【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué) 第六章第六節(jié) 直接證明與間接證明 A

1．下列說法正確的是(

)①綜合法又叫順推證法或由因?qū)Ч?，此法特點(diǎn)是表述簡(jiǎn)單，條理清楚②分析法從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件③綜合法是從已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理出發(fā)，分析法從要證明的結(jié)論出發(fā)，故兩種方法不能一起使用．④分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法，分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法．A．①②③B．①②④C．①③④

D．②③④解析：綜合法和分析法經(jīng)常一起使用，故③錯(cuò)誤．答案：B2．用反證法證明命題：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a、b中至少有一個(gè)能被5整除”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為(

)A．a(chǎn)、b都能被5整除

B．a(chǎn)、b都不能被5整除C．a(chǎn)、b不都能被5整除

D．a(chǎn)不能被5整除解析：用反證法證明命題應(yīng)先否定結(jié)論．答案：B答案：C答案：x<y5．若x＞1，則x與lnx的大小關(guān)系是________．解析：令f(x)＝x－lnx(x＞1)則f′(x)＝1－＞0∴f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)又∵f(1)＝1－ln1＝1＞0∴f(x)＞0恒成立，即x＞lnx答案：x＞lnx推理論證成立結(jié)論充分條件2．間接證明反證法：假設(shè)原命題

，經(jīng)過正確的推理，最后得出

，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．不成立矛盾考點(diǎn)一綜合法證明不等式證明不等式x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋xz.證明：∵x2＋y2≥2xy，y2＋z2≥2yz，x2＋z2≥2xz，∴2x2＋2y2＋2z2≥2xy＋2yz＋2xz，∴x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋xz.考點(diǎn)二分析法證明不等式考點(diǎn)三反證法的應(yīng)用考點(diǎn)四直接證明與間接證明的綜合應(yīng)用已知函數(shù)y＝f(x)是R上的增函數(shù)．(1)若a，b∈R且a＋b≥0，求證：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)寫出(1)中的命題的逆命題，判斷真假并證明你的結(jié)論．[自主解答]

(1)∵函數(shù)y＝f(x)是R上的增函數(shù)，又∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)逆命題：若a、b∈R，f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0.真命題．證明如下：假設(shè)a＋b＜0，∵y＝f(x)是R上的增函數(shù)，∴當(dāng)a＜－b時(shí)，f(a)＜f(－b)；當(dāng)b＜－a時(shí)，f(b)＜f(－a)．∴f(a)＋f(b)＜f(－b)＋f(－a)，與已知矛盾，∴a＋b＜0不成立．∴a＋b≥0.用綜合法、反證法證明問題是高考的熱點(diǎn)，且常與數(shù)列、立體幾何、解析幾何、不等式等問題綜合考查，題型多為解答題，難度適中，其中綜合法的應(yīng)用是高考的一種重要考向．[考題印證]

(2010·天津高考)(14分)已知函數(shù)f(x)＝xe－x(x∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)已知函數(shù)y＝g(x)的圖象與函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．證明當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>g(x)；(3)如果x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，證明x1＋x2>2.[規(guī)范解答]

(1)f′(x)＝(1－x)e－x.令f′(x)＝0，解得x＝1.…………………(1分)當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－f(x)極大值(2)證明：由題意可知g(x)＝f(2－x)，得g(x)＝(2－x)ex－2.……………(5分)令F(x)＝f(x)－g(x)，即F(x)＝xe－x＋(x－2)ex－2，于是F′(x)＝(x－1)(e2x－2－1)e－x.……(7分)當(dāng)x>1時(shí)，2x－2>0，從而e2x－2－1>0，又e－x>0，所以F′(x)>0.從而函數(shù)F(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)．又F(1)＝e－1－e－1＝0，所以x>1時(shí)，有F(x)>F(1)＝0，即f(x)>g(x)．………………(9分)(3)證明：①若(x1－1)(x2－1)＝0.由(1)及f(x1)＝f(x2)，得x1＝x2＝1，與x1≠x2矛盾．…………(10分)②若(x1－1)(x2－1)>0，由(1)及f(x1)＝f(x2)，得x1＝x2，與x1≠x2矛盾．根據(jù)①②得(x1－1)(x2－1)<0，…………(11分)不妨設(shè)x1<1，x2>1.由(2)可知，f(x2)>g(x2)，g(x2)＝f(2－x2)，所以f(x2)>f(2－x2)，從而f(x1)>f(2－x2)，因?yàn)閤2>1，所以2－x2<1，又由(1)可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，1)內(nèi)是增函數(shù)，所以x1>2－x2，即x1＋x2>2.………(14分)1．直接法的應(yīng)用綜合法和分析法并用實(shí)際上是解決數(shù)學(xué)問題的一般思維方法．在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，分析和綜合往往是相互結(jié)合的，綜合的過程離不開對(duì)問題的分析，分析的結(jié)果離不開綜合的表達(dá)，因此在選擇數(shù)學(xué)證明方法時(shí)，一定要有“綜合性選取”的意識(shí)，要明確數(shù)學(xué)證明方法不是孤立的，是相互聯(lián)系的，它們?cè)谕粋€(gè)問題中往往交互使用．注意：利用分析法證題時(shí)，一定要嚴(yán)格按格式書寫，否則容易出錯(cuò)．2．用反證法證題時(shí)必須注意的幾個(gè)問題：(1)必須正確地“否定結(jié)論”，這是運(yùn)用反證法的前提；(2)在添加補(bǔ)充“假設(shè)”后，由原命題條件及結(jié)論的否定出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)，整個(gè)推理過程必須準(zhǔn)確無誤，否則不是推不出矛盾，就是無法判斷所得結(jié)論是否正確；(3)反證法雖然是解決數(shù)學(xué)問題的利器，但并非所有的證明題都適宜用反證法，宜用反證法證明的數(shù)學(xué)問題有這樣幾種類型：已知條件少看似簡(jiǎn)單的命題；結(jié)論是否定形式的命題；關(guān)于“存在性”及“唯一性”的命題；直接證明有困難的命題，等等．1．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，假設(shè)正確的是(

)A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60°B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60°C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60°D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°解析：“至少有一個(gè)不大于60°”的否定為“都大于60°”．答案：B2．設(shè)a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，則a與b大小關(guān)系為(

)A．a(chǎn)＞bB．a(chǎn)＜bC．a(chǎn)＝bD．a(chǎn)≤b解析：∵a＝lg2＋lg5＝lg10＝1，而b＝ex＜e0＝1，故a＞b.答案：A3．設(shè)S是至少含有兩個(gè)元素的集合．在S上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“*”(即對(duì)任意的a，b∈S，對(duì)于有序元素對(duì)(a，b)，在S中有唯一確定的元素a*b與之對(duì)應(yīng))．若對(duì)任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，則對(duì)任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是(

)A．(a*b)*a＝aB．[a*(b*a)]*(a*b)＝aC．b*(b*b)＝bD．(a*b)*[b*(a*b)]＝b解析：此題只有一個(gè)已知條件：a*(b*a)＝b.B中a*(b*a)＝b原式變?yōu)閎*(a*b)＝a，成立．C中相當(dāng)于已知條件中a替換為b，明顯成立．D中，b*(a*b)＝a，原式變?yōu)?a*b)*a＝b成立．答案：A4．設(shè)x，