【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué) 第五章第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和 A

1．(2010·重慶高考)在等比數(shù)列{an}中，a2010＝8a2007，則公比q的值為(

)A．2

B．3C．4D．8答案：A2．等比數(shù)列{an}中a5＝4，則a2·a8等于(

)A．4B．8C．16D．32答案：C答案：

D4．已知等比數(shù)列{an}各項都是正數(shù)，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，則a3＋a4＋a5＝________.解析：∵a1＋a2＋a3＝21，∴a1(1＋q＋q2)＝21又∵a1＝3，∴1＋q＋q2＝7解之得q＝2或q＝－3(舍)∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝4×21＝84.答案：845．在數(shù)列{an}，{bn}中，bn是an與an＋1的等差中項，a1＝2，且對任意n∈N*，都有3an＋1－an＝0，則{bn}的通項公式bn＝________.1．等比數(shù)列的相關(guān)概念a1qn－1相關(guān)名詞等比數(shù)列{an}的有關(guān)概念及公式前n項和公式等比中項設(shè)a、b為任意兩個同號的實(shí)數(shù)，則a、b的等比中項G＝am·an＝ap·aqSm(S3m－S2m)已知數(shù)列{an}的首項a1＝5，前n項和為Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*.(1)證明：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；(2)求{an}的通項公式以及Sn.考點(diǎn)一等比數(shù)列的判定與證明[自主解答]

(1)證明：由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*，可得n≥2時，Sn＝2Sn－1＋n＋4，兩式相減得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即an＋1＝2an＋1，從而an＋1＋1＝2(an＋1)，設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)求證數(shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列．解：(1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，∴當(dāng)n＝1時，a1＝2×1＝2，當(dāng)n＝2時，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4，當(dāng)n＝3時，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.(2)證明：∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，①∴當(dāng)n≥2時，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)，②①－②得，nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2，考點(diǎn)二等比數(shù)列的基本運(yùn)算在等比數(shù)列{an}中，已知a6－a4＝24，a3a5＝64.求{an}前8項的和S8.[自主解答]

設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，由已知條件得：a6－a4＝a1q3(q2－1)＝24.(*)a3·a5＝(a1q3)2＝64.∴a1q3＝±8.將a1q3＝－8代入(*)式，得q2＝－2(舍去)，已知正項等比數(shù)列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求數(shù)列{an}的通項an和前n項和Sn.(1)在等比數(shù)列{an}中，若a1·a2·a3·a4＝1，a13·a14·a15·a16＝8，求a41·a42·a43·a44.(2)有四個正數(shù)，前三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為48，后三個數(shù)成等比數(shù)列，其最后一個數(shù)為25，求此四個數(shù)．考點(diǎn)三等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用法二：由性質(zhì)可知，依次4項的積為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，T1＝a1·a2·a3·a4＝1，T4＝a13·a14·a15·a16＝8，∴T4＝T1·q3＝1·q3＝8.∴q＝2.∴T11＝a41·a42·a43·a44＝T1·q10＝210＝1024.(2)設(shè)前三個數(shù)分別為a－d，a，a＋d(d為公差)，由題意知，(a－d)＋a＋(a＋d)＝48，解得a＝16.又∵后三個數(shù)成等比數(shù)列，即16,16＋d,25成等比數(shù)列，∴(16＋d)2＝16×25.解之得，d＝4，或d＝－36.因四個數(shù)均為正數(shù)，故d＝－36應(yīng)舍去，所以所求四個數(shù)依次是12,16,20,25.將問題(1)中“a1·a2·a3·a4＝1，a13·a14·a15·a16＝8”改為“a1＋a2＋a3＝7，a1·a2·a3＝8”，求{an}的通項公式．(1)已知等比數(shù)列{an}滿足an＞0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，則當(dāng)n≥1時，求log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1的值．(2)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2，S3n＝14，求S4n的值．(2)由等比數(shù)列性質(zhì)：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比數(shù)列，則(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，∴(S2n－2)2＝2×(14－S2n)．又S2n＞0得S2n＝6，又(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)(S4n－S3n)，∴(14－6)2＝(6－2)·(S4n－14)，解得S4n＝30.考點(diǎn)四等比數(shù)列的綜合應(yīng)用[自主解答]

(1)∵Sn＋1＝3Sn＋2，∴Sn＋1＋1＝3(Sn＋1)．又∵S1＋1＝3，∴{Sn＋1}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列且Sn＝3n－1，n∈N*.(2)n＝1時，a1＝S1＝2，n＞1時，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)(2)由(1)知lg(1＋an)＝2n－1·lg(1＋a1)＝2n－1·lg3＝，∴1＋an＝32n－1.(*)∴Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)＝＝.由(*)式得an＝－1.等比數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)、前n項和公式是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，其中等比數(shù)列的基本量的計算能很好地考查考生對上述知識的應(yīng)用以及對函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法的運(yùn)用，是高考的一種重要考向．(3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成an＝c·qn－1(c，q

均為不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．(4)前n項和公式法：若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝k·qn－k(k

為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列．4．等比數(shù)列的單調(diào)性當(dāng)a1＞0，q＞1或a1＜0,0＜q＜1時為遞增數(shù)列；當(dāng)a1＜0，q＞1或a1＞0,0＜q＜1時為遞減數(shù)列；當(dāng)q＜0時為擺動數(shù)列；當(dāng)q＝1時為常數(shù)列．1．(2010·遼寧高考)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，則公比q＝(

)A．3B．4C．5D．6答案：B答案：A3．等比數(shù)列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，則an＝(

)A．(－2)n－1B．－(－2)n－1C．(－2)nD．－(－2)n答案：A答案：5．設(shè){an}是正項等比數(shù)列，令Sn＝lga1＋lga2＋…＋lgan?n∈N*.如果存在互異正整數(shù)m、n，使得Sn＝Sm.則Sm＋n＝________.答案：06．若數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝pSn＋r(n∈N*)，p，r∈R，Sn為數(shù)列{an}的前n項和．(1)當(dāng)p＝2，r＝0時，