正方形的性質(zhì)與判定（第1課時(shí)） 【教材精講精研】 九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) （北師大版）

第一章特殊平行四邊形北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)崇德尚禮篤學(xué)求真3.1正方形的性質(zhì)與判定學(xué)習(xí)&目標(biāo)1．探索并證明正方形的判定，了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別；2．會(huì)運(yùn)用正方形的判定條件進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算.3.探索并證明正方形的判定，并了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別.（重點(diǎn)）4.會(huì)運(yùn)用正方形的判定條件進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算.（難點(diǎn)）正方形的定義有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。平行四邊形一組鄰邊相等一個(gè)角是直角正方形情境&導(dǎo)入正方形的對(duì)角線相等并且互相垂直平分.正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊相等.正方形的定義情境&導(dǎo)入如圖，將一張長(zhǎng)方形紙對(duì)折兩次，然后剪下一個(gè)角，打開．怎樣剪才能剪出一個(gè)正方形？提示：剪口線與折痕成45°角即可。探索&交流滿足什么條件的矩形是正方形？滿足什么條件的菱形是正方形？請(qǐng)證明你的結(jié)論，并與同伴交流．

議一議有一個(gè)角是直角有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等有一個(gè)角是直角對(duì)角線相等對(duì)角線垂直探索&交流活動(dòng)1

準(zhǔn)備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開，折疊部分得到一個(gè)正方形，可量一量驗(yàn)證驗(yàn)證.正方形猜想

滿足怎樣條件的矩形是正方形？矩形一組鄰邊相等對(duì)角線互相垂直正方形活動(dòng)2

把可以活動(dòng)的菱形框架的一個(gè)角變?yōu)橹苯牵^察這時(shí)菱形框架的形狀.量量看是不是正方形.正方形猜想

滿足怎樣條件的菱形是正方形？菱形一個(gè)角是直角對(duì)角線相等正方形探索&交流探索&交流

議一議（1）正方形是矩形嗎？是菱形嗎？（2）你認(rèn)為正方形具有哪些性質(zhì)？與同伴交流.正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形與菱形的所有性質(zhì).探索&交流相關(guān)圖形性質(zhì)的關(guān)系平行四邊形的性質(zhì)對(duì)邊平行且相等對(duì)角相等對(duì)角線互相平分菱形的性質(zhì)四條邊相等對(duì)角線互相垂直四個(gè)角都是直角對(duì)角線相等矩形的性質(zhì)正方形的性質(zhì)探索&交流已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.求證：正方形ABCD四邊相等,四個(gè)角都是直角.ABCD證明：∵四邊形ABCD是正方形. ∴∠A=90°,AB=AC（正方形的定義）. 又∵正方形是平行四邊形. ∴正方形是矩形（矩形的定義）,

正方形是菱形(菱形的定義). ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°, AB=BC=CD=AD.探索&交流已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.求證：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.ABCDO證明：∵正方形ABCD是矩形,

∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD.正方形的性質(zhì)定理：正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊相等.定理：正方形的對(duì)角線相等并且互相垂直平分.探索&交流

想一想正方形有幾條對(duì)稱軸？正方形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形.正方形有4條對(duì)稱軸.正方形對(duì)角線邊邊對(duì)角線對(duì)角線角對(duì)邊平行且相等相互平分相等四個(gè)角相等都是90°相互垂直且平分對(duì)角四邊相等對(duì)稱性軸對(duì)稱圖形（4條對(duì)稱軸）探索&交流面積為邊長(zhǎng)的平方或?qū)蔷€長(zhǎng)平方的一半.例題&解析

例題欣賞?例1.如圖，在正方形ABCD中，E為CD邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE＝CF.BE與DF之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四條邊相等，四個(gè)角都是直角)．∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°.∴∠BCE＝∠DCF.又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF.∴BE＝DF.例題&解析(2)延長(zhǎng)BE交DF于點(diǎn)M(如圖)．∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE＝∠CDF.∵∠DCF＝90°，∴∠CDF＋∠F＝90°.∴∠CBE＋∠F＝90°.∴∠BMF＝90°.∴BE⊥DF.探索&交流

議一議

平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間有么關(guān)系？你能用一個(gè)你喜歡的方式直觀地示它們之間的關(guān)系嗎？與同伴交流.矩形菱形正方形平行四邊形平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關(guān)系：正方形是特殊的平行四邊形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性質(zhì),正方形都有.例題&解析

例題欣賞?例2.如圖，在正方形ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE=CF.(1)求證：△BCE≌△DCF；(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度數(shù).例題&解析（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°.又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF.（2）解：∵△BCE≌△DCF，∠BEC=60°，∴∠DFC=∠BEC=60°.∵CE=CF，∠ECF=90°，∴∠CFE=45°.∴∠EFD=∠DFC-∠CFE=60°-45°=15°.證明：練習(xí)&鞏固1.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)（）

A.四條邊相等B.對(duì)角線互相垂直平分C.對(duì)角線平分一組對(duì)角D.對(duì)角線相等練習(xí)&鞏固2.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9，將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為GH.若BE∶EC＝2∶1，則線段CH的長(zhǎng)是(

)A．3

B．4

C．5

D．6練習(xí)&鞏固3.如圖，在正方形ABCD中，兩條對(duì)角線相交于O點(diǎn)，OA=2，求∠AOB、∠O