45證明不等式的基本方法教案1(人教A版選修45)

4-5證明不等式的基本方法授課設(shè)計(jì)（人教A版選修4-5）授課札記授課目的：經(jīng)過實(shí)例，領(lǐng)悟反證法的含義、過程與方法，認(rèn)識(shí)反證法的基本步驟，會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)單的命題。授課重點(diǎn)：領(lǐng)悟反證法證明命題的思路方法，會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)單的命題。授課難點(diǎn)：會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)單的命題。授課過程:一、引入：前面所講的幾種方法，屬于不等式的直接證法。也就是說，直接從題設(shè)出發(fā)，經(jīng)過一系列的邏輯推理，證明不等式成立。但對(duì)于一些較復(fù)雜的不等式，有時(shí)很難直接下手求證，這時(shí)可考慮采用間接證明的方法。所謂間接證明即是指不直接從正面確定論題的真實(shí)性，而是證明它的反論題為假，或轉(zhuǎn)而證明它的等價(jià)命題為真，以間接地達(dá)到目的。其中，反證法是間接證明的一種基本方法。反證法在于表示：若必定數(shù)題的條件而否定其結(jié)論，就會(huì)以致矛盾。詳盡地說，反證法不直接證明命題“若p則q”，而是先必定數(shù)題的條件p，并否定命題的結(jié)論q，爾后經(jīng)過合理的邏輯推理，而獲取矛盾，從而判斷原來的結(jié)論是正確的。利用反證法證明不等式，一般有下面幾個(gè)步驟：第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論；第二步作出與所證不等式相反的假設(shè)；第三步從條件和假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用證確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步判斷產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假設(shè)不正確，于是原證不等式成立。二、典型例題：例1、已知ab0，求證：nanb（nN且n1）例1、設(shè)a3b32，求證ab2.證明：假設(shè)ab2，則有a2b，從而a3812b6b2b3,a3b36b212b86(b1)22.因?yàn)?(b1)222，所以a3b32，這與題設(shè)條件a3b32矛盾，所以，原不等式ab2成立。例2、設(shè)二次函數(shù)f(x)x2pxq，求證：f(1),f(2),f(3)中最少有一個(gè)不小于1.都小于1，則2證明：假設(shè)f(1),f(2),f(3)2f(1)2f(2)f(3)2.（1）另一方面，由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，有f(1)2f(2)f(3)f(1)2f(2)f(3)(1pq)2(42pq)(93p（2）q)2（1）、（2）兩式的結(jié)果矛盾，所以假設(shè)不成立，原來的結(jié)論正確。注意：諸如本例中的問題，當(dāng)要證明幾個(gè)代數(shù)式中，最少有一個(gè)滿足某個(gè)不等式時(shí)，通常采用反證法進(jìn)行。議一議：一般來說，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結(jié)果，平時(shí)是指所推出的結(jié)果與已知公義、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時(shí)假設(shè)矛盾等各種情況。試依照上述兩例，談?wù)撍褜っ艿氖侄?、方法有什么特點(diǎn)？例3、設(shè)0<a,b,c<1，求證：(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可以能同時(shí)大于141(111,證：設(shè)(1a)b>,b)c>,(1c)a>444則三式相乘：ab<(1a)b?(1b)c?(1c)a<1①64(1a)2又∵0<a,b,c<1∴0(1a)aa124同理：(1b)b11,(1c)c44c)c≤1以上三式相乘：(1a)a?(1b)b?(1與①矛盾∴原式成立64例4、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a,b,c>0證：設(shè)

a<0,

∵abc>0,

∴bc<0

又由

a+b+c>0,

則b+c=a>0∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0

與題設(shè)矛盾

又：若a=0，則與abc>0矛盾，∴必有a>0同理可證：b>0,c>0三、課堂練習(xí)：1、利用反證法證明：若已知a，b，m都是正數(shù)，并且ab，則ama.bmb2、設(shè)0<a,b,c<2，求證：(2a)c,(2b)a,(2c)b,不可以能同時(shí)大于13、若x,y>0，且x+y>2，則1y和1x中最少有一個(gè)小于2。xy提示：反設(shè)1y≥2，1x≥2∵x,y>0，可得x+y≤2與x+y>2矛盾。xy四、課時(shí)小結(jié)：利用反證法證明不等式，一般有下面幾個(gè)步驟：第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論；第二步作出與所證不等式相反的假設(shè)；第三步從條件和假設(shè)