李賢平《概率論基礎(chǔ)》第三版課后答案

#N兩邊同乘以2"并利用組合性質(zhì)變形得2-（人「-2-（人「-廠）—2nN-r丿令N-r=kf并注意到對(duì)應(yīng)［從0變到N,而k是從N變到0,即得耍證的等式(3)(3)N

z

N

z

r=0(N+k、2~k=2N./46、證：任何一個(gè)非1的白然數(shù)，皆可唯一地（不計(jì)次序時(shí)）分解為素?cái)?shù)的乘積，要證網(wǎng)數(shù)互素，只需驗(yàn)證這兩數(shù)沒(méi)有公共素因子就行了。為此，把素?cái)?shù)排列為p,<p2對(duì)任何（自然數(shù)）定義事件ANt=｛在1,2,…,W中獨(dú)立地取網(wǎng)整數(shù),g與〃不含公因子卩1，卩2,…，口｝。把所耍求的“事件”的概率定義為佟業(yè)PS2丿。為計(jì)算戶（&口），定義，叩。(1)叫…k=P｛H12…，N中獨(dú)立地取兩整數(shù)鄉(xiāng)〃，它們有公因子Pi「P"則由辜活容許的和的概率公式得1'，叩。(1))i-+工叫一…+(-1)'^12-,/=1l-i\2顯然有叫=因而(\112<叫因而(\112<叫n<(\1S…弘N)[p.-pj1—_也WYgPk…PhN（2）式左端的蘭I的來(lái)由是，N(2)(\211申…“(\211申…“N丿而和式中一共有C：項(xiàng)。由(1),(2)得I(1匸1i_》r+X—T-/?=1PiPiPj11/=1Pi2_P；…P：…P；N在（3）中令NTS得=n/=1=n/=1再令fTs,并利用黎曼函數(shù)§（2）=2（參看華羅庚著“數(shù)論導(dǎo)引”P236,225）得,TV欲求的概率為lini[limmvj]=fl[l-4b欽刀=4宀人％i=T{P；）兀47、解：假設(shè)產(chǎn)品合格率p>0.99,不妨設(shè)卩=0.99?，F(xiàn)從10000件中抽100件，可視為放回抽樣。而100件產(chǎn)品中次品件數(shù)服從二項(xiàng)分布，利用普阿松逼近定理得，次品件數(shù)不小于兩件的概率為p=\-（O.99）100-lOOxO.Olx0.99"e'1=0.2642此非小概率事件，所以不能據(jù)此斷定該車間謊報(bào)合格率。（注意，這并不代表可據(jù)此斷定,該年間沒(méi)有謊報(bào)合格率。）(3)(3)第三章隨機(jī)變量與分布函數(shù)1、解：令氛表在n次移動(dòng)中向右移動(dòng)的次數(shù)，則兌服從二項(xiàng)分布,p{^=k}=c\Pk（i-Py-\“0,1,以s“表時(shí)刻時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置，則S”=僉一S一氛)=-no僉的分布列為'012、???；7、(1-"C》(l-")門C"(l_”-2…p"丿S”的分布列為/-n一〃+2一〃+4…n、,(1一"c》（i-"）門C"(l_”-2…pI2、解：P｛＜=1｝=P｛失成｝+P｛成先｝=pq+qp,P｛^=2｝=P｛失失成｝+卩｛成成失｝=ppq+qqp=p'q+qF,…所以§的概率分布為pf-k｝=pkq+q~p.R=l,2,…。log-log-1)_1。3、解：(1)1=為/伙)=礦”，t?N1==c(eA-1),it=ikl4、證：f(x)>0,且Jf(x)dx_j^e~x^dx=je~^xdx=-e1?XX1?XX?XV、I2、丿j=p<_1v_10)<=>=①①(―2)=0.2857881"-XV、I2'丿5、解：(1)P(6vgv9)=”丄(6—10)v丄(g—10)<2(9—10)J.1-?,、1I2'，z2(2)P(7vgv12)=P#(7—10)<扣-10)<尹2-10)=P<-=P<-1-<丄(疔-10)<1U0(1)-0(-1-)=0.774538II22-…(3)(3)(1)Ty一JE?06.0H(T)e(I)疇，卜。sodsH(091s?19)109H友-fflSI9HHS-GI9l@sd.0H(09li)十令注?！竈丄09|勺寸9)|09

HH薩里履Ex-ffi?！?寸9:、s;?寸9V(@S?「；(09—_()十2令

MV3d斗H(09—XV(0913苦nsess。69.0"(s.oecrr6.o"(so6ew袖?69.0H02、(8E+寸e+L)Hrxv7￡rH宀Hvdd?E6.0H02、Q—02)=4h?02心+寸Z+8E+寸“a,9Z.6S090.0(2—2)+V(01—xv(01—2)+v(rV"vod(m)(3)(3)CMOCTV01^2^s+k)4H(h)4umHs^...□OTA二(V)H—2HS二H(X)工—sta§??。淪)4—(h)H丄(f)H—(h)hmVla—U)TNEW?SOO.OHWASIEd薩3.0"它<hlu一k/-ffi(e)hY:vx怒(e)。拿(Y)Hai(h)hm4￡?0aivxvi7v疔srH(K)HI(H)4二XAK?u)“肖/QCHDTMs「66.0H(9deE/66.0Uo9?\HbesE?IHA—D)「令(3)(3)00=V[r(/?+1)-F(a?)]=liinF(/7)=limF(m)。n->oc〃一>oc由單調(diào)性得limF(x)與limF(x)均存在且有窮，由05F(x)<1及上式得A—>-XXfgF(—co)=0,F(co)=1o9、證：P{x,<^<x2}=P{^<x2}-P{^<xj=P{<<x2}-(1-<x2})=P{g<X2}+P{g、"}—l'(I—0)+(1—a)_l=l_(a+0)????不等式成立。Qxe(—8,0］10、證法一：定義F{x)=\p^<^<x},xe(0,1］則F(兀)是§的分布函數(shù)。由題1,xe(1,s)設(shè)得,對(duì)任意2"［0,1］^P{G<^<x}=P{x<^<2x］,即有P{Q<^<2x}=2P{0<^<x}o由此得F(2x)=2F(x)。逐一類推可得，若nxe［0,1］,1X>77則F(^)=/?F(x),或者一F(x)=F(-)o從而對(duì)有理數(shù)一，若一x與兀都屬丁?［0J］,nnnn則有F佇％=-F(x)o再由F(Q的左連續(xù)性可得，對(duì)任意無(wú)理數(shù)a,若ax與兀都屈In丿n于［0,1］,則F(ax)=aF{x)。因?yàn)閰^(qū)間［0,1)與［0,1］的長(zhǎng)度相等，由題設(shè)得F(l)=P{0<4<1}=P{0<4<1}=1.由此及上段證明得，對(duì)任意兀丘［0,1］有F(x)=^F(l)=x,即F(Q為Qx<0F(x)=v兀,0<x<11,x>1???纟服從［0,1］上均勻分布。證法二：如同證法一中定義§的分布函數(shù)F(x),由F(x)單調(diào)知它對(duì)［0,1］上的L—測(cè)試兒乎處處可微。設(shè)x15x2e(0,l),當(dāng)%!+Axe[0,1](/=1,2)時(shí),由題設(shè)得F(兀1+Ax)一F(x1)=P{x{<^<Xj+Ax}=P{x2<x2+Ax}=F(x2+Ax}一F(x2)等式兩端都除以心，再令心TO可得，由F(xJ存在可推得Fin)也存在，而且F?2)=F(習(xí))。從而對(duì)任意Xe(0,1)有F3三c。當(dāng)兀巨［0,1］時(shí)顯然有F\x)=0。一點(diǎn)禹長(zhǎng)度為0,由題設(shè)得P{§=0}=P{g=l}=0。由上所述可知§是連續(xù)型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)是其密度函數(shù)，從而定出c=U至此得證§服從［0,1］均勻分布。11、證：⑴f11、證：⑴fa(x)=,exp\~(x-m)2(3)(3)AW=exp{0G)T(x)+D(b)+S(x)}這就證明了止態(tài)分布M(m這就證明了止態(tài)分布M(m0,a2)是單參數(shù)b(cr>0)的指數(shù)族。(3)(3)(3)(3)>779y~]吋2cr0-兀6fm(兀)=exp{2(w)r(x)+D(ni)+S⑴}若令吋2cr0-兀6fm(兀)=exp{2(w)r(x)+D(ni)+S⑴}所以正態(tài)分布N(fn,aQ~)是單參數(shù)加(-8<m<s)的指數(shù)族。/?(/:;2)=—e~A=exp伙In幾一幾一Ink!}。k\若令<2(2)=ln^,T(k)=k，D(A)=—A,S(燈=—Ink!,則p(k;1)=exp{Q(2)T伙)+D(2)+S(k)},所以p(k;心是單參數(shù)2(2>0)的指數(shù)族。(i/0,O<x<0關(guān)丁JO,。]上的均勻分布，其密技函數(shù)為九(x)={c門亠C幾(切是定義在-SVXVS的函數(shù)，由于它是X的分段表示的函數(shù)，所以無(wú)法寫成形式九⑴=exp{0(&)7XE+D(&)+S(x)}故九(兀)關(guān)丁?&不是一個(gè)單參數(shù)的指數(shù)9族。12、證：分別對(duì)固定的兀。和)'o有0,F(兀00,F(兀0』)='x>—兀0M_)'o由上式顯然可得F(x,y)對(duì)每個(gè)變?cè)墙?，左連續(xù)，而且滿足(2.6)及(2.7),即F(一叫y)=0,,F(x-oo)=0,F(+8,+qo)=1但有F(l,l)-F(l,0)-F(0,l)+F(0,0)=-1這說(shuō)明當(dāng)取a,=a2=0,b,=b2=1時(shí)(2.5)式不成立。所以F(兀,y)不是分布函數(shù)。13、證：必要性：

JJy)dxdy=J*JJy)dxdy=J*ke~t,irduadxdy耍積分收斂，必須a>0,(ac-b1)!a>0,由此得應(yīng)有處一戸>0以及c>0。利用Ce~l,Zdu=y[jr可得從而題中所列條件全部滿足。以上諸步可逆推，充分性顯然。14、解：設(shè)/(x,從而題中所列條件全部滿足。以上諸步可逆推，充分性顯然。14、解：設(shè)/(x,y)=f\(x)f2(y)+h{x,y)是密度函數(shù),則由f(x,y)>0得川>,刃、一久(兀)/2(刃。又(3)(3)所以應(yīng)有Jj/?(x,y)dxdy=0。反之，若/?(x,y)\-久(x)/2(刃，h(x,y)可積且jjh(x,y)dxdy=0,顯然有f(x,y)>0且Jj/(x,y)dxdy=1,即f(x,y)是密度函數(shù)。所以為使/(x,y)是密度函數(shù)，力(兀刃必須而且只需滿足力(兀,刃>~/iW/2(y)且jjh(x,y)dxdy=0。⑵P$v2,〃v1}=匸2e-lxdx\>'dy=(-嚴(yán)|:)(-八匕)=(1_「)(]_/)?！斓倪呺H分布，當(dāng)x<0時(shí)唐(x)=0,當(dāng)x>0時(shí)有f^x)=^2e-2xe-ydy=2e~2x,P{§+〃v2}=J：2e~2xdx^'e~ydy(2)(2)(3)(3)=2'(I-e-{2-x)dx^(2e~2x-2嚴(yán)-%(5)(6)利用=(1—f"4)+(2^^-2e-2)=l+e-4-2e'2=(l-<?-2)2.(5)(6)利用=(1—f"4)+(2^^-2e-2)=l+e-4-2e'2=(l-<?-2)2.當(dāng)x<0,y>0時(shí)f(x|y)=0；當(dāng)x>0,y>0時(shí)有仙滬4=至二=2宀f°(y)e-yP{7]v1}=J；dyJ；2e~(2x+y)dx=『e~ydy^2e^2x+y)dx=-e(2)的結(jié)果可得-y1016、解：作變換，令x-a=pcosO,y-b=psind,貝ij|J|=p橢圓區(qū)域?yàn)閧cos202rsillcosisin201加i嚇2?=227P「240cos&+池"62則。=2/5,且1=x2P{?〃)wD(2)}=2^cf1ct2V1-rd0peJoJo9s'占E2Sdd]O"2\7當(dāng)幾T8時(shí)，P{G〃)eZ]O"2\7當(dāng)幾T8時(shí)，P{G〃)eZ)S)}t1,由此得J：厶朋=竿嘗0Svl—r2證：設(shè)多項(xiàng)分布為嗆*,…疵十}=茶石耐訶,/?!(1)kj、0,6Pi=1。i=li=l利用(2)可以把(1)改寫成P{^1=他，…,§r-l-^r-1}=(3)(3)n\匕!…化」（〃一比n\匕!…化」（〃一比1沖…力x（l-p—…-仏嚴(yán)f由邊際分布的定義并把（3）代入得P{fl=P{fl=k也—2=^/-2}=XP觴二匕…疵_=(3)(3)(3)(3)人+…+心-㈢必-閆=吠…為x(…―…七2)!A人!…―2“—人一…一—2)!3=0dS—?―…——1)!八x(l-A——P一2PRT…j由二項(xiàng)式定理得/?!(4)P{gl=k\，…、gr_2=kr_2}=/?!(4)心…d-…七丿…旳心薩…一"嚴(yán)把（4）與（3）比較知，邊際分布仍服從多項(xiàng)分布。多次類推可得P{g=￡}=-p$（1-pji、11k^n-ky.[1從而知任意邊際分布均服從多項(xiàng)分布（包括二項(xiàng)分布）。18、解：（1）§的密度函數(shù)為，當(dāng)x<0時(shí)卩：（兀）=0；當(dāng)兀>0時(shí)，注意積分取勝有選取，得"Pg(x)=J：P(x,y)dy-j'匸伙)；幺)x(y—x)^_1a'ydy(令y-x=1)MgJ。八"=（2）〃的密度函數(shù)為，當(dāng)y<0時(shí)p“（刃=0；當(dāng)），>0時(shí)，P"（）'）=匸Pgy）dx-〔「&）；伙,）X（）'一x）lhdx令x=yt,當(dāng)x=0時(shí)f=0,當(dāng)兀=『時(shí)f=l,所以p(y)=y^~lyk-~lp(y)=y^~lyk-~lx"廠&)廠伙2)，?薩地T八.B（k/「）一嚴(yán)心『VW）廠仏）

廠伙jr伙2）112廠&）廠伙2）廠&+心）“Rl+h-ly-]“Rl+h-ly-r伙1+^2）

其中用到0-函數(shù)與r-函數(shù)的關(guān)系式。19、證：我們有0<^.(^.)<1,1<2/,.(x,.)-1<2-1=1,一1<[2片(xj-1][2F2(x2)-1][2F3(x3)-1]<1,代入尢(山，兀2，兀3)的表達(dá)式得/a(X15X2,X3)>0⑴又有[2片(兀)-1]力Mdxi=[2仟a)-lpf,a)=[用a)—耳(“)]]=()?-Jfffa(習(xí),x2,x3)dx{dx2dx3=匚人(xJd“匚f2(x2)dx2j^f3(x3)dx3=1(2)由(1),(2)知乙(為,兀2，?)是密度函數(shù)。用與上而類似的方法計(jì)算可得邊際密度函數(shù)為?-ffffa("，兀2，勺)化臨=/1U1)'川7a(",勺,勺皿止=厶(勺)\\\fa(“,兀2，心)如九=/2(%2)?20、解：(1)為求(?)的聯(lián)合概率分布，分別考慮下列三種情況：(i,k>1)其中利用到獨(dú)立性。j=\i=kj=\P{：=k,g=k}=P<U(§=k,q=j)>=*1?n2^k+j=2^k-11_q—2-1/1*、=Lpq=pq?—=pq(i—g)；TOC\o"1-5"\h\zU\_qi<kPK==i}=P{^=i^=k}=p2qM-2:i>ku冷*,P{^=k^=i}=o(2)因?yàn)?max?“),所以{^=k}=\J{^=i^=k}^\J{^=k^=j}f=lj=lk_\kk-1kPg=k}=XP{^=M7=燈+DE=k,TJ=j}=》/異嚴(yán)一$+滬嚴(yán)/=1>1r=l；=1=p2^-{咅+浮]=(2-嚴(yán)-心廣'伙=1,2,)1-q1-q(3)(3)(3)P{^=i\^=k}=(3)P{^=i\^=k}=P{—}i>k,(i,k>1)pqpqk)=i-/pqS-qkS2-c/k-I卩為心=pqii>k,(i,k>1)21、解：(1)邊際分布的密度函數(shù)為，當(dāng)xW[0.1]時(shí)心(兀)=0；當(dāng)0<兀51時(shí)，A⑴=匸f(兀訂;4兀曲=2x同理,當(dāng)ye[0.1]時(shí)九(y)=0；當(dāng)0<y<l^ff/(y)=2yof(x,y)=f^x)ff/(y),所以§與〃獨(dú)立。(2)邊際密度函數(shù)為，當(dāng)Afe[0.1]時(shí)去(x)=0；當(dāng)0<兀<1時(shí)A⑴=匚f^y)dy=匸8麗)匸4x(1-x2)當(dāng)y-e[0.1]時(shí)九(刃=0；當(dāng)OWyVl時(shí)人(刃==J人(刃==J在區(qū)域Ovyvl中均有f^x)fr}(y),所以纟與〃不獨(dú)立。2l丄0計(jì)’2l丄0計(jì)’z——--sinxsinyz——--sinxsiny(-cosz)8-TfE)=JoMF—-—-―:—b」°8龍(1一sinxsinysmz)dz其余p句(x,y)=o。當(dāng)0<兀<2龍時(shí)，P切⑴二fd)［占(1—Sinxsinysinz)dz=￡其余^W=0o由丁三者在密度函數(shù)的表達(dá)式中所處地位相同，故得當(dāng)0<x<2ti.0<z<2^時(shí)，p,:(x,z)=l/4/r2；當(dāng)0<yW2龍，0<z<27r時(shí),"加(”Z)=l/4兀彳；當(dāng)°<y<2/r時(shí)，ptf(z)=1/2^；當(dāng)°<z<2^時(shí)，Pj(z)=l/2/r；在其余區(qū)域內(nèi)，諸邊際密度函數(shù)均取0值。由于p/x,刃=他⑴卩八刃，p%(x,z)=他⑴儀⑵，p%(y,z)=D(y)/v(z),故兩兩獨(dú)立；但當(dāng)0vxv2;r,0<y<2tt,0<Z<2tt時(shí)有P("Z)H々(x)p“(刃々⑵，故仙g不相互獨(dú)立。23、證：當(dāng)|x|<1時(shí)，他⑴二匚卩(兀，『)心=匸￥心=|,⑵⑵P{^=k\^+^2=n}=(3)(3)其余Pf(x)=o。同理當(dāng)Iy|v1時(shí)，P“(y)=1/2其余p“(x)=0當(dāng)0<|x|<1,Ovyvl時(shí)有p(x,y)p^(x)pf/(y),所以§與〃不獨(dú)立?，F(xiàn)試能動(dòng)分布函數(shù)來(lái)證嚴(yán)與〃2獨(dú)立。嚴(yán)的分布函數(shù)記為Fj(x),則當(dāng)o1時(shí),

F1(X)=P{<^2<X}=P{~4x<^<yfx}=^dx=y/x；[o,y<0尸2(刃={"，0<y<lx<0[o,y<0尸2(刃={"，0<y<lx<00<x<lX>1,1,y>1,(嚴(yán),〃2)聯(lián)合分布函數(shù)記為F3(x,y),則當(dāng)0<x<l,y>l時(shí)Fg)=P{<2<X,〃2<y}=P{^<X}=^同理得當(dāng)OWyWlan1時(shí)F3(x,y)=77；當(dāng)OWxVl,0<y<1時(shí)F^x,y)=P{^2v兀,〃2<y}=P{~4x<^<y[x,-^[y<7]<y[y}0,合起來(lái)寫得F2(x,0,合起來(lái)寫得F2(x,y)=<",歷,1,x<o或)yo0<x<1,y>10<y<l,x>l0<x<1,0<y<1x>1,y>1⑵⑵P{^=k\^+^2=n}=(3)(3)不難驗(yàn)證F3(x,y)=F{(x)F2(y)對(duì)所有x,y都成立，所以嚴(yán)與〃？獨(dú)立。24、證：(1)由褶積公式及獨(dú)立性得PG+勺二燈二士P&十2十i}=tP{^=i}P{Jk—i}/=0/=01(A+^2)Ac1(A+^2)Ac-^+22)k\kl⑵⑵P{^=k\^+^2=n}=(3)(3)這就證明了芻+為具有普阿松分布，且參數(shù)為人+人(3)(3)Pg=幅2“一燈二Pg=燈P?=7

/%+為=〃}"PE+鄉(xiāng)"}益嚴(yán)歹嚴(yán)亠（人+幾2）“一（石+心）I?（^1）!匸$1豊八中丿a2$1豊八中丿a2、”_k證畢。(3)(3)*>yj=J*>yj=J：p(x)dx+J：p(x)dx；25、證：由題設(shè)得P^=i}=P^=^=i}^^=-^=-i})=LL+Ll=LfP{"_1}=P({g=1,〃一1}U(―M=1})=*?*+歸斗p{§=1,<=1}=p(檢=on[{4=1,”=1}u@—1,”=—1}])二P忙=1,；7=1}=P忙=1}P{〃=1}=^=P{^=1}P{：=1},4P{^=!,<=-!}=P(忙=l}n[g=1,77=-1}U(4=-1,7=1}])=P{§=^j=-l}=P{§=1}P{〃=i}=￡=P運(yùn)=1}P&=-1}，4同理可證P{§=-1《=1}+P{4=-1}PK=1}，P{§=-=-1}+P{§=-1}P{：=-1}.所以§與：相互獨(dú)立。用同樣的方法可片〃與：也相互獨(dú)立。但p&=1,〃=i,^=i}=卩(苗=1,〃=1}n[広=i,〃=1}u乞=—i,〃=-i}]),p帖=1}旳=1}叱=1}=?所以§,〃，：只兩兩獨(dú)立而不相互獨(dú)立。26、解：P{^=k}=—e~\=0,1,2,k\由此得(1)P{?]=ak+b}=—e^,R=0丄2…，k\（2）P{?]=k2}=—eA‘k=0丄2…。k\W=p\^<y\=p\丄<gvo‘/?0=j^p(x)dxiy27、解：（1）由P{4=0}=0知，〃以概率1取有限值。當(dāng)y>0時(shí),

爲(wèi)（刃=出v』=p{?vo}+p

ro

坊(y)=LP(W=p\^<y\=p\丄<gvo‘/?0=j^p(x)dxiy‘0?、⑵F“()')=P{fg§vy}=PU伙龍一弓<M+〃cfg)，})00呂fkx+wcfgy00=〉/Ikn-xp^x^dxk=Y2(3)當(dāng)y<0時(shí)，F(xiàn)/;(y)=O；當(dāng)y>0時(shí)，F(xiàn)n(刃=刊切vy}=沖一yv§vy}=匸/⑴必。28、解：設(shè)肖?徑為隨機(jī)變量d,貝ua<x<b1a<x<b其它Pld<dx:Pd(x)=\(b-ay其它Pld<dx:圓面積5=—7td~o當(dāng)一tut<y<丄於2時(shí)，TOC\o"1-5"\h\z444F“(y)=P{S<y}+P百加2<y}=當(dāng)丄加2時(shí)Fa(y)=0；當(dāng)y>-7ib2時(shí)巴(刃=1。由此對(duì)Fa(y)求導(dǎo)(利用對(duì)參441919數(shù)積分求導(dǎo)法則)得圓面積的分布密度為，當(dāng))，<—加$或y>—加$時(shí)億丄刃=0；當(dāng)44如2加2時(shí)幾()，)=Fd()，)=茫。44(b-a)7iy29、解：《與〃的密度函數(shù)為P^X)=PrSX)=P^X)=PrSX)=(1)Bc由卷積公式及獨(dú)立性得：=g+〃的分布密度函數(shù)為P：(y)=匸Pg(y-x)dx(2)c把(2)與(1)比較知，在(2)中應(yīng)有05x51,OWy—xWl,滿足此不等式組的解(x,y)構(gòu)成圖中平面區(qū)域平形四邊形ABCD,當(dāng)OWyVl時(shí)0<x<y，當(dāng)15y<2時(shí)y—lWxVl。所以當(dāng)0<y<1時(shí)(2)中積分為(3)(3)々（y）=J；lxldx=y當(dāng)l<y<2時(shí)，（2）中積分為々（『）=J：」xldx=2—y;對(duì)其余的y有p』（y）=O。1-1（A1-1（A：+V2）陽(yáng)a刃=書(shū)幺230、解：p^x）=prf（x）=-j=e2由求商的密度函數(shù)的公式得々()')=EJ引pg")dx=匸|x|——e2々()')=EJ引pg")dx=匸|x|——e2龍--(.rv2+.v:)2r21r-oc-_f(l+y?)xe2dx2龍J°11711+y2-lx2(l+y2)e-001o~兀(1+)/)'-oo<y<+s(3)(3)(3)(3)1-lx21-lx21-Av2兀心）卞八菩e21-扣?。﹊i-|（4T所以U,V網(wǎng)隨機(jī)變量也相互獨(dú)立，且均服從N（0,2）。32、解：當(dāng)y>0時(shí)由獨(dú)立性得1一爲(wèi)（刃=卩{"、刃=卩{￡廠<2…6R}=IIP忙1ny}=11（1-化（刃）=□（宀）=exp（-）￡A）/=1/=1/=1/=11/31、解：作變換，令5=x+y,t=x-y,得x=y（5+t）,y=-（5-r）,|J|=-o由g與〃獨(dú)立知，它們的聯(lián)合密度應(yīng)是它們單個(gè)密度的乘積，由此得U,V的聯(lián)合密度函數(shù)為I-（mxd——eL17t???F〃(y)=l-exp-)乞&當(dāng)時(shí)。求導(dǎo)得的密度函數(shù)為，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)33.M：設(shè)（0衛(wèi)）在內(nèi)任意投兩點(diǎn)勺疋2,其坐標(biāo)分別為兀y,則勺疋2的聯(lián)合分布密度為

J0,(兀刃巨(O,d)x(O,d)

"(I))—]厶(兀刃w(O,a)x(O,a)°設(shè)7?=|空一冬J0,(兀刃巨(O,d)x(O,d)

"(I))—]厶(兀刃w(O,a)x(O,a)°設(shè)7?=|空一冬|，則〃的分布函數(shù)為，當(dāng)ZWO時(shí)F7(z)=O；當(dāng)z>a時(shí)打(z)=l；當(dāng)0<Z<a時(shí)，%⑵=P{\^-^2|<z}=jjp(x,y)dxdy-Z<x-y<z0<x,y<a其值為g\\dxdy=^S,積分s為平面區(qū)域ABCDEF的面積，cr—(ci—z)~—2ciz,—z~所以F“⑵=(2az-z2)/a2.34、證：由獨(dú)立性得，V=(x,y,z)的概率密度為1一一(A：+y=+z:)S=yjx2+y2+z2的分布函數(shù)為，當(dāng)s>0時(shí)，F(xiàn)(S)=p{yP+y2+z2<s]=-Z<x-y<zu0<x,y<ai.-L(f+L)..,xdxdydz作球面坐標(biāo)變換，x=Qcos0sin?y=sin3sin(p,z=pcoscp,貝ij|J|=p1sin^?,

弘)=fd0j；sin閔必曲右亍門八"*p"dP=2^-2|—e2'P~dpJ。(松)&由此式對(duì)S求導(dǎo)可得，當(dāng)s>0時(shí)，S的密度函數(shù)為35、證：(3.14)式為p(x)=—35、證：(3.14)式為p(x)=—x2e2—nF\s)=f(s)=x>0o22T-n(2)令尸儈則",心,由p(y)*[廠(y)]|曠S|得,度函數(shù)為，當(dāng)y>0時(shí)二希?寧+匸列：（二希?寧+匸列：（1+「）*尸心2(3)(3)1H-1Sy2）丁丿1—n22r⑴a1—/!V2?1—H22§與仍獨(dú)立。記T=，則由商的密度函數(shù)公式得T的密度函數(shù)為[1rr「8roo]—；v"Pt（0=J」）g（必顧（y）dy=Joy'~^e2x.丄用“Tp2?7^Tdy22r-nU丿i—/i2/?2y

1—1—nn200°厲2打12r（1—nV2令w-y2（/?+r2）,則dy2=—,得'S+廠）—n[2丿PT（f）=1石2寧Tr?i（n+i）=lxj。"1e2durir—（n+i）12'__扣T+l）丿⑺+心如）—00<f<00當(dāng)/W0時(shí)F（r）=0；當(dāng)/>0時(shí)有—i-y6fr〃z°（1+x+y）36、解：U的分布函數(shù)為，F(xiàn)⑴=J""（兀”^dxdydz=J：dxj；'dyjA+y+2＜；22(3)(3)-r2-2.+fdx[dx=10.(1+03(1+0JoJo(l+X)2f+1(l+f)2(1+于3八對(duì)F(f)求導(dǎo)可得u的密度函數(shù)為，當(dāng)時(shí)p(t)=0:當(dāng)f>0時(shí)卩(/)=喬亍37.證：（U,V）聯(lián)合分布函數(shù)為Fg)=Jj'jdxdyx2+v2<m±<p當(dāng)s>0時(shí)作變換，5=x2+y2,t=-f反函數(shù)有網(wǎng)支入=F(l+f2)x=-t(l+Q：=譏1+心2x2y12x2y=—s(1+f2)/一2=-2(『2+1),考慮到反函數(shù)有兩支，分別利用兩組JI7.L+y.v+y"<w—<v,v>0—<v,v>0y'y]—-(.V+v")r"r“1——5|—e2dxdv=2[f—e2——^dt2龍"JoJ-x2^2(1+廣)對(duì)F（w,v）求導(dǎo)，得（U,V）的聯(lián)合密度為（其余為0）1丄（1=—e25u>0,0<v<<x）2龍（1+廠）1丄（1若令Pu（U）=^e2（”>°），Pv（V）=—：~~-（-00<V<00）,2龍（1+芮）則U服從指數(shù)分布，V服從柯西分布,且p（u,v）=Pu（u）xpv（y）f所以U,V兩隨機(jī)變量獨(dú)立。38、證：當(dāng)x>o時(shí)，g與〃的密度函數(shù)分別為用嚴(yán)吩）=而疔X(3)(3)當(dāng)x<0時(shí)，化(x)=p〃(兀)=0。設(shè)t/=g+〃，V=^-o當(dāng)5<0或f<0時(shí)，(U,V)ct聯(lián)合密度為p(5,r)=0:當(dāng)s>0,t>0時(shí)，作變換s=x+y,t=—,得兀=,(1+0y=而|丿|=,所以(1+0(1+02Xr(rjr(rXr(rjr(r2)?A-l嚴(yán)加+耳roioj加+耳roiojr(^)r(r2)(1+/嚴(yán)由此知U服從分布服從分布，且U與V相互獨(dú)立。39、解：令"=§+〃，V=—,當(dāng)5<0或f€(0,1)時(shí)，U,V聯(lián)合密度p(s,/)=0；U+7)則x=st,y=s-st,|J|=5,當(dāng)$〉0且fw(0,1)時(shí)作變換s則x=st,y=s-st,|J|=5,(x+y)p(sj)=e^xe^yIJ\=血w=sQ-1=pv(s)pv(r)由此得u服從r-分布G(l,2),V服從(0,1)分布，且U與V相互獨(dú)立。40、解:(2.22)式為pgy)=]exf1pgy)=]exf12叼6Jl-廣2[2(1-r2)(X—町2(7022心-a)(y-b)|(3)(3)(3)(3)設(shè)匕=§+〃,匕=§—〃；U=U、—a—SV=Vl-a+b.作變換s=x+y—d—b,t=x-y-a+b則x-a=—(s+f),t=x-y-a+b則x-a=—(s+f),的聯(lián)合密度函(3)(3)1expv_1expv_111(+r)22r(5+f)(5-r)|(5-r)2T!CAU22兀0\6小-『〔2(1")_4b：4b]64cr;」jf(s,t)=p(x,y)\J?—__J..(b；+bj一2b0J+12(<rf+b；+2b0J+2s/(b；一b：)]>8(1-廠)bg設(shè)U,V的邊際分布密度函數(shù)分別為九(s),九⑴，欲U與V獨(dú)立，必須且只需

/GJ）=九（$）?/“），由/GJ）的表達(dá)式可知，這當(dāng)且僅當(dāng)-=0時(shí)成立。u,V相互獨(dú)立與匕相互獨(dú)立顯然是等價(jià)的，所以Uj=g+qM=g_H相互獨(dú)立的充要條件是6=0*2。當(dāng)aL=a2=o-時(shí)，得1[5211f52九（滬吋罰叫一時(shí)討’九⑴=藥亍^卩（一無(wú)帀討U?N（0,2（l+r）（y~）,V?（0,2（1-r）cr2）。41、解：（1）因?yàn)橹笖?shù)中二次項(xiàng)/,）宀卩的系數(shù)分別為-1-1,所以與（2.22）式（見(jiàn)上題解答）比較知，可設(shè)其配方后的形式為-i(x+5)2(y+02一i(x+s)(y+/)。-is-t=n比較系數(shù)得-s-t=7-s2--t2-st=32-22此方程組有唯一解s=-4』=-3,由此得"(兀刃=命exp{—[兀—4)2+*(y—3尸+(x-4)(y-3)12(1冷)1（2）與（2.22）式比較得,(3)p1(x)=(4)（12(1冷)1（2）與（2.22）式比較得,(3)p1(x)=(4)（“+呼+2吉吩滬a=4〉b=3,<7]=1,(72=2,r=p2(y)=x-f-iy+5nl2-2丿1TF21.11)一一y+3—I2“22)42、解:IB'1|=27?\B\=^-=^.

廠網(wǎng)|—扣一哪七―d)，TOC\o"1-5"\h\z"（忑廠網(wǎng)|—扣一哪七―d)，—nS）2\B=rFexp卜;》r.k（坷一山）（“?—ak）—”—（2龍）2|B|2_1_3^exp|-—(7x2^exp|-—(7x2+4y2+2z2+6xy+4xz+2yz)f.27(勺＜2)的邊際密度函數(shù)為(積分時(shí)在指數(shù)中對(duì)Z配方)『oo1一丄(5.芒+3丄聲+4.“)卩(忑y)=J卩(忑y,z)dz=——3-i=e22"3需令z+x+—y=t,利用匚Q廠力=石得亠…、3拆4兀OO-（＜+A+-V）"€2乂—00y)=器exp{—*(5x2+4?+3*y2)卜43、證：以f記§的密度函數(shù)，則(§,〃)的聯(lián)合密度為7(^0f(y)O作變換，令$=x+y,t=X-y得/=丄(5+Z),y=—(s-t),|J|=丄。若改記s為x,t為y,則由此可得(§+〃<—〃)的聯(lián)合密度為另一方面，由卷積公式得丄12丿I丄丿§+〃和§一1］的密度分別為—oog(x)=匸fa-s)f^s)ds'h(y)=匸f(y+.—oo故由§+〃與〃獨(dú)立得訓(xùn)扣+刃)，(扣-刃卜g⑴加刃。令m(x)=logf(x)(此處用Tf(x)>0),則有1)(1叫尹+刃+叫2(x_刃=log能)+108"(刃°]Vl'兀+y、/\]Vl'兀+y、/\x+y+mX/、r-y/、x—y；2）〔2丿＜2）12丿=（logg⑴）;(3)(3)再對(duì)y求一次導(dǎo)數(shù)得(3)(3)扣(*(X+y)卜扣扣_y)卜0.對(duì)任意u,V,選擇X,y使u=—(x+y),v=—(x-y)則由上式得mN(u)-加"(*)=0.由u,v的任意性得mn=常數(shù)，因而/n(x)=a+bx+cx2,即有/(x)=exp(d+bx+ex).所以〃，從而§+〃，§-〃均勻止態(tài)分布。C向弧長(zhǎng)，則芻在(0,2龍)上服從均勻分布,P{弦長(zhǎng)>C向弧長(zhǎng)，則芻在(0,2龍)上服從均勻分布,P{弦長(zhǎng)>館}=P仃/31-1——ax=—32兀匕4龍一<^1<——3513(2)假定弦垂宜于某直徑，取該直徑為x軸，圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，記為表示弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，則參在[-1，1〕上服從均勻分布，P{眩長(zhǎng)〉+(3)以圓心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系XOY,記弦中點(diǎn)的坐標(biāo)為〃=(〃“〃2)，則〃在圓內(nèi){(x,y):x2+y2<1}2服從均勻分布,記D={(x,y):x2+y2<-},MP{弦長(zhǎng)〉^3}=P{i}eD}=ff丄dxdy=1上M4三種解法的隨機(jī)變量雖都服從均勻分布，但由丁?隨機(jī)變量不同，所以就得出了不同的結(jié)論。45、證：(1)若coef~[[JBa,則必存在某個(gè)入wA使f(a))e,IAeA丿A€A亦有必廣1?0),從而AeA(1)U廠?)(1)/?eA\^eA反乙若必存在某個(gè)/iowA使coef-\BAQ)亦有f{co)e,即(、f(co)e\jBA,從而coef'[\JBa‘2eA\xe*\丿/=1/=1(3)(3)?-廠'AeA由(1),(2)式即得(和集的逆像等丁?每個(gè)集逆像的和)/\r1=U廣9)。\/?€A\(2)f-[p|B2,則/(^)eQB2,即/(0)屬于每個(gè)B/AeA),得\AeA/久已\coef~\BA)(對(duì)任一2丘八)，從而coeP|/~1(S2)?花A.\AeANeA??-n廠仇)二廠敢ozeA\X6j\/反之，若廠則血屈于每個(gè)/^(^JeUeA),亦有屈于每個(gè)AeAxeAA),即f(^)eQBA，從而血丘廣】，AeA(4)由(3),(4)式即得(交集的逆像等丁?每個(gè)集逆像的交)/\r1=nri(BA)o\/?€A(3)^coef~\B),則f(co)eB,亦有co^f~\B),從而coef'\B),所以廣(B)二廣⑻。反之，若co^f~\B),貝\\co~^f-\B),亦有f^co)-eB,即從而所以f-l(B)^f~\B)o由以上證明可得廣⑻=f"(B),即互為對(duì)立事件的逆像也是互為對(duì)立的事件。46、證：必要性。設(shè)§是隨機(jī)變量，則對(duì)CeB有{e:§(q)eC}eF，又(-co,x)eB{,

二{co:§(血)vx}={e:e(-co,x)eF.充分性。記M={4:wF},現(xiàn)證M是H中b-域。{co:^{(o)eZ?1}=QeF,故R1eMo若CeM，由上題/-1(C)=/-1(C)得(co:g(0)wC)=G-(q:eC}eF，故CeM對(duì)余集運(yùn)算封閉。設(shè)Ci，…,由上題(1)中結(jié)論得Q|Cf.eM,M關(guān)于可列并集運(yùn)算封閉。(3)(3)由(1)一(3)知，M是o-域的集類。由條件知，Mo{(-oo,x):xe7?1},/.Mo5{(-co,x):xeR[}=B15其中S{A}表示由集類A產(chǎn)生的b-域。由此得證§是一隨機(jī)變量。(3)(3)第四章數(shù)字特征與特征函數(shù)(3)(3)(3)(3)*aK1I、解：E"第而產(chǎn)=后

，令一-—=p，貝'J0<p<1,(1+a)(3)(3)(3)(3)且》0=p工pkk=l\k=l=P(3)(3)(3)(3)采用同樣的方法并利用E^=a得00D00D2k=\右?guī)?+M(3)(3)(3)(3)=亠￡如+亠伙1+a&=11+ag=iH1+a|_(1_p)Dg=E§2_1+a|_(1_p)Dg=E§2_(E§)2=@+2a2)_Q2=a(i+a)。1+a。&込"H-.HA若第i次試驗(yàn)4出現(xiàn)nIII2、解：設(shè)…+兒，其中若第欣試驗(yàn)礎(chǔ)現(xiàn)，則E“=±E/=±Pi,由試驗(yàn)獨(dú)立得諸從相互獨(dú)立，由此得/=1/=1Dp=2LDp.Pi(1~Pi)°i=li=l3、解：〃服從兩占分布，由第二章第29題得，P｛〃=1｝=P｛事件A出現(xiàn)奇數(shù)次｝=|-|(1-2^)\P｛7]=0｝=P｛事件A出現(xiàn)偶數(shù)次｝=*+*(1_2p)n,所以E〃=”(l-2",Dr,二|-|(l-2/7rJi+|(l-2Pr=1-1(1-2/7)2\4、解：設(shè)g表取一球的號(hào)碼數(shù)。袋中球的總數(shù)為1+2+…+n=丄”5+1),所以

TOC\o"1-5"\h\zkIkP{^=k}=-}二一，R=1,2,,…”卯S+1)切+1)Eg=Y2k?k=—-——?+1)(加+1)=1(2/?+1)./?(/!+1)??(/?+1)635、解：由丁?“是分布，所以應(yīng)有^P{/.i=n}=^A~=lf即AeB=l,A=e'son=Q/i=0〃！00AB00ABn又由已知=工戸?n=Q比-A又由已知=工戸?n=Q比-A=e~B=e~ao6、解：“表示摸出c個(gè)球中白球個(gè)數(shù)，摸c個(gè)球可視為不放回地摸c次。記fl,第i次摸到白球0,第欣摸到黑球’則由第二章第7題得P{”}=的-1)!—，i=1,2,…,c。所以E&=-一——,(a+b)(a+b)幺fa+ba+b7、解：設(shè)“表示抽出k張卡片的號(hào)碼和，勺表示第1次抽到卡片的號(hào)碼，則“=芻+%+???+§,因?yàn)槭欠呕爻槿?所以諸勺獨(dú)立。由此得,對(duì)i=1,2,…,R°?總.11總?1n(〃+l)n+1TOC\o"1-5"\h\z硝=??—=—?==一；=1nnj=[n2Ep=+E§2+…+E§=+1)；Eg：=XJ2--=丄?"("+羅+1)=l(n+1)?”+1),j=inn66D&=Eg；-(碼尸=如i)(2”+1)_扣+l)2=±(n2-l),641219Dp=D僉+曲+…+D氛=—k(n--l)-8、解：設(shè)“為所得k張卡片上號(hào)碼之和。對(duì)1＜人＜???＜〃＜n有P{“#+2；+?”}=￡由定義得(*)1C*Tn

=Z(L+‘2+…+L)TF=供￡m

l<q<-<r4<nm=l(*)每次抽卡片k張稱為一組，對(duì)于每個(gè)固定的卡片m,在卡片m所在的組中，其余R-1張

卡片可以從剩下〃-1張卡片中任意抽取，所以m總共被抽到的次數(shù)(或所在的組數(shù))為C：；,轉(zhuǎn)換成對(duì)m求和就得到上式。由此得kn{n+1)k(n+1)Ep=———n2kn{n+1