安培環(huán)路定理

安培環(huán)路定理開(kāi)放分類：物理、磁場(chǎng)11-3安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理在穩(wěn)恒磁場(chǎng)中，磁感強(qiáng)度B沿任何閉合路徑的線積分，等于這閉合路徑所包圍的各個(gè)電流之代數(shù)和的倍。這個(gè)結(jié)論稱為安培環(huán)路定理。它的數(shù)學(xué)表達(dá)式是按照安培環(huán)路定理，環(huán)路所包圍電流之正負(fù)應(yīng)服從右手螺旋法則。如果閉合路徑l包圍著兩個(gè)流向相反的電流I1和I2（如左圖所示），這在下式中，按圖中選定的閉合路徑l的繞行方向，B矢量沿此閉合路徑的環(huán)流為如果閉合路徑l包圍的電流等值反向（如右圖所示），或者環(huán)路中并沒(méi)有包圍電流，則：安培環(huán)路定理的證明（不完全證明）以長(zhǎng)直載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)為例，證明安培環(huán)路定理的正確性。在長(zhǎng)直載流導(dǎo)線的周圍作三個(gè)不同位置，且不同形狀的環(huán)路，可以證明對(duì)磁場(chǎng)中這三個(gè)環(huán)路，安培環(huán)路定理均成立。1、 取對(duì)稱環(huán)路包圍電流在垂直于長(zhǎng)直載流導(dǎo)線的平面內(nèi)，以載流導(dǎo)線為圓心作一條半徑為r的圓形環(huán)路1，則在這圓周上任一點(diǎn)的磁感強(qiáng)度B的大小為其方向與圓周相切.取環(huán)路的繞行方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?，取線元矢量dl，則B與dl間的夾角，B沿這一環(huán)路l的環(huán)流為式中積分是環(huán)路的周長(zhǎng)。于是上式可寫成為從上式看到，B沿此圓形環(huán)路的環(huán)流只與閉合環(huán)路所包圍的電流I有關(guān)，而與環(huán)路的大小、形狀無(wú)關(guān)。2、 取任意環(huán)路包圍電流在垂直于長(zhǎng)直載流導(dǎo)線的平面內(nèi)，環(huán)繞載流直導(dǎo)線作一條如下圖所示的任意環(huán)路l，取環(huán)路的繞行方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?。在環(huán)路上任取一段線元dl，載流直導(dǎo)線在線元dl處的磁感強(qiáng)度B大小為B與dl的夾角為，則B對(duì)dl的線積分為直導(dǎo)線中心向線元的張角為，則有，所以有可見(jiàn)，B對(duì)dl的線積分與到直導(dǎo)線的距離無(wú)關(guān)。那么B對(duì)整個(gè)環(huán)路的環(huán)流值為上述計(jì)算再次說(shuō)明B的環(huán)流值與環(huán)路的大小、形狀無(wú)關(guān)。3、取任意環(huán)路不包圍電流在垂直于長(zhǎng)直載流導(dǎo)線的平面內(nèi)，在載流直導(dǎo)線的外側(cè)作一條如下圖所示的任意環(huán)路l，取環(huán)路的繞行方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较颉Ｒ暂d流直導(dǎo)線為圓心向環(huán)路作兩條夾角為的射線，在環(huán)路上截取兩個(gè)線元和。和距直導(dǎo)線圓心的距離分別為和，直導(dǎo)線在兩個(gè)線元處的磁感強(qiáng)度分別為和。從上圖可以看出，而。利用安培環(huán)路定理的證明之二的結(jié)論可知所以有從載流直導(dǎo)線中心O出發(fā)，可以作許多條射線，將環(huán)路分割成許多成對(duì)的線元，磁感強(qiáng)度對(duì)每對(duì)線元的標(biāo)量積之和，都有上式的結(jié)果，故即環(huán)路不包圍電流時(shí)，B的環(huán)流值為零。安培環(huán)路定理反映了磁場(chǎng)的基本規(guī)律。和靜電場(chǎng)的環(huán)路定理相比較，穩(wěn)恒磁場(chǎng)中B的環(huán)流，說(shuō)明穩(wěn)恒磁場(chǎng)的性質(zhì)和靜電場(chǎng)不同，靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)，穩(wěn)恒磁場(chǎng)是非保守場(chǎng)。安培環(huán)路定理的應(yīng)用利用安培環(huán)路定理求磁場(chǎng)的前提條件：如果在某個(gè)載流導(dǎo)體的穩(wěn)恒磁場(chǎng)中，可以找到一條閉合環(huán)路1，該環(huán)路上的磁感強(qiáng)度B大小處處相等，B的方向和環(huán)路的繞行方向也處處同向，這樣利用安培環(huán)路定理求磁感強(qiáng)度B的問(wèn)題，就轉(zhuǎn)化為求環(huán)路長(zhǎng)度，以及求環(huán)路所包圍的電流代數(shù)和的問(wèn)題，即利用安培環(huán)路定理求磁場(chǎng)的適用范圍：在磁場(chǎng)中能否找到上述的環(huán)路，取決于該磁場(chǎng)分布的對(duì)稱性，而磁場(chǎng)分布的對(duì)稱性又來(lái)源于電流分布的對(duì)稱性。因此，只有下述幾種電流的磁場(chǎng)，才能夠利用安培環(huán)路定理求解。電流的分布具有無(wú)限長(zhǎng)軸對(duì)稱性電流的分布具有無(wú)限大面對(duì)稱性各種圓環(huán)形均勻密繞螺繞環(huán)利用安培環(huán)路定理求磁場(chǎng)的基本步驟首先用磁場(chǎng)疊加原理對(duì)載流體的磁場(chǎng)作對(duì)稱性分析；根據(jù)磁場(chǎng)的對(duì)稱性和特征，選擇適當(dāng)形狀的環(huán)路；利用公式（1）求磁感強(qiáng)度。長(zhǎng)直載流螺線管內(nèi)的磁場(chǎng)用磁場(chǎng)疊加原理作對(duì)稱性分析:可將長(zhǎng)直密繞載流螺線管看作由無(wú)窮多個(gè)共軸的載流圓環(huán)構(gòu)成，其周圍磁場(chǎng)是各匝圓電流所激發(fā)磁場(chǎng)的疊加結(jié)果。在長(zhǎng)直載流螺線管的中部任選一點(diǎn)P，在P點(diǎn)兩側(cè)對(duì)稱性地選擇兩匝圓電流，由圓電流的磁場(chǎng)分布可知，二者磁場(chǎng)疊加的結(jié)果，磁感強(qiáng)度B的方向與螺線管的軸線方向平行。由于長(zhǎng)直螺線管可以看成無(wú)限長(zhǎng)，因此在P點(diǎn)兩側(cè)可以找到無(wú)窮多匝對(duì)稱的圓電流，它們?cè)赑點(diǎn)的磁場(chǎng)迭加結(jié)果與上圖相似。由于P點(diǎn)是任選的，因此可以推知長(zhǎng)直載流螺線管內(nèi)各點(diǎn)磁場(chǎng)的方向均沿軸線方向。磁場(chǎng)分布如下圖所示。從上圖可以看出，在管內(nèi)的中央部分，磁場(chǎng)是均勻的，其方向與軸線平行，并可按右手螺旋法則判定其指向；而在管的中央部分外側(cè)，磁場(chǎng)很微弱，可忽略不計(jì)，即B=0.利用安培環(huán)路定理可以解得螺線管內(nèi)的磁感強(qiáng)度為具體解的過(guò)程根據(jù)長(zhǎng)直載流螺線管中段的磁場(chǎng)分布特征，可以選擇如下圖所示的矩形環(huán)路及繞行方向。則環(huán)路ab段的dl方向與磁場(chǎng)B的方向一致，即；環(huán)路bc段和da段的dl方向與磁場(chǎng)B的方向垂直，即B?d1=0；環(huán)路cd段上的。于是，沿此閉合路徑1，磁感強(qiáng)度B的環(huán)流為：因?yàn)閍b段的磁場(chǎng)是均勻的，可以從積分號(hào)中提出，則上式成為:設(shè)螺線管上每單位長(zhǎng)度有n匝線圈，通過(guò)每匝的電流是I，則閉合路徑所圍繞的總電流為nI，根據(jù)右手螺旋法則，其方向是正的。按安培環(huán)路定理，有：注意對(duì)于繞得不緊的載流螺線管，其磁場(chǎng)的分布就不是如此。對(duì)于繞得不緊的均勻載流螺線管，由下圖可以看到，在靠近導(dǎo)線處的磁場(chǎng)和一條長(zhǎng)直載流導(dǎo)線附近的磁場(chǎng)很相似，磁感線近似為圍繞導(dǎo)線的一些同心圓。管內(nèi)、外的磁場(chǎng)是不均勻的，僅在螺線管的軸線附近，磁感強(qiáng)度B的方向近乎與軸線平行。均勻密繞螺繞環(huán)的磁場(chǎng)對(duì)于如圖所示的均勻密繞螺繞環(huán)，由于整個(gè)電流的分布具有中心軸對(duì)稱性，因而磁場(chǎng)的分布也應(yīng)具有軸對(duì)稱性，因此，利用安培環(huán)路定理可以解得均勻密繞螺繞環(huán)內(nèi)部的磁場(chǎng)分布為具體解的過(guò)程將通有電流I的矩形螺繞環(huán)沿直徑切開(kāi)，其剖面圖如下所示。在環(huán)內(nèi)作一個(gè)半徑為r的環(huán)路，繞行方向如圖所示。環(huán)路上各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度大小相等，方向由右手螺旋法可知：與環(huán)路繞行方向一致。磁感強(qiáng)度B沿此環(huán)路的環(huán)流為環(huán)路內(nèi)包圍電流的代數(shù)和為。根據(jù)安培環(huán)路定理，有：對(duì)均勻密繞螺繞環(huán)，環(huán)上的線圈繞得很密，則磁場(chǎng)幾乎全部集中于管內(nèi)，在環(huán)的外部空間，磁感強(qiáng)度處處為零，即B=0。如果將長(zhǎng)直載流螺線管對(duì)接起來(lái)，就形成了圓形截面的均勻密繞細(xì)螺繞環(huán)，由安培環(huán)路定理同樣可以解得其內(nèi)部的磁場(chǎng)和長(zhǎng)直載流螺線管內(nèi)部的磁場(chǎng)相同，仍為。無(wú)限大均勻載流平面的磁場(chǎng)電流的分布具有無(wú)限大面對(duì)稱性的載流導(dǎo)體，包括無(wú)限大均勻載流平面和無(wú)限長(zhǎng)的大均勻載流平板。對(duì)無(wú)限大的載流平面產(chǎn)生的磁場(chǎng)，同樣可以進(jìn)行對(duì)稱性分析，如上右圖所示，可以將無(wú)限大載流平面的磁場(chǎng)看成是由無(wú)窮多個(gè)平行的長(zhǎng)直載流導(dǎo)線的磁場(chǎng)疊加而成。每一對(duì)對(duì)稱的直導(dǎo)線在P點(diǎn)的磁場(chǎng)疊加的結(jié)果是:垂直于磁場(chǎng)的分量都相互抵消，只剩下平行于磁場(chǎng)的分量，故載流平面產(chǎn)生的磁場(chǎng)，其方向與平面平行，與平面電流成右手螺旋方向。利用安培環(huán)路定理解得磁場(chǎng)的分布。如果無(wú)限大載流平面上的電流密度是j，那么它在周圍空間產(chǎn)生的磁場(chǎng)是一個(gè)均勻