yùn)動既是學(xué)習(xí)的對象，也是認(rèn)識數(shù)學(xué)的思想和方法。在數(shù)學(xué)中，我們接觸的最基本的圖形都是對稱圖形，例如圓、正多邊形、長方體、長方形、菱形、平行四邊形等；另一方面，在認(rèn)識、學(xué)習(xí)、研究非對稱圖形時，又往往是運(yùn)用這些對稱圖形為工具的。變換又可以看作運(yùn)動，讓圖形動起來是指再認(rèn)識這些圖形時，在頭腦中讓圖形動起來，例如，平行四邊形是一個中心對稱圖形，可以把它看作一個剛體，通過圍繞中心（兩條對角線的交點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)180度，去認(rèn)識、理解、記憶平行四邊形的其他性質(zhì)。充分地利用變換去認(rèn)識、理解幾何圖形是建立幾何直觀的好辦法。25

學(xué)會從“數(shù)”與“形”兩個角度認(rèn)識數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合首先是對知識、技能的貫通式認(rèn)識和理解。以后逐漸發(fā)展成一種對數(shù)與形之間的化歸與轉(zhuǎn)化的意識，這種對數(shù)學(xué)的認(rèn)識和運(yùn)用的能力，應(yīng)該是形成正確的數(shù)學(xué)態(tài)度所必需要求的。

26例如，若每兩人握一次手，則3個人共握幾次手，4個人共握幾次手……，

n個人共握幾次手？用歸納的方法探索規(guī)律，如下表:

人數(shù)握手次數(shù)規(guī)律

211331+2461+2+3………n1+2+3+…+(n-1)A1A2A3AN27對于七、八年級的學(xué)生來說，要發(fā)現(xiàn)“1+2+3+…+(n-1)”這個規(guī)律并不容易，計(jì)算1+2+3+…+(n-1)得到

n（n-1）/2也有困難。但是，如果把“人”抽象成“點(diǎn)”，“兩人握1次手”抽象成“兩點(diǎn)之間連接一條線段”，那么借助圖形的直觀就能簡明地解決問題。如圖，對于n點(diǎn)中的任何一個點(diǎn)，它與其它的（n-1）個點(diǎn)共可連接（n-1）條線段，因而n個點(diǎn)共可連接n（n-1）條線段。因?yàn)閮牲c(diǎn)之間有且只有一條線段（線段AB與線段BA是同一條線段），所以共可連接

n（n-1）/2條線段。28用“圖形法”解決問題

掌握、運(yùn)用一些基本圖形解決問題把讓學(xué)生掌握一些重要的圖形作為教學(xué)任務(wù)，貫穿在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)、學(xué)習(xí)的始終。例如，除了前面指出的圖形，還有數(shù)軸，方格紙，直角坐標(biāo)系等等。在教學(xué)中要有意識地強(qiáng)化對基本圖形的運(yùn)用，不斷地運(yùn)用這些基本圖形去發(fā)現(xiàn)、描述問題，理解、記憶結(jié)果，這應(yīng)該成為教學(xué)中關(guān)注的目標(biāo)。29策略一：重視幾何直觀的教學(xué)Proofswithoutwords三層次1）搜尋直觀圖2）重整直觀圖3）開發(fā)直觀圖4個平均值之間大小關(guān)系30搜尋31重整正余弦定理的引入問題塔高與仰角32開發(fā)

（弧度制）弧度制（弧長、圓心角、半徑三者關(guān)系）測量的336個正數(shù)a,b,c,A,B,C,滿足a+A=b+B=c+C=k,求證：aB+bC+cA<k2案例：讓左右腦協(xié)調(diào)發(fā)展34圖解法135圖解法236代數(shù)法137代數(shù)法2只要證明a(k-b)+b(k-c)+c(k-a)<k2即，a(b+c-k)+(k2+bc-bk-ck)>0事實(shí)上，令f(a)=a(b+c-k)+(k2+bc-bk-ck)有f(0)=(b-k)(c-k)>0f(k)=bc>0由于f(a)的圖像是一條直線，所以當(dāng)0<a<k時，恒有f(a)>0故原不等式成立38提高學(xué)生幾何推理能力幾何定理應(yīng)該由推理來證明幾何從事于“幾何物體”和圖形的研究幾何發(fā)展的主要動力是實(shí)踐與抽象思維的相互作用39此次《標(biāo)準(zhǔn)》提出的推理能力與過去相比，有這樣一些特點(diǎn)：一是進(jìn)一步指明了推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要意義?！稑?biāo)準(zhǔn)》指出：“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式”。它對教學(xué)的啟示是，不僅要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到推理是數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)之一，它與人們的生活息息相關(guān)，更重要的是要逐步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用推理進(jìn)行思維的方式。40突出了合情推理與演繹推理二是基于數(shù)學(xué)推理的特點(diǎn)，突出了合情推理與演繹推理這條主線。指出在數(shù)學(xué)思維和問題解決的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成——合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。

引導(dǎo)學(xué)生多經(jīng)歷“猜想——證明”的問題探索過程

41三是強(qiáng)調(diào)推理能力的培養(yǎng)“應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中”。

其一，它應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)課程的各個學(xué)習(xí)內(nèi)容，其二，它應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的各種活動過程其三，它應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的環(huán)節(jié)也應(yīng)貫穿于三個學(xué)段，合理安排，循序漸進(jìn)，協(xié)調(diào)發(fā)展42通過多樣化的活動，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力反思傳統(tǒng)教學(xué)，對學(xué)生推理能力的培養(yǎng)往往被認(rèn)為就是加強(qiáng)邏輯證明的訓(xùn)練，主要的形式就是通過習(xí)題演練以掌握更多的證明技巧。顯然，這樣的認(rèn)識是帶有局限性的。43生成性資源：師生交互及交流中產(chǎn)生的

新情境、新問題、新思路、新方法、新結(jié)果等?！稑?biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)通過多樣化的活動來培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。如《標(biāo)準(zhǔn)》提出：“在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，

”（總目標(biāo)），“體會通過合情推理探索數(shù)學(xué)結(jié)論，運(yùn)用演繹推理加以證明的過程，在多樣化形式的數(shù)學(xué)活動中，發(fā)展合情推理與演繹推理的能力”（三學(xué)段）44使學(xué)生多經(jīng)歷

“猜想——證明”的問題探索過程

在“猜想——證明”的問題探索過程中，學(xué)生能親身經(jīng)歷用合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論、用演繹推理證明結(jié)論的完整推理過程，在過程中感悟數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，這對于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升極為有利。教師要善于對素材進(jìn)行此類加工，引導(dǎo)學(xué)生多經(jīng)歷這樣的活動。45策略二：凸顯思想方法的教學(xué)德國諾貝爾獎獲得者、物理學(xué)家馮.勞厄：

“教育無非是一切已學(xué)過的東西都忘掉時所剩下的東西”數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)該是有思想的教學(xué)！有了思想才有了課堂的生命（抽象\推理\模型)46什么是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最本質(zhì)的東西？波利亞（美）一貫強(qiáng)調(diào)把“有益的思考方式，應(yīng)有的思維習(xí)慣”放在教學(xué)的首位。米山國藏（日本）指出，學(xué)生在畢業(yè)之后不久，數(shù)學(xué)知識就很快忘掉了，“然而，不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、思維方法、推理方法和著眼點(diǎn)（如果培養(yǎng)了這種素質(zhì)的話），在隨時發(fā)生作用，使他們受益終身?！?/p>

47數(shù)學(xué)思想方法數(shù)數(shù)形結(jié)合、抽象化的思想方法式抽象化、數(shù)形結(jié)合、運(yùn)算歸納、類比、程序化、推理方程不等式模型、化歸、類比函數(shù)運(yùn)動與變化、模型、數(shù)形結(jié)合、關(guān)系與結(jié)構(gòu)圖形的性質(zhì)結(jié)構(gòu)化、構(gòu)造、類比、數(shù)形結(jié)合比例結(jié)構(gòu)化（分解與組合、等價）、類比證明推理圖形的運(yùn)動變化、模式、對稱概率概括、模型統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析、統(tǒng)計(jì)推斷48

如何使數(shù)學(xué)思想從潛形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)轱@形態(tài)呢？

※分類

※化歸

※歸納

49滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略在模仿與嘗試中初步感受數(shù)形結(jié)合的思想在對比與運(yùn)用中逐步深化認(rèn)識數(shù)形結(jié)合思想在獨(dú)立探索與合作交流中更好理解數(shù)形結(jié)合思想在解決問題過程中主動運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想50豐富學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)：直接的活動經(jīng)驗(yàn)（生活），間接的活動經(jīng)驗(yàn)（創(chuàng)設(shè)構(gòu)建），設(shè)計(jì)的活動經(jīng)驗(yàn)（隨機(jī)摸球）和思考的活動經(jīng)驗(yàn)。如思考的活動經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)條件預(yù)測結(jié)果；根據(jù)特例概括一般規(guī)律；依據(jù)目標(biāo)特征探究成因等。事后通過反思總結(jié)而得到獲得經(jīng)驗(yàn)。具有主體性、多樣性、可錯性、可發(fā)展性、雙刃性豐富途徑：讓學(xué)生經(jīng)歷各種數(shù)學(xué)活動過程，如抽象概括、符號表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理。（做數(shù)學(xué)）活動方式：觀察、試驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、推理與交流、模仿與練習(xí)、回顧與反思51策略三：強(qiáng)化以評促學(xué)的教學(xué)幾何學(xué)習(xí)評價就是對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程及其結(jié)果做出價值判斷。（以課程目標(biāo)和課程內(nèi)容為依據(jù)，體現(xiàn)基本理念，全面評價學(xué)生的表現(xiàn)）主要目的：為了全面了解學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的全面歷程，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展；提供反饋信息改善教師的教與學(xué)生的學(xué)側(cè)重用幾何的方式思考問題（方法論高度）；注意“延遲評價”（替換了推遲評價）和“網(wǎng)上評價”52考試型學(xué)習(xí)評價試題特色分析：試題背景真實(shí)化，如，。。。能否在比賽開始前趕到體育館問題？試題呈現(xiàn)多樣化，如，。。。看不見的小正方體有多少個？試題設(shè)問層次化，如，。。。把一個小正方形分割成n（n>=6）個小正方形問題試題求解開放化，如，。。。根據(jù)信息，提出一個用二元一次方程組解決的問題，并寫出解答過程53試題編制設(shè)置數(shù)學(xué)活動過程，如，花園設(shè)計(jì)問題采用漸進(jìn)式問題串，如，紙片拼圖問題用較高思維水平的語言提問，如，求能否射進(jìn)球門問題，解釋理由？設(shè)置科學(xué)合理開放的評分標(biāo)準(zhǔn)，如設(shè)置創(chuàng)新分和誤讀分試卷合成構(gòu)思：主要的考察目標(biāo)、考核內(nèi)容的主要領(lǐng)域；試卷的主要結(jié)構(gòu)（題型結(jié)構(gòu)、難度結(jié)構(gòu)、分?jǐn)?shù)結(jié)構(gòu)）；設(shè)計(jì)供考生經(jīng)歷的主要數(shù)學(xué)活動54非考試型評價1)表現(xiàn)性評價：通過實(shí)際任務(wù)來表現(xiàn)知識和技能成就的評價方式，如收集數(shù)學(xué)日記、對深思型學(xué)生在規(guī)定時間完不成答題任務(wù)的信息等2)成長記錄袋：通過在記錄袋中系統(tǒng)的選擇和收集學(xué)生作品，評價學(xué)生展示進(jìn)步。3)專題作業(yè)：不是以系統(tǒng)掌握知識維目的，而是以解決實(shí)際問題為目的，以培養(yǎng)和考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力、創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。55合作學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)分與提高分測驗(yàn)分提高分低于基礎(chǔ)分10分以上0低于基礎(chǔ)分1-10分10高于基礎(chǔ)分10分以內(nèi)(含基礎(chǔ)分)20高于基礎(chǔ)分10分以上30完全正確的測驗(yàn)卷(不管基礎(chǔ)分是多少)30

56【如何教學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)】

本專題主要解決以下問題：問題1：轉(zhuǎn)變觀念？問題2：打好四基？問題3：學(xué)會思考？問題4：走向創(chuàng)造？

57【問題1：轉(zhuǎn)變觀念】一、學(xué)習(xí)習(xí)慣二、數(shù)學(xué)觀念三、思維方式58一、學(xué)習(xí)習(xí)慣

自學(xué)習(xí)慣：預(yù)習(xí)-上課-整理-作業(yè)-總結(jié)思考習(xí)慣：數(shù)學(xué)的論理性強(qiáng)、抽象性強(qiáng)、應(yīng)用性強(qiáng)，就需要在知識的理解上下功夫，要多思考多研究，搞清知識脈絡(luò)。探究習(xí)慣：發(fā)問-審題-探索-表達(dá)-反思應(yīng)用習(xí)慣：加強(qiáng)訓(xùn)練（實(shí)踐中鍛煉，反復(fù)鍛煉）59案例：思考是怎么開始的讓我們看一個具體問題，假定你有三個容量不同的玻璃杯：3升、5升和8升，最大的杯子是盛滿液體的。你的任務(wù)是設(shè)法使兩個較大的杯子各裝4升液體。試一試？從嘗試錯誤到換個方法再試，這樣便開始了對問題的思考60解答：畫個圖（3，5，8）：（0，0，8）-（0，5，3）-（3，2，3）-（0，2，6）-（2，0，6）-（2，5，1）-（3，4，1）-（0，4，4）61二、數(shù)學(xué)觀念1.數(shù)學(xué)為什么難以理解（1）研究對象：數(shù)量關(guān)系與空間形式（2）研究方法：數(shù)學(xué)直覺與數(shù)學(xué)抽象學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要的素質(zhì)：

非常確切的記憶力異常敏銳的注意力非常理智的思維力（3）研究主線：發(fā)現(xiàn)問題與解決問題62（1）研究對象數(shù)學(xué)研究的對象，是由對象組成的整個集合中任意選取的．當(dāng)我們需要敘述一個有關(guān)整個集合中任意選取的對象的事實(shí)的時候,利用變量是方便的.如，三角形內(nèi)角和四邊形內(nèi)角和

五邊形內(nèi)角和

…n邊形內(nèi)角和

n邊形外角和“…”背后的規(guī)律是什么?變中不變的東西是什么?63(1)第一個命題已知是真的(2)從第2個命題開始都能以同樣的方式由前一個命題推出這是與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的有效證明方法(高中學(xué)習(xí)的“數(shù)學(xué)歸納法”初始命題與隨后的命題證明方法不同,必須給出這種細(xì)致的證明64（2）研究方法數(shù)學(xué)直覺與數(shù)學(xué)抽象關(guān)系：直觀與邏輯。順序：直觀-邏輯-直觀形式：先猜想后證明如，圖像的升降與函數(shù)的單調(diào)性65（3）研究主線即發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題、拓展問題．如,探尋(a+b)n展開式的系數(shù)規(guī)律66第n行(a+b)n展開式的系數(shù),它是按照a的遞增的冪，b的遞減的冪排列的。每行系數(shù)可以用高中學(xué)到的一組有序組合數(shù)：來表示證明可以用數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法依據(jù)以下事實(shí)：（1）每個自然數(shù)都有后繼（2）自然數(shù)可以從1開始672.理解性地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)（1）運(yùn)用已有知識經(jīng)驗(yàn)（2）注意新舊知識聯(lián)系（3）通過解題深化認(rèn)識（4）善于自我糾正錯誤

68課題引入(1)三角形三邊關(guān)系？三內(nèi)角關(guān)系？(2)拼圖法得出結(jié)論可靠嗎？為什么導(dǎo)語：能否找出可靠地方式說明結(jié)論新知探求(1)實(shí)驗(yàn)反思(留足思考的機(jī)會和時間)(2)設(shè)想輔助線的添加方法(3)實(shí)驗(yàn)與設(shè)想結(jié)合給出證明鞏固小結(jié)(1)直接應(yīng)用(2)命題推廣:4,5,…,n邊形內(nèi)角和(背后規(guī)律)小結(jié):發(fā)現(xiàn)真理（實(shí)驗(yàn)與證明）；輔助線待研問題：外角和？邊角關(guān)系？三角形內(nèi)角和（正余弦定理的生長點(diǎn)）69三、思維方式1.數(shù)學(xué)的一般思維方式比較異同點(diǎn)分析與綜合抽象與概括特殊與一般2.數(shù)學(xué)的特殊思維方式①化歸原則；②先猜后證；③數(shù)學(xué)活動70【問題2:打好四基】創(chuàng)造源自基礎(chǔ)，基礎(chǔ)孕育創(chuàng)造一、基礎(chǔ)知識（“懂”）二、基本技能（“熟”）三、基本思想（“識”）四、基本經(jīng)驗(yàn)（“巧