2021-2022年高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系5作業(yè)含解析新人教版必修220220226110

PAGEPAGE6空間中直線與直線之間的位置關(guān)系[基礎(chǔ)鞏固]1．(2016·臺山一中)用M表示平面，a表示一條直線，則M內(nèi)至少有一條直線與a()A．平行 B．相交C．異面 D．垂直解析：如果a表示一條與平面相交的直線，則A不正確；如果a表示一條與平面平行的直線，則B不正確；如果a表示一條平面內(nèi)的直線，則C不正確，故選D.答案：D2．已知空間四邊形ABCD中，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，則下列判斷中正確的是()A．MN≥eq\f(1,2)(AC＋BD) B．MN≤eq\f(1,2)(AC＋BD)C．MN＝eq\f(1,2)(AC＋BD) D．MN<eq\f(1,2)(AC＋BD)解析：如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接ME、EN，則ME綊eq\f(1,2)AC，EN綊eq\f(1,2)BD，且ME＋EN>MN，∴MN<eq\f(1,2)(AC＋BD)．答案：D3．在空間四邊形ABCD中，已知AD＝1，BC＝eq\r(3)，且AD⊥BC，BD＝eq\f(\r(13),2)，AC＝eq\f(\r(3),2)，求AC和BD所成的角的大小．

解：如圖，取AB，CD，AD，AC的中點(diǎn)E，G，F(xiàn)，H連接EF，F(xiàn)G，GE，EH，HG，由中位線的性質(zhì)，得EF綊eq\f(1,2)BD，F(xiàn)G綊eq\f(1,2)AC，則∠EFG為BD與AC所成的角(或其補(bǔ)角)，又EH∥BC，HG∥AD，且AD⊥BC，所以EH⊥HG，所以EG2＝EH2＋HG2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AD))2＝eq\f(1,4)×(eq\r(3))2＋eq\f(1,4)×12＝1.在△EFG中，EG2＝EF2＋FG2＝1，所以∠EFG＝90°，即AC和BD所成的角為90°.[能力提升]1．空間中，垂直于同一條直線的兩條直線()A．平行 B．相交C．異面 D．以上都有可能解析：可能平行，可能相交，也可能異面，故選D.答案：D2．(2016·巴東一中)給出下列兩個關(guān)于異面直線的命題：命題(1)：若平面α內(nèi)的直線a與平面β內(nèi)的直線b為異面直線，直線c是α與β的交線，那么c至多與a，b中的一條相交；命題(2)：不存在這樣的無窮多條直線，它們中的任意兩條都是異面直線．那么()A．命題(1)正確，命題(2)不正確B．命題(2)正確，命題(1)不正確C．兩個命題都正確D．兩個命題都不正確解析：如圖所示，當(dāng)c與a，b都相交，但交點(diǎn)不是同一個點(diǎn)時(shí)，平面α內(nèi)的直線a與平面β內(nèi)的直線b為異面直線，因此命題(1)不正確；(2)可以取無窮多個平行平面，在每個平面內(nèi)取一條直線，且使這些直線兩兩不平行，則這些直線中任意兩條都是異面直線，因此命題(2)不正確．故答案為D.答案：D3．E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD各邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，若BD＝2，AC＝4，則四邊形EFGH的周長為()A．2 B．4C．6 D．8解析：如圖，在△ABD中，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，則EH綊eq\f(1,2)BD；在△CBD中，同理，F(xiàn)G綊eq\f(1,2)BD，從而EH綊FG.同理可得EF＝GH＝eq\f(1,2)AC，所以四邊形EFGH為平行四邊形，周長為2(EH＋EF)＝6.答案：C4．(2015·吉林扶余一中期末考試)如圖，在三棱錐S-ABC中，G1，G2分別是△SAB和△SAC的重心，則直線G1G2與BCA．相交 B．平行C．異面 D．以上都有可能解析：∵G1，G2是重心，∴G1G2∥MN，而MN∥BC，∴G1G2∥答案：B5.(2015·浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)期末考試)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E為A1CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AEA.eq\f(\r(10),10) B.eq\f(\r(30),10)C.eq\f(\r(15),5) D.eq\f(3\r(10),10)解析：連接AD1，D1E，因?yàn)锳D1∥BC1，所以∠D1AE是異面直線BC1與AE所成的角．在△D1AE中，可以求得AD1＝eq\r(5)，AE＝eq\r(6)，D1E＝eq\r(5)，所以△D1AE為等腰三角形，從而求得∠D1AE的余弦值為eq\f(\r(30),10)，故選B.答案：B6．如圖，若G、H、M、N分別是三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________．解析：①中HG∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，故HG、NM必相交，②④正確．答案：②④7．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1(1)AC與DD1所成的角為________；(2)AC與D1C1(3)AC與B1D1所成的角為________；(4)AC與A1B所成的角為________；(5)A1B與B1D1所成的角為________；(6)A1B與CC1所成的角為________．解析：(1)DD1和AC是異面直線，因?yàn)锳A1∥DD1，AA1⊥AC，∠A1AC＝90°，所以DD1和AC所成的角是90°；(2)因?yàn)镈C∥D1C1，所以∠ACD是AC和D1C1所成的角，又因?yàn)椤螦CD＝45°，所以AC和D1C1所成的角是45°；(3)連接BD，因?yàn)锽D∥B1D1，所以AC與BD所成的角就是AC和B1D1所成的角，又因?yàn)锳C⊥BD，所以AC與B1D1所成的角是90°；(4)連接A1C1，BC1，則△A1BC1是等邊三角形，又因?yàn)锳1C1∥AC，所以∠BA1C1是AC和A1B所成的角，又因?yàn)椤螧A1C1＝60°，所以AC和A1B所成的角是60°；(5)連接A1D，則△A1BD是等邊三角形，∠A1BD＝60°，又因?yàn)锽D∥B1D1，所以∠A1BD是A1B和B1D1所成的角，即A1B和B1D1所成的角是60°；(6)因?yàn)锽B1∥CC1，所以∠A1BB1是A1B和CC1所成的角．又因?yàn)椤螦1BB1答案：(1)90°(2)45°(3)90°(4)60°(5)60°(6)45°8．(2016·如東高級中學(xué))已知a，b為異面直線，且a，b所成的角為40°，過空間一點(diǎn)作直線c，直線c與a，b均異面，且所成的角均為θ，若這樣的直線c共有四條，則θ的取值范圍為________．解析：設(shè)平面α上的兩條直線m，n分別滿足m∥a，n∥b，則m，n相交，且夾角為40°.若直線c與a，b均異面，且所成的角均為θ，則直線c與m，n所成的角均為θ.當(dāng)0°＜θ＜20°時(shí)，不存在這樣的直線c；當(dāng)θ＝20°時(shí)，這樣的直線c只有一條；當(dāng)20°＜θ＜70°時(shí)，這樣的直線c有兩條；當(dāng)θ＝70°時(shí)，這樣的直線c有三條；當(dāng)70°＜θ＜90°時(shí)，這樣的直線c有四條；當(dāng)θ＝90°時(shí)，這樣的直線c只有一條．故θ的取值范圍為(70°，90°)．答案：(70°，90°)9．如圖，△ABC和△A′B′C′的對應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA′、BB′、CC′交于同一點(diǎn)O，且eq\f(AO,OA′)＝eq\f(BO,OB′)＝eq\f(CO,OC′)＝eq\f(2,3).(1)求證：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；(2)求eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)的值．解：(1)∵AA′∩BB′＝O，且eq\f(AO,A′O)＝eq\f(BO,B′O)＝eq\f(2,3)，∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)∵A′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′、AC和A′C′方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′.又∵eq\f(AO,OA′)＝eq\f(BO,OB′)，∠AOB＝∠A′OB′，∴△AOB∽△A′OB′.∴eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AO,A′O).同理可證eq\f(AO,A′O)＝eq\f(AC,A′C′)，∴△ABC∽△A′B′C′.∴eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AO,A′O)))2＝eq\f(4,9).10