2021-2022年高中數(shù)學第二章點直線平面之間的位置關系3.1直線與平面垂直的判定1作業(yè)含解析新人教版必修220220226135

PAGEPAGE8直線與平面垂直的判定基礎鞏固一、選擇題1．下列命題中，正確的有()①如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線和這個平面垂直．②過直線l外一點P，有且僅有一個平面與l垂直．③如果三條共點直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面．④垂直于角的兩邊的直線必垂直角所在的平面．⑤過點A垂直于直線a的所有直線都在過點A垂直于a的平面內(nèi)．A．2個 B．3個C．4個 D．5個[答案]C[解析]②③④⑤正確，①中當這無數(shù)條直線都平行時，結論不成立．2．一條直線和平面所成角為θ，那么θ的取值范圍是()A．(0°，90°) B．[0°，90°]C．(0°，90°] D．[0°，180°][答案]B[解析]由線面角的定義知B正確．3．在正方體ABCD－A1B1C1D1的六個面中，與AA1A．1 B．2C．3 D．6[答案]B[解析]僅有平面AC和平面A1C1與直線AA14．直線a與平面α所成的角為50°，直線b∥a，則直線b與平面α所成的角等于()A．40° B．50°C．90° D．150°[答案]B[解析]根據(jù)兩條平行直線和同一平面所成的角相等，知b與α所成的角也是50°.5．(2015·江西新余一中高一月考)給出下列三個命題：①一條直線垂直于一個平面內(nèi)的三條直線，則這條直線和這個平面垂直；②一條直線與一個平面內(nèi)的任何直線所成的角相等，則這條直線和這個平面垂直；③一條直線在平面內(nèi)的射影是一點，則這條直線和這個平面垂直．其中正確的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]①中三條直線不一定存在兩條直線相交，因此直線不一定與平面垂直；②中直線與平面所成角必為直角，因此直線與平面垂直；③根據(jù)射影定義知正確．故選C．6.如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結論正確的是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直線BC∥平面PAED．直線PD與平面ABC所成的角為45°[答案]D[解析]設AB長為1，由PA＝2AB得PA＝2，又ABCDEF是正六邊形，所以AD長也為2，又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AD，所以△PAD為直角三角形．∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°，∴PD與平面ABC所成的角為45°，故選D．二、填空題7．空間四邊形ABCD的四條邊相等，則對角線AC與BD的位置關系為________.[答案]垂直[解析]取AC中點E，連BE、DE.由AB＝BC得AC⊥BE.同理AC⊥DE，所以AC⊥面BED．因此，AC⊥BD．8．等腰直角三角形ABC的斜邊AB在平面α內(nèi)，若AC與α所成的角為30°，則斜邊上的中線CM與α所成的角為________.[答案]45°[解析]如圖，設C在平面α內(nèi)的射影為O點，連結AO，MO，則∠CAO＝30°，∠CMO就是CM與α所成的角．設AC＝BC＝1，則AB＝eq\r(2)，∴CM＝eq\f(\r(2),2)，CO＝eq\f(1,2).∴sinCMO＝eq\f(CO,CM)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠CMO＝45°.三、解答題9.如圖，在三棱錐A－BCD中，CA＝CB，DA＝DB．作BE⊥CD，E為垂足，作AH⊥BE于H.求證：AH⊥平面BCD．[分析]要證AH⊥平面BCD，只需證AH垂直于平面BCD內(nèi)兩條相交直線即可．當條件中有線段相等時，證明線線垂直可以考慮等腰三角形的性質(zhì)．[證明]取AB的中點F，連接CF、DF.∵CA＝CB，DA＝DB，∴CF⊥AB，DF⊥AB．∵CF∩DF＝F，∴AB⊥平面CDF.∵CD?平面CDF，∴AB⊥CD．又CD⊥BE，AB∩BE＝B，∴CD⊥平面ABE.∵AH?平面ABE，∴CD⊥AH.∵AH⊥BE，BE∩CD＝E，∴AH⊥平面BCD．[點評]垂直關系的轉(zhuǎn)化和平行關系的轉(zhuǎn)化是立體幾何的重點，要證線面垂直，可證線線垂直，要證線線垂直，可證線面垂直．關鍵是在平面內(nèi)找出(或作出)與已知直線垂直的直線，利用等腰三角形的性質(zhì)是解決線線垂直的一種常用方法．10.如圖在三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝PC＝13，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，M為AC的中點．(1)求證：PM⊥平面ABC；(2)求直線BP與平面ABC所成的角的正切值．[解析](1)證明：∵PA＝PC，M為AC的中點，∴PM⊥AC．①又∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AM＝MC＝MB＝eq\f(1,2)AC＝5.在△PMB中，PB＝13，MB＝5.PM＝eq\r(PC2－MC2)＝eq\r(132－52)＝12.∴PB2＝MB2＋PM2，∴PM⊥MB．②由①②可知PM⊥平面ABC．(2)解：∵PM⊥平面ABC，∴MB為BP在平面ABC內(nèi)的射影，∴∠PBM為BP與底面ABC所成的角．在Rt△PMB中tan∠PBM＝eq\f(PM,MB)＝eq\f(12,5).能力提升一、選擇題1．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為A1C1A．ACB．BDC．A1D1D．A1[答案]B[解析]∵BD⊥AC，BD⊥A1A，AC∩A1A＝A，∴BD⊥平面ACC1又∵CE?平面ACC1A1，∴BD⊥2．在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱長相等，側(cè)棱垂直于底面，點D是側(cè)面BB1C1A．30° B．45°C．60° D．90°[答案]C[解析]如圖，取BC的中點E，連接AE，則AE⊥平面BCC1B1.故∠ADE為直線AD與平面BB1C設各棱長為a，則AE＝eq\f(\r(3),2)a，DE＝eq\f(1,2)a.∴tan∠ADE＝eq\r(3).∴∠ADE＝60°.3．如圖，三條相交于點P的線段PA，PB，PC兩兩垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，則垂足H是△ABC的()A．外心 B．內(nèi)心C．垂心 D．重心[答案]C[解析]∵PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB．又∵AB?平面PAB，∴AB⊥PC．又∵AB⊥PH，PH∩PC＝P，∴AB⊥平面PCH.又∵CH?平面PCH，∴AB⊥CH.同理BC⊥AH，AC⊥BH.∴H為△ABC的垂心．4．如圖，ABCD－A1B1C1D1A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．異面直線AD與CB1所成的角為60°[答案]D[解析]∵AD∥BC，∴∠BCB1為異面直線AD與CB1所成的角．又△B1BC為等腰直角三角形，故∠BCB1＝45°.即異面直線AD與CB1所成的角為45°.二、填空題5．已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，則平行四邊形ABCD一定是________.[答案]菱形[解析]由于PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD．又PC⊥BD，且PC?平面PAC，PA?平面PAC，PC∩PA＝P，所以BD⊥平面PAC．又AC?平面PAC，所以BD⊥AC．又四邊形ABCD是平行四邊形，所以四邊形ABCD是菱形．6．(2013·山東)已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為eq\f(9,4)，底面是邊長為eq\r(3)的正三角形．若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為________.[答案]eq\f(π,3)[分析]作出PA與平面ABC所成的角，再求解即可．[解析]設三棱柱的高為h，則eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3))2×h＝eq\f(9,4)，解得h＝eq\r(3).設三棱柱中底面ABC的中心為Q，則PQ＝eq\r(3)，AQ＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×eq\r(3)＝1.在Rt△APQ中，∠PAQ為直線PA與平面ABC所成的角，且tan∠PAQ＝eq\r(3)，所以∠PAQ＝eq\f(π,3).三、解答題7．如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝3eq\r(3)，BC＝3，沿對角線BD將△BCD折起，使點C移到C′點，且C′點在平面ABD上的射影O恰在AB上．(1)求證：BC′⊥平面AC′D；(2)求直線AB與平面BC′D所成角的正弦值．[解析](1)證明：∵點C′在平面ABD上的射影O在AB上，∴C′O⊥平面ABD，∴C′O⊥DA．又∵DA⊥AB，AB∩C′O＝O，∴DA⊥平面ABC′，∴DA⊥BC′.又∵BC⊥CD，∴BC′⊥C′D．∵DA∩C′D＝D，∴BC′⊥平面AC′D．(2)如圖所示，過A作AE⊥C′D，垂足為E.∵BC′⊥平面AC′D，∴BC′⊥AE.又∵BC′∩C′D＝C′，∴AE⊥平面BC′D．連接BE，則BE是AB在平面BC′D上的射影，故∠ABE就是直線AB與平面BC′D所成的角．∵DA⊥AB，DA⊥BC′，∴DA⊥平面ABC′，∴DA⊥AC′.在Rt△AC′B中，AC′＝eq\r(AB2－BC2)＝3eq\r(2).在Rt△BC′D中，C′D＝CD＝3eq\r(3).在Rt△C′AD中，由面積關系，得AE＝eq\f(AC′·AD,C′D)＝eq\f(3\r(2)×3,3\r(3))＝eq\r(6).∴在Rt△AEB中，sin∠ABE＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(\r(6),3\r(3))＝eq\f(\r(2),3)，即直線AB與平面BC′D所成角的正弦值為eq\f(\r(2),3).8．(2015·江西月考)如下圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB、PD與平面ABCD所成角的正切值依次是1、eq\f(1,2)，AP＝2，E、F依次是PB、PC的中點．(1)求證：PB⊥平面AEFD；(2)求直線EC與平面PAD所成角的正弦值．[解析](1)證明：∵PB、PD與平面ABCD所成角的正切值依次是1、eq\f(1,2)，AP＝2，且PA⊥平面ABCD，∴AB＝2，AD＝4.∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB．∵E是PB的中點，AP＝AB，∴AE⊥PB．又AE，AD?平面AEFD，AE∩AD＝A，∴PB⊥平面AEFD．(2)∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA，又CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，取PA的中點G，CD的中點H