2005年第4屆中國(guó)女子數(shù)學(xué)奧林匹克(CGMO)試題(含答案)

112005年女子數(shù)學(xué)奧林匹克第一天2005年8月12日上午8∶00～12∶00 長(zhǎng)春我們進(jìn)行數(shù)學(xué)競(jìng)賽的目的，不僅僅是為了數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)，其著眼點(diǎn)還是因?yàn)樗且磺锌茖W(xué)的得力助手，因而提高數(shù)學(xué)，也為學(xué)好其他科學(xué)打好基礎(chǔ).——華羅庚P在△ABC的外接圓上，直線CPACBPACACABAB的垂直平分線交AC于點(diǎn)求證：CE2 AJ·JE = .BF2 AK·KF 1

1

1求方程x

x12y

yz

z, xyyzzx1是否存在這樣的凸多面體，它共有84求出所有的正實(shí)數(shù)annAA1 2

，?，A滿n足AA1

∪?∪An

=Z，而且對(duì)于每個(gè)Ai

中的任意兩數(shù)bc，都有bcai.2005年女子數(shù)學(xué)奧林匹克第二天2005年8月13日上午8∶00～12∶00 長(zhǎng)春數(shù)學(xué)競(jìng)賽，它對(duì)牢固基礎(chǔ)知識(shí)、發(fā)展智力，培養(yǎng)拔尖人才，是一件具有戰(zhàn)略意義的活動(dòng)。設(shè)正實(shí)數(shù)x，yx3y3=x-y,求證：x24y2＜1.

——華羅庚設(shè)正整數(shù)≥，如果在平面上有n個(gè)格點(diǎn)P，PP滿足：當(dāng)PP 為有理數(shù)時(shí)，存1 2 n i jPPP

和P

P

,使得PP

和PPk i k j k i j k i k j k均為有理數(shù)，那么稱n是“好數(shù)”.(1)求最小的好數(shù)；(2)問(wèn)：2005是否為好數(shù)？7n2={1,2?},={a,a1 2

?,an

S的一個(gè)子集.已知T中的任兩個(gè)數(shù)都不能同時(shí)整除S中的任何一個(gè)數(shù)，求證：1 1 a a1 2

1＜mn.a mn8ab【題1】證：如圖，連接BK，CJ.2∠E=∠ABP—∠BPE，2PAGEPAGE8故∠又由KA=KB，知∠A=∠ABK,故 ①同理②由①，②得△JEC∽△KBF.CE由此，

JE

JE, ③BF KB AKCEJCAJ. ④BF KF KF將③，④兩式的左端和右端分別相乘即得結(jié)論.【題2】解法一：①式可化為x y

z

③51x2 121y2 131z2 γ存在α，β，γ∈(0，π)，使得x=tan

，y=tan2

，z=tan，則22x 2y 2zsinα= , sinβ= , sinγ= ,1x2

1y2

1z2③即sinα

sin

sin. ④②式可化為

5 12 131xy,z 1xy 即 cot tan .2 2α，β，γ∈(0，π)，所以αβπγ,2 2 2即 α+β+γ=π.從而α，β，γ是某個(gè)三角形ABC由④和正弦定理知，αβγ所對(duì)的邊abc的比是51213sinα

5sinβ12sinγ1.13 13從而x=tan

1 =或5，y=tan

2或3，z=tan

1.2 5 2 3 2 21 2 將=1代入②式，易知x和y均小于1.所以15 3 1 2 1 2 故原方程組有兩組解：.5 3 5 3 解法二：顯然1yz由②得，代入①得yz 2 2

y21 1yz yz

1yz yz

y21z2112

y

yz1yz. yz1yz 5yz1yz， 即 5(2+1=12)(1z),同理 5(2+1=13)(1y).整理得122+1y=7+1,182+1y=13+8,兩式相加，得30yz(y+z)=20(y+z),∴yz=

2,y3

2,代入①解得z=±1.3z1 2 1 2 故原方程組有兩組解：

, ,1.5 3 5 3 【題3】解：存在，如下圖所示。4解：2nan,令A(yù){2i1m},i1,2，?,n-1,iA {2n1n若AA1 2

,?An

滿足要求令={?2n下證Ai

M≤2ni.設(shè)AMi={x,x1

,，xm

},x1

,則2 m2nxm 1

(xm

x

)(x

xm2

)(x2

-x)(m1)2i.1∴2ni2ni+1,故2ni.AM,i1,2,n為M的一個(gè)分拆，故i2nM

AMi

2ni2n矛盾.i1 i1∴所求的a2【題5】證：由平均不等式5y3x2y2 5x2y4＞4xy2, 所以 x24y2 xy＜x3y3,從而 x

x3y34y2＜ 1.xy【題6】解：我們斷言最小的好數(shù)為5，且2005是好數(shù).PP

P

為有理數(shù)(或無(wú)理數(shù))，PP

和P

為無(wú)理數(shù)(或有理i j k i j i k j kPP

)為一個(gè)好組.i j kP

,P,

P

為有理數(shù)及(P,P,P)1 2 3 4 1 2 1 2 3

,P,

,P,P)和(P

,P,

)均不是好組.所以2 3 4

2 4 1

2 4 3P,P,P,

不能滿足條件.矛盾!1 2 3 4n=5是好數(shù).以下五個(gè)格點(diǎn)滿足條件：A={(0，0)，(1，0)，(5，3)，(8，7)，(0，7)}.5(2)A={(1，0)，(2，0)，?，(669，0)}.B={(1，1)，(2，1)，?，(668，1)}.C={(1，2)，(2，2)，?，(668，2)}.S2005

ABC.對(duì)任意正整數(shù)n，易證n2

1和n

4

中2005P

,PP

為有理數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)PP

與某一坐標(biāo)軸平行.所以，2005是好數(shù).i j i j i j注：當(dāng)n=6時(shí)，A6當(dāng)n=7時(shí)，A7

A{(-20)}；5A{(-27)}.6則可驗(yàn)證7時(shí)，可像n=2005n【題7】證：構(gòu)造Ti

bSai

,i,2.則mT ,i aiT中任意兩個(gè)數(shù)都不能同時(shí)整除S中的一個(gè)數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，T T .i j則

T

m i ai1 i1 i又因?yàn)?/p>

m m 1,a ai i所以

m

(m)

m

1mn,i1

ai

a ia

i1

i i1a即 a

1a

ma＜mn,i1 i i1 i所以 ni1

1＜mn.a mi【題8】解：設(shè)長(zhǎng)方形為ABCD，AB=a,BC=b，中心為O.Oy1情形1：線段BC與坐標(biāo)軸不相.不妨設(shè)BC在第一象限內(nèi)圖290BOC1).此時(shí)