2021-2022年高中數(shù)學第二章點直線平面之間的位置關系1.1平面3教案新人教版必修22022022623

PAGEPAGE13第二章點、直線、平面之間的位置關系本章教材分析本章將在前一章整體觀察、認識空間幾何體的基礎上，以長方體為載體，使學生在直觀感知的基礎上，認識空間中點、直線、平面之間的位置關系；通過大量圖形的觀察、實驗和說理，使學生進一步了解平行、垂直關系的基本性質以及判定方法，學會準確地使用數(shù)學語言表述幾何對象的位置關系，初步體驗公理化思想，培養(yǎng)邏輯思維能力，并用來解決一些簡單的推理論證及應用問題.本章主要內容：2.1點、直線、平面之間的位置關系，2.2直線、平面平行的判定及其性質，2.3直線、平面垂直的判定及其性質.2.1節(jié)的核心是空間中直線和平面間的位置關系.從知識結構上看，在平面基本性質的基礎上，由易到難順序研究直線和直線、直線和平面、平面和平面的位置關系.本章在培養(yǎng)學生的辯證唯物主義觀點、公理化的思想、空間想象力和思維能力方面，都具有重要的作用.2.2和2.3節(jié)內容的編寫是以“平行”和“垂直”的判定及其性質為主線展開，依次討論直線和平面平行、平面和平面平行的判定和性質；直線和平面垂直、平面和平面垂直的判定和性質.“平行”和“垂直”在定義和描述直線和直線、直線和平面、平面和平面的位置關系中起著重要作用.在本章它集中體現(xiàn)在：空間中平行關系之間的轉化、空間中垂直關系之間的轉化以及空間中垂直與平行關系之間的轉化.本章教學時間約需12課時，具體分配如下（僅供參考）：2.1.1平面約1課時2.1.2空間中直線與直線之間的位置關系約1課時2.1.3空間中直線與平面之間的位置關系約1課時2.1.4平面與平面之間的位置關系約1課時2.2.1直線與平面平行的判定約1課時2.2.3直線與平面平行的性質約1課時2.2.22.2.4平面與平面平行的判定平面與平面平行的性質約1課時2.3.1直線與平面垂直的判定約1課時2.3.2平面與平面垂直的判定約1課時2.3.3直線與平面垂直的性質約1課時2.3.4平面與平面垂直的性質約1課時本章復習約1課時2.1空間點、直線、平面之間的位置關系2.1.1平面一、教材分析平面是最基本的幾何概念,教科書以課桌面、黑板面、海平面等為例,對它只是加以描述而不定義.立體幾何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是無限延展性.為了更準確地理解平面,教材重點介紹了平面的基本性質,即教科書中的三個公理,這也是本節(jié)的重點.另外,本節(jié)還應充分展現(xiàn)三種數(shù)學語言的轉換與翻譯,特別注意圖形語言與符號語言的轉換.二、教學目標1．知識與技能（1）利用生活中的實物對平面進行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直觀圖（3）掌握平面的基本性質及作用；（4）培養(yǎng)學生的空間想象能力.2．過程與方法（1）通過師生的共同討論，使學生對平面有了感性認識；（2）讓學生歸納整理本節(jié)所學知識.3．情感、態(tài)度與價值觀使用學生認識到我們所處的世界是一個三維空間，進而增強了學習的興趣.三、重點難點三種數(shù)學語言的轉換與翻譯,利用三個公理證明共點、共線、共面問題.四、課時安排1課時五、教學過程（一）導入新課思路1.(情境導入)大家都看過電視劇《西游記》吧，如來佛對孫悟空說：“你一個跟頭雖有十萬八千里，但不會跑出我的手掌心”.結果孫悟空真沒有跑出如來佛的手掌心，孫悟空可以看作是一個點，他的運動成為一條直線，大家說如來佛的手掌像什么？對，像一個平面，今天我們開始認識數(shù)學中的平面.思路2.(事例導入)觀察長方體（圖1），你能發(fā)現(xiàn)長方體的頂點、棱所在的直線，以及側面、底面之間的關系嗎？圖1長方體由上、下、前、后、左、右六個面圍成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直線與面平行，有些棱所在的直線與面相交；每條棱所在的直線都可以看成是某個面內的直線等等.空間中的點、直線、平面之間有哪些位置關系呢？本節(jié)我們將討論這個問題.（二）推進新課、新知探究、提出問題①怎樣理解平面這一最基本的幾何概念;②平面的畫法與表示方法;③如何描述點與直線、平面的位置關系？④直線與平面有一個公共點，直線是否在平面內？直線與平面至少有幾個公共點才能判斷直線在平面內？⑤根據(jù)自己的生活經(jīng)驗，幾個點能確定一個平面？⑥如果兩個不重合的平面有一個公共點，它們的位置關系如何？請畫圖表示;⑦描述點、直線、平面的位置關系常用幾種語言？⑧自己總結三個公理的有關內容.活動：讓學生先思考或討論，然后再回答，經(jīng)教師提示、點撥，對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路.對有困難的學生可提示如下：①回憶我們學過的最基本的概念（原始概念），如點、直線、集合等.②我們的桌面看起來像什么圖形？表示平面和表示點、直線一樣，通常用英文字母或希臘字母表示.③點在直線上和點在直線外；點在平面內和點在平面外.④確定一條直線需要幾個點？⑤引導學生觀察教室的門由幾個點確定.⑥兩個平面不可能僅有一個公共點，因為平面有無限延展性.⑦文字語言、圖形語言、符號語言.⑧平面的基本性質小結.討論結果：①平面與我們學過的點、直線、集合等概念一樣都是最基本的概念（不加定義的原始概念），只能通過對它描述加以理解，可以用它定義其他概念，不能用其他概念來定義它，因為它是不加定義的.平面的基本特征是無限延展性，很像如來佛的手掌(吳承恩的立體幾何一定不錯).②我們的桌面看起來像平行四邊形，因此平面通常畫成平行四邊形，有些時候我們也可以用圓或三角形等圖形來表示平面，如圖2.平行四邊形的銳角通常畫成45°，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍.如果一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，我們常把它遮擋的部分用虛線畫出來，如圖3.圖2圖3平面的表示法有如下幾種：（1）在一個希臘字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常寫在平行四邊形的一個銳角內(圖4)；（2）用平行四邊形的四個字母表示，如平面ABCD（圖5）；（3）用表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母來表示，如平面AC（圖5）.圖4圖5③下面我們總結點與直線、平面的位置關系如下表：點A在直線a上（或直線a經(jīng)過點A）A∈a元素與集合間的關系點A在直線a外（或直線a不經(jīng)過點A）Aa點A在平面α內（或平面α經(jīng)過點A）A∈α點A在平面α外（或平面α不經(jīng)過點A）Aα④直線上有一個點在平面內，直線沒有全部落在平面內(圖7)，直線上有兩個點在平面內，則直線全部落在平面內.例如用直尺緊貼著玻璃黑板，則直尺落在平面內.公理1：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內.這是用文字語言描述，我們也可以用符號語言和圖形語言（圖6）描述.空間圖形的基本元素是點、直線、平面.從運動的觀點看，點動成線，線動成面，從而可以把直線、平面看成是點的集合，因此它們之間的關系除了用文字和圖形表示外，還可借用集合中的符號語言來表示.規(guī)定直線用兩個大寫的英文字母或一個小寫的英文字母表示，點用一個大寫的英文字母表示，而平面則用一個小寫的希臘字母表示.公理1也可以用符號語言表示：若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,則aα.圖6圖7請同學們用符號語言和圖形語言描述直線與平面相交.若A∈a,B∈a,且Aα,B∈α,則aα.如圖（圖7）.⑤在生活中，我們常常可以看到這樣的現(xiàn)象：三腳架可以牢固地支撐照相機或測量用的平板儀等等.上述事實和類似的經(jīng)驗可以歸納為下面的公理.公理2：經(jīng)過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面.如圖（圖8）.圖8公理2刻畫了平面特有的性質，它是確定一個平面位置的依據(jù)之一.⑥我們用平行四邊形來表示平面，那么平面是不是只有平行四邊形這么個范圍呢？不是，因為平面是無限延展的.直線是可以落在平面內的，因為直線是無限延伸的，如果平面是有限的，那么無限延伸的直線又怎么能在有限的平面內呢？所以平面具有無限延展的特征.現(xiàn)在我們根據(jù)平面的無限延展性來觀察一個現(xiàn)象（課件演示給學生看）.問：兩個平面會不會只有一個公共點？不會，因為平面是無限延展的，應當有很多公共點.正因為平面是無限延展的，所以有一個公共點，必有無數(shù)個公共點.那么這無數(shù)個公共點在什么位置呢？可見，這無數(shù)個公共點在一條直線上.這說明，如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線.此時，就說兩平面相交，交線就是公共點的集合，這就是公理3.如圖（圖9），用符號語言表示為：P∈α,且P∈βα∩β=l,且P∈l.圖9公理3告訴我們，如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么這兩個平面一定相交，且其交線一定過這個公共點.也就是說，如果兩個平面有一個公共點，那么它們必定還有另外一個公共點，只要找出這兩個平面的兩個公共點，就找出了它們的交線.由此看出公理3不僅給出了兩個平面相交的依據(jù)，還告訴我們所有交點在同一條直線上，并給出了找這條交線的方法.⑦描述點、直線、平面的位置關系常用3種語言:文字語言、圖形語言、符號語言.⑧“平面的基本性質”小結：名稱作用公理1判定直線在平面內的依據(jù)公理2確定一個平面的依據(jù)公理3兩平面相交的依據(jù)（三）應用示例思路1例1如圖10，用符號語言表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關系.圖10活動：學生自己思考或討論，再寫出（最好用實物投影儀展示寫的正確的答案）.教師在學生中巡視，發(fā)現(xiàn)問題及時糾正，并及時評價.解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在（2）中，α∩β=l,aα,bβ,a∩l=P,b∩l=P.變式訓練1.畫圖表示下列由集合符號給出的關系：(1)A∈α,Bα,A∈l,B∈l;(2)aα,bβ,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.解：如圖11.圖112.根據(jù)下列條件，畫出圖形.（1）平面α∩平面β=l，直線ABα，AB∥l，E∈AB，直線EF∩β=F，F(xiàn)l;（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三個頂點滿足條件:A∈a，B∈α，Ba，C∈β，Ca.答案：如圖12.圖12點評：圖形語言與符號語言的轉換是本節(jié)的重點，主要有兩種題型：(1)根據(jù)圖形，先判斷點、直線、平面的位置關系，然后用符號表示出來.(2)根據(jù)符號，想象出點、直線、平面的位置關系，然后用圖形表示出來.例2已知直線a和直線b相交于點A.求證：過直線a和直線b有且只有一個平面.圖13證明：如圖13,點A是直線a和直線b的交點,在a上取一點B，b上取一點C，根據(jù)公理2經(jīng)過不在同一直線上的三點A、B、C有一個平面α，因為A、B在平面α內，根據(jù)公理1，直線a在平面α內,同理直線b在平面α內，即平面α是經(jīng)過直線a和直線b的平面.又因為A、B在a上，A、C在b上，所以經(jīng)過直線a和直線b的平面一定經(jīng)過點A、B、C.于是根據(jù)公理2，經(jīng)過不共線的三點A、B、C的平面有且只有一個，所以經(jīng)過直線a和直線b的平面有且只有一個.變式訓練求證：兩兩相交且不共點的四條直線在同一平面內.證明：如圖14，直線a、b、c、d兩兩相交，交點分別為A、B、C、D、E、F,圖14∵直線a∩直線b=A,∴直線a和直線b確定平面設為α，即a,bα.∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.而B、F∈c，C、E∈d,∴c、dα,即a、b、c、d在同一平面內.點評：在今后的學習中經(jīng)常遇到證明點和直線共面問題，除公理2外，確定平面的依據(jù)還有：直線與直線外一點.(2)兩條相交直線.(3)兩條平行直線.思路2例1如圖15，已知α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC與EF相交，在圖中分別畫出平面ABC與α、β的交線.圖15活動：讓學生先思考或討論，然后再回答，經(jīng)教師提示、點撥，對回答正確的學生及時表揚，對作圖不準確的學生提示引導考慮問題的思路.解：如圖16所示，連接CB，∵C∈β,B∈β,∴直線CBβ.圖16∵直線CB平面ABC，∴β∩平面ABC=直線CB.設直線CB與直線EF交于D,∵α∩β=EF,∴D∈α,D∈平面ABC.∵A∈α,A∈平面ABC，∴α∩平面ABC=直線AD.變式訓練1.如圖17，AD∩平面α=B,AE∩平面α=C，請畫出直線DE與平面α的交點P，并指出點P與直線BC的位置關系.圖17解：AD和AC是相交直線，它們確定一個平面ABC，它與平面α的交線為直線BC，DE平面ABC，∴DE與α的交點P在直線BC上.2.如圖18，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為8cm，M、N、P分別是AB、A1D1、BB1圖18(1)畫出過M、N、P三點的平面與平面A1B1C1D1的交線，以及與平面BB1(2)設過M、N、P三點的平面與B1C1解：(1)設M、N、P三點確定的平面為α，則α與平面AA1B1B的交線為直線MP，設MP∩A1B1=R，則RN是α與平面A1B1C1D1的交線，設RN∩B1C1=Q，連接PQ，則PQ是所要畫的平面α與平面BB(2)正方體棱長為8cm，B1R=BM=4cm，又A1N=4cm，B1Q=A1N,∴B1Q=×4=（cm）.在△PB1Q中，B1P=4cm，B1Q=cm，∴PQ=cm.點評：公理3給出了兩個平面相交的依據(jù)，我們經(jīng)常利用公理3找兩平面的交點和交線.例2已知△ABC三邊所在直線分別與平面α交于P、Q、R三點，求證：P、Q、R三點共線.解：如圖19,∵A、B、C是不在同一直線上的三點,圖19∴過A、B、C有一個平面β.又∵AB∩α=P，且ABβ,∴點P既在β內又在α內.設α∩β=l,則P∈l,同理可證：Q∈l,R∈l,∴P、Q、R三點共線.變式訓練三個平面兩兩相交于三條直線，若這三條直線不平行，求證：這三條直線交于一點.已知平面α、β、γ兩兩相交于三條直線l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.求證：l1、l2、l3相交于一點.證明：如圖20，α∩β=l1，β∩γ=l2