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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)()的部分圖象如圖所示.則()A. B.C. D.2.3本不同的語文書,2本不同的數(shù)學(xué)書,從中任意取出2本,取出的書恰好都是數(shù)學(xué)書的概率是()A. B. C. D.3.已知雙曲線與雙曲線沒有公共點(diǎn),則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.4.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則()A. B. C. D.5.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為則()A. B. C. D.6.盒中裝有形狀、大小完全相同的5張“刮刮卡”,其中只有2張“刮刮卡”有獎,現(xiàn)甲從盒中隨機(jī)取出2張,則至少有一張有獎的概率為()A. B. C. D.7.已知函數(shù)(表示不超過x的最大整數(shù)),若有且僅有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.8.已知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為,點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)的平分線與軸交于,則的最大值為A. B. C. D.9.如圖,在直三棱柱中,,,點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn),,分別記二面角,,的平面角為,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.10.某人2018年的家庭總收人為元,各種用途占比如圖中的折線圖,年家庭總收入的各種用途占比統(tǒng)計(jì)如圖中的條形圖,已知年的就醫(yī)費(fèi)用比年的就醫(yī)費(fèi)用增加了元,則該人年的儲畜費(fèi)用為()A.元 B.元 C.元 D.元11.已知函數(shù),且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,則,,的大小關(guān)系為()A. B.C. D.12.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.變量滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最大值是____.14.某種牛肉干每袋的質(zhì)量服從正態(tài)分布,質(zhì)檢部門的檢測數(shù)據(jù)顯示:該正態(tài)分布為,.某旅游團(tuán)游客共購買這種牛肉干100袋,估計(jì)其中質(zhì)量低于的袋數(shù)大約是_____袋.15.函數(shù)的定義域是__________.16.拋物線上到其焦點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤h(x)恒成立,求a的取值范圍;(2)當(dāng)x<0時(shí),研究函數(shù)F(x)=h(x)﹣g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(3)求證:(參考數(shù)據(jù):ln1.1≈0.0953).18.(12分)已知函數(shù).(1)若,,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)時(shí),若對一切恒成立,求a的取值范圍.19.(12分)已知橢圓,上頂點(diǎn)為,離心率為,直線交軸于點(diǎn),交橢圓于,兩點(diǎn),直線,分別交軸于點(diǎn),.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)求證:為定值.20.(12分)如圖,四邊形是邊長為3的菱形,平面.(1)求證:平面;(2)若與平面所成角為,求二面角的正弦值.21.(12分)已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)(點(diǎn)在軸上方),斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn),過點(diǎn)作直線交橢圓于點(diǎn),且,直線交軸于點(diǎn).(1)設(shè)橢圓的離心率為,當(dāng)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí),的坐標(biāo)為,求的值.(2)若橢圓的方程為,且,是否存在使得成立?如果存在,求出的值;如果不存在,請說明理由.22.(10分)某百貨商店今年春節(jié)期間舉行促銷活動,規(guī)定消費(fèi)達(dá)到一定標(biāo)準(zhǔn)的顧客可進(jìn)行一次抽獎活動,隨著抽獎活動的有效開展,參與抽獎活動的人數(shù)越來越多,該商店經(jīng)理對春節(jié)前天參加抽獎活動的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),表示第天參加抽獎活動的人數(shù),得到統(tǒng)計(jì)表格如下:123456758810141517(1)經(jīng)過進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)分析,發(fā)現(xiàn)與具有線性相關(guān)關(guān)系.請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;(2)該商店規(guī)定:若抽中“一等獎”,可領(lǐng)取600元購物券;抽中“二等獎”可領(lǐng)取300元購物券;抽中“謝謝惠顧”,則沒有購物券.已知一次抽獎活動獲得“一等獎”的概率為,獲得“二等獎”的概率為.現(xiàn)有張、王兩位先生參與了本次活動,且他們是否中獎相互獨(dú)立,求此二人所獲購物券總金額的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式:,,,.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
由圖象可知,可解得,利用三角恒等變換化簡解析式可得,令,即可求得.【詳解】依題意,,即,解得;因?yàn)樗?,?dāng)時(shí),.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解析式和已知函數(shù)值求自變量,考查三角恒等變換在三角函數(shù)化簡中的應(yīng)用,難度一般.2、D【解析】
把5本書編號,然后用列舉法列出所有基本事件.計(jì)數(shù)后可求得概率.【詳解】3本不同的語文書編號為,2本不同的數(shù)學(xué)書編號為,從中任意取出2本,所有的可能為:共10個(gè),恰好都是數(shù)學(xué)書的只有一種,∴所求概率為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型,解題方法是列舉法,用列舉法寫出所有的基本事件,然后計(jì)數(shù)計(jì)算概率.3、C【解析】
先求得的漸近線方程,根據(jù)沒有公共點(diǎn),判斷出漸近線斜率的取值范圍,由此求得離心率的取值范圍.【詳解】雙曲線的漸近線方程為,由于雙曲線與雙曲線沒有公共點(diǎn),所以雙曲線的漸近線的斜率,所以雙曲線的離心率.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線,考查雙曲線離心率的取值范圍的求法,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
先利用最高點(diǎn)縱坐標(biāo)求出A,再根據(jù)求出周期,再將代入求出φ的值.最后將代入解析式即可.【詳解】由圖象可知A=1,∵,所以T=π,∴.∴f(x)=sin(2x+φ),將代入得φ)=1,∴φ,結(jié)合0<φ,∴φ.∴.∴sin.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的據(jù)圖求式問題以及三角函數(shù)的公式變換.據(jù)圖求式問題要注意結(jié)合五點(diǎn)法作圖求解.屬于中檔題.5、B【解析】
求得復(fù)數(shù),結(jié)合復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,求得的值.【詳解】易知,則.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)及其坐標(biāo)的對應(yīng),考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
先計(jì)算出總的基本事件的個(gè)數(shù),再計(jì)算出兩張都沒獲獎的個(gè)數(shù),根據(jù)古典概型的概率,求出兩張都沒有獎的概率,由對立事件的概率關(guān)系,即可求解.【詳解】從5張“刮刮卡”中隨機(jī)取出2張,共有種情況,2張均沒有獎的情況有(種),故所求概率為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率、對立事件的概率關(guān)系,意在考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
根據(jù)[x]的定義先作出函數(shù)f(x)的圖象,利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為f(x)與g(x)=ax有三個(gè)不同的交點(diǎn),利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,若有且僅有3個(gè)零點(diǎn),則等價(jià)為有且僅有3個(gè)根,即與有三個(gè)不同的交點(diǎn),作出函數(shù)和的圖象如圖,當(dāng)a=1時(shí),與有無數(shù)多個(gè)交點(diǎn),當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),即,時(shí),與有兩個(gè)交點(diǎn),當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),即時(shí),與有三個(gè)交點(diǎn),要使與有三個(gè)不同的交點(diǎn),則直線處在過和之間,即,故選:A.【點(diǎn)睛】利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)的范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域(最值)問題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解.8、A【解析】
求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),利用拋物線的定義,轉(zhuǎn)化求出比值,,求出等式左邊式子的范圍,將等式右邊代入,從而求解.【詳解】解:由題意可得,焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=?1,
過點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線,M為垂足,
由拋物線的定義可得|PF|=|PM|=x+1,
記∠KPF的平分線與軸交于
根據(jù)角平分線定理可得,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,,綜上:.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義、性質(zhì)的簡單應(yīng)用,直線的斜率公式、利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.9、D【解析】
過點(diǎn)作,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求解二面角的余弦值得答案.【詳解】解:因?yàn)?,,所以,即過點(diǎn)作,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,0,,,,,,0,,,1,,,,,,,設(shè)平面的法向量,則,取,得,同理可求平面的法向量,平面的法向量,平面的法向量.,,..故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查二面角的大小的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.10、A【解析】
根據(jù)2018年的家庭總收人為元,且就醫(yī)費(fèi)用占得到就醫(yī)費(fèi)用,再根據(jù)年的就醫(yī)費(fèi)用比年的就醫(yī)費(fèi)用增加了元,得到年的就醫(yī)費(fèi)用,然后由年的就醫(yī)費(fèi)用占總收人,得到2019年的家庭總收人再根據(jù)儲畜費(fèi)用占總收人求解.【詳解】因?yàn)?018年的家庭總收人為元,且就醫(yī)費(fèi)用占所以就醫(yī)費(fèi)用因?yàn)槟甑木歪t(yī)費(fèi)用比年的就醫(yī)費(fèi)用增加了元,所以年的就醫(yī)費(fèi)用元,而年的就醫(yī)費(fèi)用占總收人所以2019年的家庭總收人為而儲畜費(fèi)用占總收人所以儲畜費(fèi)用:故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查統(tǒng)計(jì)中的折線圖和條形圖的應(yīng)用,還考查了建模解模的能力,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
根據(jù)題意,得,,則為減函數(shù),從而得出函數(shù)的單調(diào)性,可比較和,而,比較,即可比較.【詳解】因?yàn)椋业膱D象經(jīng)過第一、二、四象限,所以,,所以函數(shù)為減函數(shù),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又因?yàn)椋?,又,,則|,即,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,還考查化簡能力和轉(zhuǎn)化思想.12、B【解析】
復(fù)數(shù),在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,可得關(guān)于a的不等式組,解得a的范圍.【詳解】,由其在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,得,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、不等式的解法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、5【解析】
分析:畫出可行域,平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過時(shí),可得有最大值.詳解:畫出束條件表示的可行性,如圖,由可得,可得,目標(biāo)函數(shù)變形為,平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過時(shí),可得有最大值,故答案為.點(diǎn)睛:本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值,屬簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是實(shí)線還是虛線);(2)找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(diǎn)(在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù),最先通過或最后通過的定點(diǎn)就是最優(yōu)解);(3)將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.14、1【解析】
根據(jù)正態(tài)分布對稱性,求得質(zhì)量低于的袋數(shù)的估計(jì)值.【詳解】由于,所以,所以袋牛肉干中,質(zhì)量低于的袋數(shù)大約是袋.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查正態(tài)分布對稱性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】由,得,所以,所以原函數(shù)定義域?yàn)?,故答案?16、【解析】
設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)拋物線的定義求得,并求出對應(yīng)的,即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為,拋物線的準(zhǔn)線方程為,由拋物線的定義得,解得,此時(shí).因此,拋物線上到其焦點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用拋物線的定義求點(diǎn)的坐標(biāo),考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析;(3)見解析【解析】
(1)令H(x)=h(x)﹣f(x)=ex﹣1﹣aln(x+1)(x≥0),求得導(dǎo)數(shù),討論a>1和a≤1,判斷導(dǎo)數(shù)的符號,由恒成立思想可得a的范圍;(2)求得F(x)=h(x)﹣g(x)的導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù),判斷F'(x)的單調(diào)性,討論a≤﹣1,a>﹣1,F(xiàn)(x)的單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù);(3)由(1)知,當(dāng)a=1時(shí),ex>1+ln(x+1)對x>0恒成立,令;由(2)知,當(dāng)a=﹣1時(shí),對x<0恒成立,令,結(jié)合條件,即可得證.【詳解】(Ⅰ)解:令H(x)=h(x)﹣f(x)=ex﹣1﹣aln(x+1)(x≥0),則,①若a≤1,則,H'(x)≥0,H(x)在[0,+∞)遞增,H(x)≥H(0)=0,即f(x)≤h(x)在[0,+∞)恒成立,滿足,所以a≤1;②若a>1,H′(x)=ex﹣在[0,+∞)遞增,H'(x)≥H'(0)=1﹣a,且1﹣a<0,且x→+∞時(shí),H'(x)→+∞,則?x0∈(0,+∞),使H'(x0)=0進(jìn)而H(x)在[0,x0)遞減,在(x0,+∞)遞增,所以當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)H(x)<H(0)=0,即當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),f(x)>h(x),不滿足題意,舍去;綜合①,②知a的取值范圍為(﹣∞,1].(Ⅱ)解:依題意得,則F'(x)=ex﹣x2+a,則F''(x)=ex﹣2x>0在(﹣∞,0)上恒成立,故F'(x)=ex﹣x2+a在(﹣∞,0)遞增,所以F'(x)<F'(0)=1+a,且x→﹣∞時(shí),F(xiàn)'(x)→﹣∞;①若1+a≤0,即a≤﹣1,則F'(x)<F'(0)=1+a≤0,故F(x)在(﹣∞,0)遞減,所以F(x)>F(0)=0,F(xiàn)(x)在(﹣∞,0)無零點(diǎn);②若1+a>0,即a>﹣1,則使,進(jìn)而F(x)在遞減,在遞增,,且x→﹣∞時(shí),,F(xiàn)(x)在上有一個(gè)零點(diǎn),在無零點(diǎn),故F(x)在(﹣∞,0)有一個(gè)零點(diǎn).綜合①②,當(dāng)a≤﹣1時(shí)無零點(diǎn);當(dāng)a>﹣1時(shí)有一個(gè)零點(diǎn).(Ⅲ)證明:由(Ⅰ)知,當(dāng)a=1時(shí),ex>1+ln(x+1)對x>0恒成立,令,則即;由(Ⅱ)知,當(dāng)a=﹣1時(shí),對x<0恒成立,令,則,所以;故有.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求單調(diào)區(qū)間,考查函數(shù)零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用,考查分類討論思想方法,以及運(yùn)算能力和推理能力,屬于難題.對于函數(shù)的零點(diǎn)問題,它和方程的根的問題,和兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題是同一個(gè)問題,可以互相轉(zhuǎn)化;在轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)時(shí),如果是一個(gè)常函數(shù)一個(gè)含自變量的函數(shù),注意讓含有自變量的函數(shù)式子盡量簡單一些.18、(1)單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)【解析】
(1)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系即可求出.(2)解法一:分類討論:當(dāng)時(shí),觀察式子可得恒成立;當(dāng)時(shí),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增,可知;當(dāng)時(shí),令,由,,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得,進(jìn)而可得在上,單調(diào)遞減,即不滿足題意;解法二:通過分離參數(shù)可知條件等價(jià)于恒成立,進(jìn)而記,問題轉(zhuǎn)化為求在上的最小值問題,通過二次求導(dǎo),結(jié)合洛比達(dá)法則計(jì)算可得結(jié)論.【詳解】(1)當(dāng),,,,令,解得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)解法一:當(dāng)時(shí),函數(shù),若時(shí),此時(shí)對任意都有,所以恒成立;若時(shí),對任意都有,,所以,所以在上為增函數(shù),所以,即時(shí)滿足題意;若時(shí),令,則,所以在上單調(diào)遞增,,,可知,一定存在使得,且當(dāng)時(shí),,所以在上,單調(diào)遞減,從而有時(shí),,不滿足題意;綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍為.解法二:當(dāng)時(shí),函數(shù),又當(dāng)時(shí),,對一切恒成立等價(jià)于恒成立,記,其中,則,令,則,在上單調(diào)遞增,,恒成立,從而在上單調(diào)遞增,,由洛比達(dá)法則可知,,,解得.實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與不等式恒成立問題,考查了分類與整合的解題思想,涉及分離參數(shù)法等技巧、涉及到洛比達(dá)法則等知識,注意解題方法的積累,屬于難題.19、(Ⅰ);(Ⅱ),證明見解析.【解析】
(Ⅰ)根據(jù)題意列出關(guān)于,,的方程組,解出,,的值,即可得到橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),,點(diǎn),,易求直線的方程為:,令得,,同理可得,所以,聯(lián)立直線與橢圓方程,利用韋達(dá)定理代入上式,化簡即可得到.【詳解】(Ⅰ)解:由題意可知:,解得,橢圓的方程為:;(Ⅱ)證:設(shè)點(diǎn),,點(diǎn),,聯(lián)立方程,消去得:,,①,點(diǎn),,,直線的方程為:,令得,,,,同理可得,,,把①式代入上式得:,為定值.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、定值問題的求解;關(guān)鍵是能夠通過直線與橢圓聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式,利用韋達(dá)定理化簡三角形面積得到定值;考查計(jì)算能力與推理能力,屬于中檔題.20、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)由已知線面垂直得,結(jié)合菱形對角線垂直,可證得線面垂直;(2)由已知知兩兩互相垂直.以分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,由已知線面垂直知與平面所成角為,這樣可計(jì)算出的長,寫出各點(diǎn)坐標(biāo),求出平面的法向量,由法向量夾角可得二面角.【詳解】證明:(1)因?yàn)槠矫妫矫?,所?因?yàn)樗倪呅问橇庑?,?/p>
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