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PAGEPAGE7平面基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.空間中,可以確定一個(gè)平面的條件是()A.兩條直線 B.一點(diǎn)和一條直線C.一個(gè)三角形 D.三個(gè)點(diǎn)[答案]C2.如圖所示,下列符號(hào)表示錯(cuò)誤的是()A.l∈α B.P?lC.l?α D.P∈α[答案]A[解析]觀察圖知:P?l,P∈α,l?α,則l∈α是錯(cuò)誤的.3.下面四個(gè)說(shuō)法(其中A,B表示點(diǎn),a表示直線,α表示平面):①∵A?α,B?α,∴AB?α;②∵A∈α,B?α,∴AB?α;③∵A?a,a?α,∴A?α;④∵A∈a,a?α,∴A∈α.其中表述方式和推理都正確的命題的序號(hào)是()A.①④ B.②③C.④ D.③[答案]C[解析]①錯(cuò),應(yīng)寫為A∈α,B∈α;②錯(cuò),應(yīng)寫為AB?α;③錯(cuò),推理錯(cuò)誤,有可能A∈α;④推理與表述都正確.4.如圖所示,平面α∩β=l,A,B∈α,C∈β且C?l,AB∩l=R,設(shè)過(guò)A,B,C三點(diǎn)的平面為γ,則β∩γ等于()A.直線AC B.直線BCC.直線CR D.以上都不對(duì)[答案]C[解析]由C,R是平面β和γ的兩個(gè)公共點(diǎn),可知β∩γ=CR.5.若一直線a在平面α內(nèi),則正確的圖形是()[答案]A6.下圖中正確表示兩個(gè)相交平面的是()[答案]D[解析]A中無(wú)交線;B中不可見線沒有畫成虛線;C中虛、實(shí)線沒按畫圖規(guī)則畫,也不正確.D的畫法正確.畫兩平面相交時(shí),一定要畫出交線,還要注意畫圖規(guī)則,不可見線一般應(yīng)畫成虛線,有時(shí)也可以不畫.二、填空題7.已知如圖,試用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示下列點(diǎn)、直線和平面的關(guān)系:(1)點(diǎn)C與平面β:________.(2)點(diǎn)A與平面α:________.(3)直線AB與平面α:________.(4)直線CD與平面α:________.(5)平面α與平面β:________.[答案](1)C?β(2)A?α(3)AB∩α=B(4)CD?α(5)α∩β=BD8.在正方體ABCD-A1B1C1D1(1)直線AC1在平面CC1B1B內(nèi).(2)設(shè)正方體ABCD與A1B1C1D1的中心分別為O,O1,則平面AA1C1C與平面BB1D1D(3)由A,C1,B1確定的平面是ADC1B1.(4)由A,C1,B1確定的平面與由A,C1,D確定的平面是同一個(gè)平面.[答案](2)(3)(4)[解析](1)錯(cuò)誤.如圖所示,點(diǎn)A?平面CC1B1B,所以直線AC1?平面CC1B1B.(2)正確.如圖所示.因?yàn)镺∈直線AC?平面AA1C1C,O∈直線BD?平面BB1D1D,O1∈直線A1C1?平面AA1C1C,O1∈直線B1D1?平面BB1D1D,所以平面AA1C1C(3)(4)都正確,因?yàn)锳D∥B1C1且AD=B1C所以四邊形AB1C1D所以A,B1,C1,D共面.三、解答題9.求證:兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一個(gè)平面內(nèi).[分析][解析]已知:AB∩AC=A,AB∩BC=B,AC∩BC=C.求證:直線AB,BC,AC共面.證明:方法一:因?yàn)锳C∩AB=A,所以直線AB,AC可確定一個(gè)平面α.因?yàn)锽∈AB,C∈AC,所以B∈α,C∈α,故BC?α.因此直線AB,BC,AC都在平面α內(nèi),所以直線AB,BC,AC共面.方法二:因?yàn)锳不在直線BC上,所以點(diǎn)A和直線BC可確定一個(gè)平面α.因?yàn)锽∈BC,所以B∈α.又A∈α,同理AC?α,故直線AB,BC,AC共面.方法三:因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不在同一條直線上,所以A,B,C三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面α.因?yàn)锳∈α,B∈α,所以AB?α,同理BC?α,AC?α,故直線AB,BC,AC共面.規(guī)律總結(jié):1.利用公理2及三個(gè)推論,可以確定平面及平面的個(gè)數(shù),公理中要求“不共線的三點(diǎn)”,推論1要求“平面外一點(diǎn)”,推論2要求“兩條相交直線”,推論3要求“兩條平行線”,因此對(duì)公理、推論的條件和結(jié)論必須理解清楚.2.對(duì)于證明幾個(gè)點(diǎn)(或幾條直線)共面的問題,在由其中幾個(gè)點(diǎn)(或幾條直線)確定一個(gè)平面后,只要再證明其他點(diǎn)(或直線)也在該平面內(nèi)即可.10.如圖所示,AB∥CD,AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E.求證:B,E,D三點(diǎn)共線.[解析]∵AB∥CD,∴AB,CD共面,設(shè)為平面β,∴AC在平面β內(nèi),即E在平面β內(nèi).而AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E,可知B,D,E為平面α與平面β的公共點(diǎn),根據(jù)公理3可得,B,D,E三點(diǎn)共線.能力提升一、選擇題1.(2015·天津武清月考)下列說(shuō)法正確的是()A.兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面B.四邊形確定一個(gè)平面C.梯形可以確定一個(gè)平面D.圓心和圓上兩點(diǎn)確定一個(gè)平面[答案]C[解析]因?yàn)樘菪蔚膬裳窍嘟恢本€,所以根據(jù)確定平面的條件,梯形應(yīng)確定一個(gè)平面.2.下列命題正確的是()A.兩個(gè)平面如果有公共點(diǎn),那么一定相交B.兩個(gè)平面的公共點(diǎn)一定共線C.兩個(gè)平面有3個(gè)公共點(diǎn)一定重合D.過(guò)空間任意三點(diǎn),一定有一個(gè)平面[答案]D[解析]如果兩個(gè)平面重合,則排除A、B;兩個(gè)平面相交,則有一條交線,交線上任取3個(gè)點(diǎn)都是兩個(gè)平面的公共點(diǎn),故排除C;而D中的三點(diǎn)不論共線還是不共線,則一定能找到一個(gè)平面過(guò)這3個(gè)點(diǎn).3.設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn),a、b表示兩條直線,α、β表示兩個(gè)平面,給出下列四個(gè)命題,其中正確的命題是()①P∈a,P∈α?a?α②a∩b=P,b?β?a?β③a∥b,a?α,P∈b,P∈α?b?α④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈bA.①② B.②③C.①④ D.③④[答案]D[解析]當(dāng)a∩α=P時(shí),P∈a,P∈α,但a?α,∴①錯(cuò);a∩β=P時(shí),②錯(cuò);如圖∵a∥b,P∈b,∴P?a,∴由直線a與點(diǎn)P確定唯一平面α,又a∥b,由a與b確定唯一平面β,但β經(jīng)過(guò)直線a與點(diǎn)P,∴β與α重合,∴b?α,故③正確;兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在其交線上,故④正確,選D.4.如圖,α∩β=l,A∈α,C∈β,C?l,直線AD∩l=D,過(guò)A,B,C三點(diǎn)確定的平面為γ,則平面γ、β的交線必過(guò)()A.點(diǎn)A B.點(diǎn)BC.點(diǎn)C,但不過(guò)點(diǎn)D D.點(diǎn)C和點(diǎn)D[答案]D[解析]A、B、C確定的平面γ與直線BD和點(diǎn)C確定的平面重合,故C、D∈γ,且C、D∈β,故C,D在γ和β的交線上.二、填空題5.過(guò)同一點(diǎn)的4條直線中,任意3條都不在同一平面內(nèi),則這4條直線確定的平面的個(gè)數(shù)是________.[答案]6[解析]如圖.6.如圖所示,A,B,C,D為不共面的四點(diǎn),E,F(xiàn),G,H分別在線段AB,BC,CD,DA上.(1)如果EH∩FG=P,那么點(diǎn)P在直線________上.(2)如果EF∩GH=Q,那么點(diǎn)Q在直線________上.[答案](1)BD(2)AC[解析](1)若EH∩FG=P,那么點(diǎn)P∈平面ABD,P∈平面BCD,而平面ABD∩平面BCD=BD,所以P∈BD.(2)若EF∩GH=Q,則點(diǎn)Q∈平面ABC,Q∈平面ACD,而平面ABC∩平面ACD=AC,所以Q∈AC.三、解答題7.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AB的中點(diǎn),F(xiàn)為AA1(1)E、C、D1、F、四點(diǎn)共面;(2)CE、D1F、DA[證明](1)分別連結(jié)EF、A1B、D1C,∵E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn),∴EF∥A1B且EF=eq\f(1,2)A1B.又∵A1D1綊B1C1綊BC∴四邊形A1D1CB是平行四邊形,∴A1B∥CD1,從而EF∥CD1.EF與CD1確定一個(gè)平面.∴E、F、D1、C四點(diǎn)共面.(2)∵EF綊eq\f(1,2)CD1,∴直線D1F和CE必相交.設(shè)D1F∩CE=∵D1F?平面AA1D1D,P∈D1F,∴P∈平面AA1D又CE?平面ABCD,P∈EC,∴P∈平面ABCD,即P是平面ABCD與平面AA1D1D的公共點(diǎn).而平面ABCD∩平面AA1D1D=直線AD,∴P∈直線AD(公理3),∴直線CE、D1F、DA8.(2015·江蘇淮安模擬)如圖所示,在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是AA1,D1C1的中點(diǎn),過(guò)D,M,N三點(diǎn)的平面與正方體的下底面相交于直線(1)畫出直線l的位置;(2)設(shè)l∩A1B1=P,求線
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