固體物理第三章3

§3.5長波近似在第二章中,晶體被看作連續(xù)介質(zhì),從經(jīng)典力學(xué)的角度推出了晶格振動的彈性波方程。在§3.1中，從晶體中每個原子在其平衡位置附近做微振動的觀點（不再是連續(xù)介質(zhì)）,推出晶格振動的聲學(xué)波和光學(xué)波。

本節(jié)討論：

q→0、λ→∞，即長聲學(xué)波和長光學(xué)波的情況，并和連續(xù)介質(zhì)結(jié)果作比較。波長λ

>>a——原胞的線度晶格中的聲學(xué)波：相鄰原子都沿同一方向振動光學(xué)波：原胞中不同的原子相對地作振動一、長聲學(xué)波

在§3.1中，以一維雙原子鏈為例，當(dāng)q很小時，即對于長波極限，得到聲學(xué)波色散關(guān)系為長聲學(xué)波的角頻率與波矢存在線性關(guān)系，而長聲學(xué)波的波速為長聲學(xué)波的波速為一常數(shù)，這些特性與晶體中的彈性波完成一致。β：恢復(fù)力常數(shù)，2a：晶格常數(shù)。1、長聲學(xué)波波動方程其解為將（4）式代入（3），可得

對于長聲學(xué)波，鄰近的若干原子以相同的振幅、相同的位相集體運動，對于一維復(fù)式格子，運動方程由下式表示即可得兩種不同原子的振幅比將A/B、B/A和ω先后代入（5）式得到將A/B、B/A和ω先后代入（5）式得到：對于l為有限整數(shù)的情況，由試解（4）式，可得l為奇數(shù)時；l為偶數(shù)時；由色散關(guān)系，可知當(dāng)q→0時，ω→0，由振幅比（7）式，可得：因此當(dāng)l為有限整數(shù)時，不論l為奇數(shù)或偶數(shù)，都有上式說明：

在長聲學(xué)波條件下，一維原子鏈不同原子的運動方程實際可視為一個方程，它們的一般表達式：

鄰近（在波長范圍內(nèi)）的若干原子以相同振幅、相同位相集體運動。

歐拉公式

由色散關(guān)系，可知當(dāng)q→0時，ω→0，由振幅比（7）式，可得：

從宏觀上看，原子的位置可視為準(zhǔn)連續(xù)的，原子的分離坐標(biāo)可視為連續(xù)坐標(biāo)，所以有于是，原子的運動方程可寫為上式為標(biāo)準(zhǔn)的宏觀彈性波的波動方程，其中是用微觀參數(shù)表示的彈性波的波速。2、一維連續(xù)介質(zhì)波動方程

設(shè)有一維連續(xù)介質(zhì)，x點的位移為u(x)，(x+dx)點的位移為u(x+dx)，因此連續(xù)介質(zhì)因位移而引起的形變（應(yīng)變）為：設(shè)介質(zhì)的彈性模量為c，則在x點因形變而產(chǎn)生的恢復(fù)力同時，在(x-dx)點，因形變將有恢復(fù)力考慮介質(zhì)中x與(x-dx)間長度為dx的一段：設(shè)一維介質(zhì)的線密度為ρ

，則長度為dx的一段介質(zhì)質(zhì)量為ρdx；而作用在長度為dx的介質(zhì)上有兩個方向相反的恢復(fù)力F(x)及F(x-dx)，因此這段介質(zhì)的運動方程為上式是標(biāo)準(zhǔn)的波動方程，其解為把上式代入波運動方程，得彈性波的相速度這里的c相當(dāng)于楊氏模量.改用偏微商的符號，則有所以而第m+1個原子的位移而引起的對第m個原子產(chǎn)生的恢復(fù)力其中把上式應(yīng)用于一維復(fù)式格子，應(yīng)變是恢復(fù)力：將（18），（19）代入（15），得彈性波的相速度與一維復(fù)式格子的長聲學(xué)波相速度相比較：

彈性波和長聲學(xué)波速度完全相等，即長聲學(xué)波和彈性波完全一樣。所以對于長聲學(xué)波，晶格可以看作是連續(xù)介質(zhì)。一維復(fù)式格子，質(zhì)量線密度為所以

離子晶體的光學(xué)波描述原胞中正負離子的相對運動。在波長較長時，半個波長的范圍內(nèi)包含很多原胞。在兩個波節(jié)之間，同種離子的位移方向相同，異種離子位移相反，而波節(jié)兩邊同種離子位移方向相反。

由于波長很大，使晶體呈現(xiàn)出宏觀上的極化現(xiàn)象

。二、長光學(xué)波

模型：設(shè)每個原胞中只有兩個電荷量相等、符號相反的離子。注意：只有當(dāng)電磁波與光學(xué)波的頻率、波長相同時才會發(fā)生強烈的耦合作用，所以在離子晶體中能與電磁波發(fā)生強烈耦合作用的只能是長光學(xué)波。離子晶體中光學(xué)支的頻率大約為1013s-1的數(shù)量級，而在此頻段的電磁波處于紅外波段，波長大約為10－6m數(shù)量級，因此要求光學(xué)支格波也要有同樣的波長。此波長要比離子晶體的晶格常數(shù)大得多，是長光學(xué)波。原子間距離大約ω=1013/s,λ

=104nm1、離子晶體的宏觀極化方程

由于正負離子相對運動，電荷不再均勻分布，出現(xiàn)了以波長為周期的正負電荷集中的區(qū)域。正離子向左E離子晶體的宏觀極化產(chǎn)生一個宏觀極化電場E，作用在某離子上的電場稱為有效電場Eeff,

有效電場等于宏觀電場減去該離子本身產(chǎn)生的電場。對立方晶系,洛倫茲提出了求解有效電場的一個方法：其中P為宏觀極化強度。

離子晶體的極化由兩部分貢獻構(gòu)成：正離子向左E

對橫波，退極化場平行薄層面，由于薄層的厚度為λ/2，它與晶體的線度相比小得多，如圖所示。因其退極化場E＝0。與縱光學(xué)波相比，橫光學(xué)波的離子所受的恢復(fù)力，由于沒有附加的靜電場恢復(fù)力而較小。因此，可以斷言橫光學(xué)波的圓頻率小于縱光學(xué)波的圓頻率。

離子晶體的極化由兩部分貢獻構(gòu)成：正離子向左E

離子位移極化：是正負離子的相對位移產(chǎn)生的電偶極矩，這種極化稱為離子位移極化，用e*u表示；u為正負離子的相對位移，e*為離子的有效電荷。

電子位移極化：是離子本身的電子云在有效電場作用下發(fā)生畸變，即離子本身也成了電偶極子，這部分的極化為電子位移極化，宏觀極化強度P由下式表示：α－代表正負離子極化率之和。n0是單位體積中的原胞數(shù)。單位體積中的原胞數(shù)建立離子晶體原胞中兩離子的相對運動方程。設(shè)u+表示質(zhì)量為M的正離子的位移；

u-表示質(zhì)量為m的負離子的位移。與一維雙原子晶格類似，可分別寫出正、負離子的運動力學(xué)方程。2、長光學(xué)波的宏觀運動方程

與一維雙原子晶格所不同之處：由于退極化場的存在，離子還受到一個靜電恢復(fù)力。因此有（3）式和（4）式分別乘以m/(M+m)和M/(M+m)，然后相減得引入相對位移u=u+-u-和拆合質(zhì)量Mm/(M+m)，則上式可寫成為了表述方便，通常引入一個單位體積中相對位移參量其中ρ為質(zhì)量密度，Ω為原胞體積。這樣極化強度和運動方程（5）就分別化為其中這組方程稱為黃昆方程，是黃昆1951年求得的。b系數(shù)稱為動力系數(shù)。（a）代表振動方程，第一項為準(zhǔn)彈性恢復(fù)力，第二項表示電場附加了恢復(fù)力。（b）方程代表極化方程，第一項表示離子位移引起的極化，第二項表示電場附加了極化。

從方程可以看出，格波與宏觀極化電場相互耦合在一起。這種耦合波到底具有哪些特性呢？3、LST關(guān)系（長光學(xué)橫波頻率與縱波頻率的關(guān)系）在分析有帶電粒子的晶體振動時，必須考慮它們之間的電磁相互作用。則可以把格波的縱向位移和橫向位移分開，即位移W與波矢q相垂直的部分構(gòu)成橫波WT，位移W與波矢q平行的部分構(gòu)成縱波WL

：黃昆方程具有平面波形式的解橫波WT是等容波，它不引起晶體體積的壓縮或膨脹，其散度為零；縱波WL是無旋波，其旋度為零；晶體內(nèi)無自由電荷，電位移矢量D無散。假設(shè)晶體中的電場只是由庫侖作用的，橫光頻模不產(chǎn)生退極化場(忽略橫向極化伴隨的有旋場)。因此有以下關(guān)系：將靜電方程與黃昆方程聯(lián)合求解：

將黃昆公式（b）極化強度P和（8）式代入（9）式（c）中得上式成立的一個條件是：上式表明：縱波電場趨向于減小縱向位移，從而增加了縱向振動的恢復(fù)力，因此，提高了光學(xué)波的縱向頻率。

把（8）式和（10）式代入黃昆公式（a）對橫光學(xué)波，若不考慮渦旋電場，即在靜電近似下，對橫電場有橫向光學(xué)支格波在晶體中并不引起宏觀的極化電場可得將（11）式的有旋場和無旋場分開，得到

上兩式都是簡諧振動方程，其中（a）代表橫向振動方程，（b）代表縱向振動方程。由（a）式，可得橫波振動頻率由（b）式，可得到縱波振動頻率為了把黃昆系數(shù)和晶體的介電系數(shù)聯(lián)系起來，考慮兩種極端的情況：

對于靜電場，

這表示正、負離子僅僅產(chǎn)生靜態(tài)相對位移Ｗ，并不振動。此時，黃昆方程（a）式變成：將上式代入黃昆方程（b）式，得到將上式與靜電學(xué)極化公式比較可得其中是離子晶體的相對靜電介電常數(shù)。

對于光頻振動時的介電極化，由于離子的運動跟不上迅速變化的外力，其位移W＝0，由黃昆方程（b）式，得到由（15）、（16）式得到將（16）、（17）式代入（13）式(頻率公式)，得到高頻介電常數(shù)（1）一般說來，靜態(tài)介電常數(shù)包括離子位移極化與電子位移極化兩部分的貢獻，但在高頻的變化電場中，離子的位移跟不上迅速變化的電場，所以總有上式稱為LST關(guān)系，它表示光學(xué)波的縱波頻率與橫波頻率之間存在非常簡單的關(guān)系。

由此可得以下結(jié)論：因此縱光學(xué)波頻率ωL總是大于橫光學(xué)波的頻率ωT。這是由于長光學(xué)縱波伴隨有一個宏觀電場，增加了恢復(fù)力，從而提高了縱波的頻率。（2）對于非離子晶體，如金剛石。晶格振動不產(chǎn)生位移極化由（13）式可知（3）某些晶體在某一溫度下即產(chǎn)生所謂的自發(fā)極化。

把趨于零的的振動模式為鐵電軟模，因為這一現(xiàn)象是在研究鐵電材料時發(fā)現(xiàn)的。

因為原子具有一定質(zhì)量，其振動頻率不可能變得無窮大，由LTS關(guān)系

表明此振動模對應(yīng)的恢復(fù)力消失，位移離子回不到原來的平衡位置而達到一