統(tǒng)計學(xué)第三章綜合對指標

第三章綜合指標

第一節(jié)總量指標第二節(jié)相對指標第三節(jié)平均指標第四節(jié)變異指標

第一節(jié)總量指標一、總量指標的概念與作用（一）總量指標的概念總量指標又稱絕對指標或數(shù)量指標，是反映現(xiàn)象在一定時間、地點和條件下所達到的規(guī)?；蛩降闹笜恕＃ǘ┛偭恐笜说淖饔?、反映現(xiàn)象總體的基本情況，是人們認識現(xiàn)象總體的起點。2、是制定政策、編制計劃和實施管理的重要依據(jù)。3、是計算相對指標和平均指標的基礎(chǔ)。二、總量指標的分類1、按反映總體內(nèi)容不同，分為總體單位總量和總體單位總量。2、按反映總體所處時間狀況不同，分為時期指標（流量）和時點指標（存量）。三、時期指標與時點指標的關(guān)系

（一）時期指標與時點指標的區(qū)別1、時期指標的值具有可加性，而時點指標的值則不具有可加性。2、時期指標值的大小與時間間隔的長短有直接關(guān)系，而時點指標值的大小與時間間隔的長短則沒有直接關(guān)系。3、時期指標值是通過連續(xù)調(diào)查取得的，而時點指標值則是通過一次性調(diào)查取得的。（二）時期指標與時點指標的聯(lián)系1、二者都屬于總量指標。2、二者通常是相互影響的。

第二節(jié)相對指標

一、相對指標的意義二、相對指標的表示方法三、相對指標的種類四、計算和應(yīng)用相對指標的原則一、相對指標的意義

（一）相對指標的概念相對指標又稱相對數(shù)，是指兩個有聯(lián)系的統(tǒng)計指標對比所得之比值或比率。（二）相對指標的作用1、說明現(xiàn)象發(fā)展變化的結(jié)構(gòu)、比例、速度、強度、普遍程度以及相互聯(lián)系。2、深入說明總量指標不能說明的問題。二、相對指標的表示方法相對指標一般都用無名數(shù)表示，有些特殊的相對數(shù)則用有名數(shù)表示。三、相對指標的種類及其計算

（一）結(jié)構(gòu)相對指標結(jié)構(gòu)相對指標是指總體各部分數(shù)值與總體數(shù)值對比所得之比率。一般用百分數(shù)表示。計算公式為：（二）比例相對指標比例相對數(shù)是指總體中各部分的數(shù)值相互對比所得之比率。（三）比較相對指標

比較相對數(shù)是指某現(xiàn)象的某一指標在同一時間、不同空間上的數(shù)值對比所得之比率。（四）動態(tài)相對指標動態(tài)相對數(shù)是指某現(xiàn)象的某一指標在同一空間、不同時間上的數(shù)值對比所得之比率。（五）強度相對指標強度相對數(shù)是指兩個性質(zhì)不同、但又有一定聯(lián)系的總量指標的值對比所得之比值或比率。

強度相對指標的表現(xiàn)形式

A、正指標（取值越大越好的指標）。

B、逆指標（取值越小越好的指標）。強度相對數(shù)與平均數(shù)的區(qū)別

①強度相對數(shù)的分子與分母分別屬于兩個不同的總體，而平均數(shù)的分子與分母則屬于同一個總體。

②強度相對數(shù)的分子與分母一般可以互換，而平均數(shù)的分子與分母則絕對不可以互換。課堂作業(yè)指出下列指標哪些是平均數(shù)？哪些是強度相對數(shù)？職工人均工齡、職工人均產(chǎn)值、學(xué)生平均年齡、全國人均鋼產(chǎn)量、全國人均水消費量、人口出生率（死亡率）（六）計劃完成程度相對指標1、概念和基本公式計劃完成程度相對數(shù)，又稱為計劃完成百分數(shù)或計劃完成百分比，是指某現(xiàn)象的某一指標在同一時間、同一空間上的實際完成數(shù)與計劃完成數(shù)對比所得之比率。2、計劃完成百分數(shù)與計劃完成情況的對應(yīng)關(guān)系表表3-1

計劃完成百分數(shù)（%）計劃完成情況正指標逆指標大于100小于100等于100超額完成計劃沒有完成計劃沒有完成計劃超額完成計劃剛好完成計劃3、計劃完成百分數(shù)的計算

A、計劃數(shù)為絕對數(shù)。

例3-1

某工業(yè)企業(yè)總產(chǎn)值資料如下表：表3-1

車間名稱總產(chǎn)值（萬元）計劃完成百分數(shù)（%）計劃數(shù)實際數(shù)（甲）（1）（2）（3）=（2）/（1）甲乙丙5011014080100140160.0090.91100.00合計300320106.67要求：計算各車間和全廠總產(chǎn)值的計劃完成百分數(shù)。B、計劃數(shù)為相對數(shù)時。

a.計劃數(shù)為比率（比值）時。例3-2

某單位某產(chǎn)品的一級品率計劃規(guī)定為40%，實際達到了45%，則其一級品率的計劃完成百分數(shù)為：

45%÷40%=112.50%例3-3某單位的職工人均產(chǎn)值計劃規(guī)定為50000元，實際達到了55000元，則其人均產(chǎn)值的計劃完成百分數(shù)為：

55000÷50000=110%

b.計劃數(shù)為差率時。

例3-4某單位的勞動生產(chǎn)率計劃比去年提高5%，實際提高了8%，則其計劃完成百分數(shù)為：

（1+8%）÷（1+5%）=102.86%

例3-5某單位某產(chǎn)品的單位成本計劃規(guī)定比去年降低10%，實際只降低8%，則其計劃完成百分數(shù)為：

（1-8%）÷（1-10%）=102.22%C、計劃數(shù)為平均數(shù)。例3-16

某單位2003年職工的平均工資計劃為15000元，實際達到了16600元，則其計劃完成百分數(shù)為：

16600÷15000=110.67%4、長期計劃執(zhí)行情況的檢查

（1）長期計劃的含義

長期計劃是指計劃期限大于等于五年的計劃。中期計劃是指計劃期限大于一年小于五年的計劃。短期計劃是指計劃期限小于等于一年的計劃。（2）長期計劃的基本形式

A、水平計劃——指只規(guī)定計劃期最后一年應(yīng)完成的任務(wù)的計劃。此法適用于在計劃期內(nèi)逐年遞增或逐年遞減的現(xiàn)象。

B、累計計劃——指只規(guī)定計劃期內(nèi)一共應(yīng)完成的任務(wù)的計劃。此法適用于在計劃期內(nèi)有升有降、且升降不定的現(xiàn)象。（3）檢查內(nèi)容及方法

A、長期計劃執(zhí)行進度的檢查。

例3-7某地“九五”計劃規(guī)定，整個“九五”期間應(yīng)完成基本建設(shè)投資500億元，到1998年底累計已完成450億元，則：

時間過去百分比=3÷5=60%任務(wù)完成百分比=450÷500=90%因為90%大于60%，所以該地提前完成了“九五”基本建設(shè)投資的進度計劃。B、長期計劃執(zhí)行結(jié)果的檢查

（A）水平法例3-8我國“九五”計劃規(guī)定，到“九五”計劃最后一年，某礦物質(zhì)的年產(chǎn)量應(yīng)達到7200萬噸，實際執(zhí)行結(jié)果如下表：

表3-3時間第四年第五年一季度二季度三季度四季度一季度二季度三季度四季度產(chǎn)量（萬噸）17001720173017501800184018501920要求：計算我國該礦物質(zhì)“九五”計劃完成百分數(shù)，并計算提前完成“九五”計劃的時間。（B）累計法例3-9某重點企業(yè)“九五”計劃規(guī)定應(yīng)完成基建投資1500萬元，各年實際完成情況如下表：

表3-4

要求：計算該企業(yè)基建投資“九五”計劃完成百分數(shù)，并計算提前完成“九五”計劃的時間。時間19961997199819992000上半年下半年一季度二季度三季度四季度一季度二季度三季度四季度基建投資（萬元）300260110200609015012050100160140

解答：四、相對指標的應(yīng)用原則

1、正確選擇對比的基數(shù)。2、保持分子與分母的可比性。3、多種相對指標綜合運用。4、與總量指標結(jié)合應(yīng)用。

5、與定性分析結(jié)合運用。第三節(jié)平均指標

一、平均指標的意義二、算術(shù)平均數(shù)三、調(diào)和平均數(shù)四、幾何平均數(shù)五、眾數(shù)六、中位數(shù)一、平均指標的意義

（一）平均指標的概念

平均指標又稱平均數(shù)，是指某一數(shù)量標志在總體各單位上所達到的一般水平。（二）平均指標的特點將具體數(shù)值抽象化，用一個代表性的數(shù)字來代表總體的一般水平。（三）平均指標的作用

1、反映總體分布的集中趨勢。2、比較同類現(xiàn)象在同一時間、不同空間上的水平。3、比較同類現(xiàn)象在同一空間、不同時間上的水平。二、平均指標的種類

算術(shù)平均數(shù)計算平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)一般平均數(shù)（數(shù)值平均數(shù)）幾何平均數(shù)（靜態(tài)平均數(shù)）眾數(shù)位置平均數(shù)平均數(shù)中位數(shù)

平均發(fā)展水平動態(tài)平均數(shù)平均增長水平（序時平均數(shù)）平均發(fā)展速度平均增長速度圖3-1三、算術(shù)平均數(shù)

（一）概念和基本公式

算術(shù)平均數(shù)是指總體標志總量與總體單位總量對比所得之比值。一般用符號表示。其基本公式為：

（二）計算方法

1、簡單算術(shù)平均法。

（1）適用對象。簡單算術(shù)平均法適用于求未分組資料的平均數(shù)。根據(jù)簡單算術(shù)平均法計算出來的平均數(shù)稱為簡單算術(shù)平均數(shù)。（2）計算公式

例3-10

某班組20名工人的周工資分別為：150、150、180、180、180、200、200、200、200、220、220、220、220、220、220、240、240、240、260、280元，則其平均工資為：2、加權(quán)算術(shù)平均法

（1）適用對象。加權(quán)算術(shù)平均法適用于對已分組的資料求平均數(shù)。根據(jù)加權(quán)算術(shù)平均法計算出來的平均數(shù)稱為加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。

（2）計算公式。

①已知變量值X和頻數(shù)f時。例3-11某班組20名工人按周工資分組資料如下表：

表3-5按周工資分組（元）X工人人數(shù)（人）f

Xf150180200220240260280234631130054080013207202602801229344548749697442288348448625232401476120422051820980②已知變量值X和頻率時。例3-12

某班組若干名工人按周工資分組的資料如下表：

表3-6按周工資分組（元）

X各組人數(shù)占總?cè)藬?shù)比重（%）f/∑f

X﹡f/∑f15018020022024026028010152030155515274066361314∑100211課堂作業(yè)

某班學(xué)生按統(tǒng)計學(xué)考試成績分組資料如下表：

要求：計算該班學(xué)生的平均成績。按成績分組（分）人數(shù)（人）60以下60—7070—8080—9090以上4122572∑50課堂作業(yè)

某班學(xué)生按統(tǒng)計學(xué)考試成績分組資料如下表：

要求：計算該班學(xué)生的平均成績。按成績分（分）各組人數(shù)占總?cè)藬?shù)比重（%）60以下60—7070—8080—9090以上82450144∑100（三）關(guān)于加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的幾點說明1、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)同時受變量值和權(quán)數(shù)兩個因素的影響。2、權(quán)數(shù)從形式上講可以是頻數(shù)f，也可以是頻率f/∑f。3、對同一原始資料而言，用頻數(shù)f與用頻率f/∑f求出的平均數(shù)始終是相等的。4、權(quán)數(shù)對平均數(shù)的大小有權(quán)衡輕重的作用，即哪一個組的權(quán)數(shù)最大，計算出來的平均數(shù)就與該組的變量值最接近。

5、各組頻率沒變，不論頻數(shù)是否變化，平均數(shù)始終都不變；各組頻率發(fā)生變化，不論頻數(shù)是否變化，平均數(shù)也發(fā)生變化。6、當各組權(quán)數(shù)（頻數(shù)或頻率）相等時，權(quán)數(shù)就失去了其應(yīng)有的作用，此時，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)就變成了簡單算術(shù)平均數(shù)，所以說簡單平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù)在權(quán)數(shù)相等時的一個特例。7、根據(jù)組距數(shù)列計算平均數(shù)時，有一個假定條件，即假定各組變量值的平均數(shù)都等于其組中值。但是，由于各組變量值的平均數(shù)不一定都等于其組中值，因此，根據(jù)組距數(shù)列計算出來的平均數(shù)只是原來平均數(shù)的一個近似值。

（四）算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)1、各變量值與其算術(shù)平均數(shù)離差的和等于0。即：

2、各變量值與其算術(shù)平均數(shù)離差平方的和為最小。即：｛｛性質(zhì)1證明

證明：性質(zhì)2證明證明：性質(zhì)2證明證明：三、調(diào)和平均數(shù)

（一）概念和基本公式

調(diào)和平均數(shù)又稱倒數(shù)平均數(shù)，是指各變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。一般用符號表示。其基本公式為：（二）計算方法

1、簡單調(diào)和平均法。

（1）適用對象。簡單調(diào)和平均法適用于對未分組資料求平均數(shù)。根據(jù)簡單調(diào)和平均法計算出來的平均數(shù)稱為簡單調(diào)和平均數(shù)。

（2）計算公式。課堂作業(yè)

例3-13某種蔬菜在某個農(nóng)貿(mào)市場早、中、晚的價格分別為（元/斤）：2.00、1.80、1.50，則：A、某人早、中、晚各買1斤時的平均價格是多少？B、某人早、中、晚各買1元時的平均價格是多少？2、加權(quán)調(diào)和平均法。

（1）適用對象。加權(quán)調(diào)和平均法適用于對已分組資料求平均數(shù)。根據(jù)加權(quán)調(diào)和平均法計算出來的平均數(shù)稱為加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。

實際工作中，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)是作為加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的“變形”應(yīng)用的。

（2）計算公式（3）應(yīng)用。

例3-14

某班若干名學(xué)生按年齡分組的資料如下表：

表3-7按年齡分（歲）X總年齡（歲）MM/X1819202122361905202104421026102∑100050

例3-15某公司所屬甲、乙、丙三個企業(yè)的利潤率和利潤額資料如下表。要求計算甲、乙、丙三個企業(yè)的平均利潤率。

表3-8企業(yè)名稱利潤率（%）X利潤額（萬元）MM/X甲乙丙151816753961045002200650∑—5753350

例3-16某單位2003年新、老職工的有關(guān)工資資料如下表。要求計算該單位新、老職工的平均工資。

表3-9職工類別平均工資（元）

X工資總額（元）MM/X新職工老職工1300017000455000011050000350650∑—156000001000四、幾何平均數(shù)

（一）幾何平均數(shù)的概念幾何平均數(shù)是指N個比率連乘積的N次方根。一般用符號表示。

（二）幾何平均數(shù)的計算方法

1、簡單幾何平均法。

（1）適用對象。

簡單幾何平均法適用于對未分組的N個比率求平均數(shù)。根據(jù)簡單平均法計算出來的平均數(shù)稱為簡單幾何平均數(shù)。

（2）計算公式

例3-17某企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品要經(jīng)過五道工序，已知各工序的合格率分別為98%、95%、98%、97%和95%，要求計算五道工序的平均合格率。2、加權(quán)幾何平均法。

（1）適用對象。

加權(quán)幾何平均法適用于對已分組的N個比率求平均數(shù)。根據(jù)加權(quán)幾何平均法計算出來的平均數(shù)稱為加權(quán)幾何平均數(shù)。

（2）計算公式

課堂作業(yè)某人在銀行存款若干，存期10年，第一年至第二年的年利率為3%，第三年至第五年的年利率為5%，第六年至第九年的年利率為6%，第十年的年利率為8%。問：十年間平均年利率是多少？五、眾數(shù)

（一）眾數(shù)的概念

眾數(shù)是指變量數(shù)列中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。一般用符號表示。（二）眾數(shù)的前提條件1、變量值必須分組。2、變量值要有明顯的集中趨勢。（三）眾數(shù)的確定方法

1、由單項數(shù)列確定眾數(shù)。

眾數(shù)=頻數(shù)（頻率）最多組的變量值單眾數(shù)——只有一個組的頻數(shù)（頻率）為最多。復(fù)眾數(shù)——有兩個組的頻數(shù)（頻率）一樣為最多。例3-18某班50名學(xué)生按年齡分組的資料如下表。試確定其年齡的眾數(shù)。（20歲）表3-10按年齡分（歲）人數(shù)（人）1819

202122201—02703—09

2810—3714—411202—13101∑50例3-19某班50名學(xué)生按年齡分組的資料如下表。試確定其年齡的眾數(shù)。表3-11按年齡分（歲）人數(shù)（人）1819

20212227

20

201∑502、由組距數(shù)列確定眾數(shù)。步驟：

①確定眾數(shù)組。

眾數(shù)組=頻數(shù)（頻率）最多的組②按下列公式求眾數(shù)的近似值。（下限公式）

（上限公式）例3-20某班50名學(xué)生期末統(tǒng)計學(xué)考試成績?nèi)缦卤恚?/p>

表3-12按成績分組（分）X人數(shù)（人）f60以下5560—7065

70—807580—908590以上95401—041205—16

2517—4172∑—50要求：計算該班學(xué)生考試成績的算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)。

解答：六、中位數(shù)

（一）中位數(shù)的概念

中位數(shù)又稱為分割值，是指將變量值按大小順序排列以后，位于數(shù)列中間位置的變量值。一般用符號表示。

（二）中位數(shù)的前提條件變量值必須按大小順序排列。（三）中位數(shù)的確定方法1、由未分組資料確定。

（1）N為奇數(shù)時。（2）N為偶數(shù)時。

例3-21某黨小組11名學(xué)生的年齡分別是21、22、18、23、22、19、19、19、20、21和21歲。試求其年齡的中位數(shù)。（21歲）18、19、19、19、20、21、21、21、22、22、23

例3-22某黨小組10名學(xué)生的黨課成績分別為95、85、88、90、92、95、91、92、90和96分。試求其黨課成績的中位數(shù)（91.5分）

85、88、90、90、91、92、92、95、95、96

2、由已分組資料確定。

（1）由單項數(shù)列確定。例3-23資料見表3-10。要求確定該班學(xué)生年齡的中位數(shù)。（20歲）2、由組距數(shù)列確定中位數(shù)。步驟：①確定中位數(shù)組。

中位數(shù)組=（1+∑f)/2位置的變量值所在的組②由下列公式求中位數(shù)的近似值。七、各種平均數(shù)之間的關(guān)系

（一）算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)的關(guān)系根據(jù)同一資料計算出來的算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間存在以下關(guān)系：

（二）正態(tài)分布時算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的關(guān)系1、對稱分布時（圖3-4）。2、右偏（正偏）分布（圖3-5）時。3、左偏（負偏）分布（圖3-6）時。算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的關(guān)系對稱分布圖3-2

均值=

中位數(shù)=

眾數(shù)右偏（正偏）分布圖3-3眾數(shù)

＜中位數(shù)

＜均值左偏（負偏）分布圖3-4均值

＜中位數(shù)

＜眾數(shù)按成績（分）人（人）60以下60—7070—8080—9090以上11126111∑50按成績（分）人（人）60以下60—7070—8080—9090以上1526144∑50按成績（分）人（人）60以下60—7070—8080—9090以上4142651∑50例3-24計算1、2、3、4、5五個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)，并比較其大小。

第四節(jié)變異指標

一、標志變異指標的意義二、標志變異指標的種類三、方差的重要數(shù)學(xué)性質(zhì)四、計算和應(yīng)用平均指標的原則一、標志變異指標的意義

（一）標志變異指標的概念標志變異指標又稱標志變動度，是反映某一數(shù)量標志在總體各單位上差異程度的一種統(tǒng)計分析指標。（二）標志變異指標的意義1、反映總體分布的離中趨勢。2、說明平均數(shù)代表性的大小。3、反映生產(chǎn)經(jīng)營活動過程的均勻性、均衡性和產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定性。二、標志變異指標的種類

1、全距。

（1）全距的概念。

全距又稱極差，是指變量值中最大變量值與最小變量值之差。全距一般用符號R表示。（2）全距的計算公式。2、平均差。

（1）平均差的概念。平均差是指各變量值與其算術(shù)平均數(shù)離差絕對值的算術(shù)平均數(shù)。一般用符號D表示。（2）平均差的計算方法

①簡單算術(shù)平均法。

A、適用條件。

簡單算術(shù)平均法適用于對未分組資料求平均差。

B、計算公式。例3-25求1、2、3、4、5五個數(shù)的平均差。②加權(quán)算術(shù)平均法。

A、適用條件。加權(quán)算術(shù)平均法適用于求已分組資料的平均差。

B、計算公式。例3-26某班組20名工人按周工資分組資料如下表：按周工資分組（元）X工人人數(shù)（人）f

Xf150180200220240260280234631130054080013207202602801229344548749697442288348448625232401476120422051820980求工人周工資的平均差。3、標準差。

（1）標準差的概念。標準差又稱均方差，是指各變量值與其算術(shù)平均數(shù)離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根。一般用符號表示。（標準差的平方稱為方差，用表示。）（2）標準差的計算方法。

①簡單算術(shù)平均法。

A、適用對象。簡單算術(shù)平均法適用于求未分組資料的標準差B、計算公式。例3-27

求1、2、3、4、5五個數(shù)的標準差。②加權(quán)算術(shù)平均法。

A、適用對象。

加權(quán)算術(shù)平均法適用于求已分組資料的標準差。

B、計算公式。

例3-28資料見表3-1。求該班組工人周工資的標準差。4、離散系數(shù)。