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第七章非線性控制系統(tǒng)剖析7.1非線性系統(tǒng)概括非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律,其形式多樣。線性系統(tǒng)不過一種近似描述非線性系統(tǒng)特色—不知足迭加原理不單與自己構(gòu)造參數(shù)相關(guān),并且與初條件,輸入相關(guān)1)穩(wěn)固性均衡點(diǎn)燈可能有多個(gè)自由運(yùn)動(dòng)形式,與初條件,輸入大小相關(guān)。自振,在必定條件下,受初始擾動(dòng)表現(xiàn)出的頻次,振幅穩(wěn)固的周期運(yùn)動(dòng)。自振是非線性系統(tǒng)獨(dú)有的運(yùn)動(dòng)形式。正弦響應(yīng)的復(fù)雜性跳躍諧振及多值響應(yīng)倍頻振蕩與分頻振蕩組合振蕩(混沌)頻次捕獲非線性系統(tǒng)研究方法小擾動(dòng)線性化辦理相平面法-----用于二階非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)剖析描述函數(shù)法-----用于非線性系統(tǒng)的穩(wěn)固性研究及自振剖析。仿真研究---利用模擬機(jī),數(shù)字機(jī)進(jìn)行仿真切驗(yàn)研究。常有非線性要素對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特征的影響:死區(qū):(如:水表,電表,肌肉電特征等等)死區(qū)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特征的影響:ess(追蹤階躍信號(hào)有穩(wěn)態(tài)誤差),能濾去小幅值噪聲,提升抗擾亂能力等效K,%[本來不穩(wěn)固的系統(tǒng),振蕩性此時(shí)可能穩(wěn)固(初始擾動(dòng)不大時(shí))]可見:非線性系統(tǒng)穩(wěn)固性與自由響應(yīng)和初始擾動(dòng)的大小相關(guān)。2.飽和(如運(yùn)算放大器,學(xué)習(xí)效率等等)飽和對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特征的影響:(本來系統(tǒng)穩(wěn)固,此時(shí)系統(tǒng)必定穩(wěn)固)進(jìn)入飽和后等效K↓振蕩性(本來不穩(wěn),非線性系統(tǒng)最多是等幅振蕩)限制追蹤速度,追蹤誤差,迅速性空隙:(如齒輪,磁性體的磁帶特征等)空隙對(duì)系統(tǒng)影響:空隙寬度有死區(qū)的特色----使ess2)相當(dāng)于一個(gè)延緩τ時(shí)間的延緩環(huán)節(jié),%振蕩性減小空隙的要素的方法:提升齒輪精度;采納雙片齒輪;用校訂裝置賠償。摩擦(如手指擦紙)摩擦惹起慢爬現(xiàn)象的機(jī)理改良慢變化過程安穩(wěn)性的方法
1)、優(yōu)秀潤滑2)、采納擾亂賠償3)、增添阻尼,減少脈沖,提升均衡性摩擦對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響:影響系統(tǒng)慢速運(yùn)動(dòng)的安穩(wěn)性繼電特征:對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響:1)、理想繼電特征等效一、二階系統(tǒng)能夠穩(wěn)固K:一般地,好多狀況下非線性系統(tǒng)會(huì)自振ess(帶死區(qū))2)、帶死區(qū)繼電特征等效K:%快態(tài)影響(死區(qū)+餉)的綜合成效振蕩性、一般繼電特征:除3、2入耳狀況外,多出一個(gè)延緩成效(對(duì)穩(wěn)固性不利)7.2相平面法基礎(chǔ)(合用于二階系統(tǒng))相平面相軌跡二階非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程:x(t)f[x(t),x(t)]――定常非線性運(yùn)動(dòng)方程以為縱標(biāo),x為橫標(biāo),組成一個(gè)平面(二維空間)dxdxxf[x,x]稱之為相平面(狀態(tài)平面)即:dxdt系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí),,以t為參變量在相平面上dxf[x,x]x(t)x(t)dxx描述出的軌跡稱為相軌跡(能夠描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng))相平面法是用圖解法求解一般二階非線性控制系統(tǒng)的精準(zhǔn)方法。它不僅能給出系統(tǒng)的穩(wěn)固性信息和時(shí)間特征信息,還可以給出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡的清楚圖象。二維空間(平面)上表示點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn),能夠擴(kuò)展到N維空間中去。狀態(tài):系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的狀況狀態(tài)變量:表征系統(tǒng)狀態(tài)的變量狀態(tài)平面(相平面):由狀態(tài)變量張成的平面狀態(tài)軌跡(相軌跡):系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)狀態(tài)變量在狀態(tài)平面上描述出的運(yùn)動(dòng)軌跡相平面:由c,c組成的,用以描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特征的平面。相軌跡:c,c隨時(shí)間變化在相平面上描述出來的軌跡。例:欠阻尼二階系統(tǒng)響應(yīng)的相平面描述----相軌跡例:系統(tǒng)方程為xn2x0(=0)求相軌跡方程。解:x
dx
dt
xdx
n2xxdxn2xdx1x22x2c2n2x2x2c令222Ann得:x2x21――橢圓方程2A22An系統(tǒng)特色方程:220sn特色根:1,2jn(中心點(diǎn))均衡點(diǎn)(奇點(diǎn)):xe0自控演示實(shí)驗(yàn)x-y記錄儀所畫的相軌跡:二階系統(tǒng)極點(diǎn)散布,奇點(diǎn)種類及相軌跡形式(見掛圖)自由運(yùn)動(dòng)方程范圍極點(diǎn)地點(diǎn)奇點(diǎn)名稱0中心點(diǎn)01穩(wěn)固焦點(diǎn)1穩(wěn)固節(jié)點(diǎn)10不穩(wěn)固節(jié)點(diǎn)1不穩(wěn)固節(jié)點(diǎn)x2nxnx0
鞍點(diǎn)注:1).奇點(diǎn)=均衡點(diǎn)=各階導(dǎo)數(shù)為0之點(diǎn);2).實(shí)極點(diǎn)數(shù)值=特別相軌跡的斜率;3).x0時(shí)x右移x<0時(shí)x左移x=0時(shí)一般垂直經(jīng)過例1.系統(tǒng)方程為:x2nx0作相軌跡解:原方程=xdx2nxx[dx2n]0dxdx0--橫軸(均衡點(diǎn)會(huì)合)即:dx2n--斜率為-2n的直線族dt利用線性系統(tǒng)(二階)奇點(diǎn)性質(zhì)大要地作出一類二階非線性系統(tǒng)的相軌跡。例2.系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程:xxx0,作出其相軌跡。解:原方程:xxx0x0(1)xxx0x0(2)(1):(s2s1)X(s)0s1,20.5j3――穩(wěn)固焦點(diǎn)2解(2):(s2s1)X(s)0s10.62;s21.62――鞍點(diǎn)作圖,可見初始條件≠0時(shí)自由運(yùn)動(dòng)結(jié)果總發(fā)散(向負(fù)方向)例3.系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程:xxsignx0,作相軌跡。解:原方程:xx10x0(3)均衡點(diǎn):x1xx10x0(4)均衡點(diǎn):x1對(duì)(3):令x'x1x'x'0s1,2'j令x''x1''''''都是中心點(diǎn)(相軌跡為圓)對(duì)(4):xx0js1,2作圖:見下頁:x(x1)0xdx(x1)dxx2(x1)2A2xdx(x1)d(x1)x2(x1)2A2可見:系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)老是穩(wěn)固的:奇點(diǎn)為一線段[-1,1],依初始條件x0不一樣,x0最后能夠穩(wěn)固在[-1,1]之間任一點(diǎn)上。例4.系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為xsinx0求出所有均衡點(diǎn),并剖析其特征。解:令xx0sinx0∴均衡點(diǎn)xe0,,2,,k.當(dāng)xe2k時(shí):sinxx(2k1)時(shí):-sinxx∵在均衡點(diǎn)鄰近變化時(shí),x是小量,與sinx等價(jià)。xx0s1,2(中心點(diǎn))j∴原方程為(鞍點(diǎn))xx0s1,21均衡點(diǎn)公布及其鄰近的相軌跡:4.相軌跡作圖法(分析法,等斜線法,圖弧法)(1)等傾斜線法:系統(tǒng)方程為:xxdxf(x,x)dxdxf(x,x)令相軌跡的斜率dxx得出等斜線方程:f(x,x)相平面上此方程對(duì)應(yīng)曲線點(diǎn)上的x相軌跡斜率為等值給定不一樣的值,畫出不一樣的等斜線,在上邊畫出斜率等于相應(yīng)的短線,能夠組成相軌跡切線的方向場(chǎng)。由此可畫出非線性運(yùn)動(dòng)的相軌跡。等傾斜線法例1,系統(tǒng)如右,用等傾斜線法作系統(tǒng)相軌跡。解:對(duì)線性部分:kC(s)s(Ts1)U(s)(Ts2s)C(s)kU(s)TcckMxhchIu0hxhhchIIMxhchIII...Ⅰ:TcckMdcdcdc(1)dc(1)TccTTkMdcdcckM(等傾斜線方程,水平線)T=k=M=11T11Ⅲ:TcckM,同上議論可得:ckMT1k11T1M11101∞-3-2322Ⅰ:121101-1-2122Ⅲ:1-2-1101121221K1M1Ⅱ:Tcc0(T1)c011T畫出等斜線并作出相軌跡見3號(hào)圖:系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)剖析:自由運(yùn)動(dòng)收斂,最后達(dá)到穩(wěn)固。最后均衡地點(diǎn)[h,h]例2,在例1中,將非線性特征改為純滯環(huán)繼電特征。TcckuMxhxh,x0uxhMxh,x0chIkMh,c0TccchcIIkMh,c0c畫等斜線(同例1,ⅠⅢ區(qū))作相軌跡見6號(hào)圖系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)剖析:自由運(yùn)動(dòng)的最后狀態(tài)是自振(對(duì)應(yīng)有一個(gè)極限環(huán))名類極限環(huán)(見掛圖)7.3描述函數(shù)法描述函數(shù)一般觀點(diǎn)如右圖示:對(duì)非線性環(huán)節(jié)輸入正弦信號(hào)一般地輸入y(t)是一個(gè)周期信號(hào)y(t)例:關(guān)于理想的繼電特征輸出y(t)能夠把周期信號(hào)睜開成富立哀級(jí)數(shù):y(t)A0(AncosntBnsinnt)n1A0ynsin(ntn)n11此中:A02
2y(t)d(t)0AnBn
11
2y(t)cosntd(t)02y(t)sinntd(t)0ynAn2Bn2narctgAnBn關(guān)于y(t)中的基波重量(n=1)有:y1(t)A1costB1sinty1sin(t1)此中:12y(t)costd(t)A10B112td(t)0y(t)siny1A12B12Aarctg1B1例:對(duì)理想繼電特征輸入(方波信號(hào))中,基波重量能夠以下求出:由理想繼電特征的對(duì)稱性,能夠確立A00。由y(t)的奇函數(shù)特征能夠確立Ai012td(t)B1y(t)sin042y(t)sintd(t)04M[cost]024M1arctgA1arctg00B1B1y1(t)A1costB1sint04Msint假如把各次諧波都加上有:――方波信號(hào)是各次諧波重量的迭加y(t)
A0
yn
sinn
tn10y1(t)
y2(t)4M
[sin
t
1sin3t3
1sin5t5
1sinntn
]而在各次諧波重量中,基波重量最能表征y(t)的特色。描述函數(shù)定義:對(duì)一非線性特征,若輸入r(t)Xsint時(shí)其輸出y(t)中的基波重量為y1(t)Y1sin(t1)則定義非線性特征的描述函數(shù):N(x)Y11B1jA1XXXA12B121A1X:正弦輸入的幅值Y1:輸入中基波重量即:N(x)tgB1X1:y1(t)對(duì)r(t)的相角差描述函數(shù)――從線性系統(tǒng)頻次特征的角度來描述非線性特征的一種函數(shù)。描述函數(shù)是非線性環(huán)節(jié)的“頻次特征”,是非線性特征的諧波線性化,線性系統(tǒng)頻次特征是非線性系統(tǒng)描述函數(shù)的特例。描述函數(shù)N(x)與頻次特征G(j)觀點(diǎn)上不一樣,但有近似的地方是其諧波線性化,是“頻次特征”觀點(diǎn)的推行。4M4M例:理想繼電特征:N(x)00XX常有非線性特征的描述函數(shù)描述函數(shù)確實(shí)定(以一般繼電特征為例)1)確立y(t)上的特色點(diǎn)1,2,3,4由輸入x(t)xsint曲線可見:對(duì)1:Xsin1h1sin1hX對(duì)2:Xsin2Xsin(2)mh2sin1mh2sin1mhXX對(duì)3:Xsin3Xsin(3)h3sin1h3sin1hXX對(duì)4:Xsin4Xsin(24)mh24sin1mh42sin1mhXX1:sin1hcos11(h)2XX2:sin2mhcos21(mh)2由:XXh(h)23:sin3cos31XX4:sin4mhcos41(mh)2XX2)求y(t)中基波重量的系數(shù)A1,B1124MA1[Mcostd(t)Mcostd(t)]{[sint]13M[(mhh)(mhh)]2Mh(m1)(xxxxxxB11[2td(t)4Msintd(t)]Msin13M{[cost]2[cost]4}13
21
[sint]43}h)M{[1sin221sin21][1sin24(1sin23)]}M{1(mh)21(h)21(mh)21(h)2}xxxx2M{1(mh)21(h)2}(xh)xxjA1A12Mh(m1)N(x)Y11B1XXXXB12M{1(mh)21(h)2}XX2M{1(mh)21(h)2}j2Mh2(m1)XXXX特例:h0:理想繼電特征4MN(X)Xm1:無滯環(huán)有死區(qū)N(X)4M1(h)2xXm1:純滯環(huán)N(X)4M1(h)2j4MhXXX2可見,描述函數(shù)N(X)一般是非線性特征前,輸入正弦信號(hào)x(t)幅值X的函數(shù),并且在一般狀況下,N(x)是一個(gè)復(fù)數(shù)。用描述函數(shù)剖析非線性系統(tǒng)為什么引出N(X)的觀點(diǎn):實(shí)質(zhì)物理系統(tǒng),嚴(yán)格地講,都是程度不一樣地帶有非線性要素,非線性系統(tǒng)的很多運(yùn)動(dòng)規(guī)律是線性系統(tǒng)率域看不到的,如非線性自振。若一個(gè)實(shí)質(zhì)系統(tǒng)(如火炮系統(tǒng))發(fā)生自振,當(dāng)對(duì)準(zhǔn)具對(duì)準(zhǔn)一個(gè)目標(biāo),炮口因?yàn)樽哉穸粩鄵u動(dòng),是打不中目標(biāo)的,此外對(duì)系統(tǒng)自己磨損也很厲害,因此有必需把非線性系統(tǒng)的穩(wěn)固性及自振問題特意取出來研究。描述函數(shù)法是特意研究一類非線性系統(tǒng)穩(wěn)固性及其自振問題的方法。描述函數(shù)剖析法的基本思想假定一個(gè)非線性系統(tǒng)知足以下三個(gè)條件:1)、能夠化為如右圖的形式;2)、N(X)特征的輸入y(當(dāng)xXsint時(shí)),基波重量幅值最大;、G(j)是最小相角系統(tǒng),且擁有較好的低通濾波特征。(NM)注:很多實(shí)質(zhì)系統(tǒng)均能夠知足此條件,因此此法擁有較廣的適用范圍。則:N(x)的輸出y(t)經(jīng)G(j)的濾波辦理c(t)信號(hào)近似為一正弦信號(hào)這樣,能夠近似把y(t)用其基波信號(hào)來取代,用線性系統(tǒng)頻次剖析法的思想來研究系統(tǒng)穩(wěn)固性問題。(2)系統(tǒng)穩(wěn)固性剖析:由右圖可見:系統(tǒng)自振的條件為(必需條件):N(X)G(j)1――自己輸出反號(hào)后知足自己輸入的需要即:1G(j)N(X)借用奈奎斯特穩(wěn)固判據(jù),視負(fù)倒描述函數(shù)1為廣義的(1,j0)點(diǎn),則有:N(x)判斷非線性系統(tǒng)穩(wěn)固性的方法:不包圍1穩(wěn)固G(j)包圍則系統(tǒng)不穩(wěn)固N(yùn)(X)訂交于可能自振(知足自振必需條件)例:對(duì)理想的繼電系統(tǒng):負(fù)倒描述函數(shù)11xN(X)4M4Mx1X描述出一條曲N(x)同畫在一個(gè)坐標(biāo)圖上當(dāng)X0變化時(shí),N(X)G(j)4M線(不是定點(diǎn))當(dāng)線性部分傳達(dá)函數(shù)為:1G1(s)G1(j)包圍不穩(wěn)固(發(fā)散)N(x)G3(s),G4(s)G3(j)或G4(j1系統(tǒng)穩(wěn)固(運(yùn)動(dòng)收斂))不包圍N(x)G2(s)G3(j)與1在A點(diǎn)訂交系統(tǒng)可能自振N(x)(3)負(fù)倒描述函數(shù)曲線1的繪制及廣義(1,j0)點(diǎn)的變化規(guī)律:以純滯環(huán)N(x)繼電系統(tǒng)為例:N(X)4M1(h)2j4MhXXX2N0(X)hN(X)4h1(h)2j4(h)2MXXX把M――等效非線性部分的增益折算到線性部分增益之中。則標(biāo)稱化的h負(fù)倒描述函數(shù):1X1X1(h)2jhXXN0(X)4h1(h)2jh4h1(h)2(h)2XXXX4X[1(h)2jh][(X)21j]hXX4h可見,1的虛部是一個(gè)常數(shù)(),以X為自變量計(jì)算繪圖:N0(X)4hXh(Xh)1222.32.5345610-0.785-1.36-1.63-1.78-2.22-3.04-3.85-4.65Re[]N0可見,廣義的(1,j0)點(diǎn)1N0(X)
是隨X(當(dāng)h確準(zhǔn)時(shí))的變化而變化的,不是像線性系統(tǒng)時(shí)的固定點(diǎn)(1,j0)。當(dāng)非線性系統(tǒng)工作狀態(tài)(對(duì)應(yīng)一個(gè)確立X值)不一樣時(shí),該廣義(1,j0)點(diǎn)在1曲線上挪動(dòng)。N0(X)見掛圖――常有非線性特征的1曲N0(X)線。(4)自振剖析:<1>必需條件:G(j)1――G(j)曲線與1曲線有交點(diǎn)。N(X)N(X)如右系統(tǒng):1)、關(guān)于A――(1)穿進(jìn)MG(j)曲線的點(diǎn)N(X)hA1(X1)在G0(j)之外穩(wěn)固,X1不穩(wěn)固極限環(huán)A,運(yùn)動(dòng)趨于發(fā)散,X2A2(X2)內(nèi)2)、關(guān)于B――(1)穿出MG(j)曲線的點(diǎn)N1(X)hB1(X3)在G(j)之內(nèi)發(fā)散:X3穩(wěn)固極限環(huán)B,運(yùn)動(dòng)趨于B2(X4)0外穩(wěn)固:X4可見,當(dāng)初始擾動(dòng)使x0不一樣時(shí),系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律不一樣:X0:0運(yùn)動(dòng)收斂到均衡點(diǎn)(穩(wěn)固)XA有發(fā)散趨向XB對(duì)應(yīng)自振有收斂趨向<2>自振的判斷方法:(總結(jié)出來的結(jié)論)穩(wěn)固的界線非穩(wěn)固自振點(diǎn)(不穩(wěn)固極限環(huán))-確立1X穿入發(fā)散穿出G0(j)穩(wěn)固自振點(diǎn)(穩(wěn)固極限環(huán))-確立一個(gè)自振狀態(tài)N0(X)相切于半穩(wěn)固自振點(diǎn)(半穩(wěn)固的極限環(huán))例:P32-5中交點(diǎn)A是一個(gè)穩(wěn)固的自振點(diǎn),該系統(tǒng)無論初始擾動(dòng)大小,最后總要自振(不會(huì)發(fā)散,也不會(huì)收斂到零)<3>自振參數(shù)確實(shí)定及參數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律自振幅值――由交點(diǎn)
B上
N0
1(X)
的X值x6確立(系統(tǒng)各點(diǎn)的幅值能夠折算過去)自振頻次――由交點(diǎn)B上G(j)的值0定,參數(shù)變化時(shí),系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律剖析:參數(shù)變體時(shí),系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律剖析:①k0Mk變化時(shí),(h不變,Mk變化時(shí))h自振循環(huán)點(diǎn)(X0X2)時(shí)自振加劇x33k0:0總穩(wěn)固k1X0X2時(shí),系統(tǒng)收斂,穩(wěn)固界線X2k3②h變化時(shí)(h變化,但保持M不變)XX6hhh對(duì)應(yīng)B點(diǎn):常值X6B點(diǎn)自振幅值(c不變):hh變化時(shí),對(duì)應(yīng)1曲線不一樣③mN0(X)應(yīng)分開來議論不一樣時(shí),G(j曲線不一樣T1,T2)<4>定量計(jì)算例:9
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