等腰三角形的性質(zhì)資料

第一章

三角形的證明1.1等腰三角形第1課時(shí)

等腰三角形的性質(zhì)1知識(shí)點(diǎn)全等三角形的性質(zhì)和判定問

題全等三角形的定義是什么？知1－導(dǎo)1.全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等.2.全等三角形的判定方法（1）三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或

“SSS”）.（2）兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“角

邊角”或“ASA”）.（3）兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形

全等（簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）.（4）兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“邊

角邊”或“SAS”）知1－講知1－講利用全等三角形的判定方法，當(dāng)∠D＝∠B時(shí)，兩個(gè)三角形符合“邊角邊”，△ADF≌△CBE．導(dǎo)引：B例1（2015?貴州省貴陽(yáng)）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，還需要添加的一個(gè)條件是（）A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B

C．AD∥BC D．DF∥BE知1－練1(2016?金華)如圖，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列條件還不能判定△ABC≌△BAD的是(

)A．AC＝BD

B．∠CAB＝∠DBAC．∠C＝∠D

D．BC＝AD知1－練2(2016?南京)如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，△ABO≌△ADO.下列結(jié)論：①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．2知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的邊、角性質(zhì)知2－導(dǎo)1．等腰三角形的相關(guān)概念回顧：知2－導(dǎo)2．議一議(1)還記得我們探索過的等腰三角形的性質(zhì)嗎？(2)請(qǐng)你選擇等腰三角形的一條性質(zhì)進(jìn)行證明，并與

同伴交流.歸納知2－導(dǎo)定理等腰三角形的兩底角相等.這一定理可以簡(jiǎn)述為：等邊對(duì)等角.知2－講例2已知：如圖1-1，在△ABC中，AB＝AC.求證：∠B＝∠C.分析：我們?cè)?jīng)利用折疊的方法說(shuō)明了這兩個(gè)底角相等(如圖1-2).實(shí)際

上，折痕將等腰三角形分成了兩

個(gè)全等三角形.這啟發(fā)我們，可以

作一條輔助線，把原三角形分成

兩個(gè)全等的三角形，從而證明這

兩個(gè)底角相等.圖1-2知2－講證明：如圖1-3,取BC的中點(diǎn)D，連接

AD.∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠B＝∠C(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.知2－講1．性質(zhì)：等腰三角形的兩底角相等(簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等

角”)．要點(diǎn)精析：(1)適用條件：必須在同一個(gè)三角形中．(2)應(yīng)用格式：在△ABC中，因?yàn)锳B＝AC，所以∠B＝

∠C.(3)作用：它是證明角相等常用的方法，它的應(yīng)用可省

去三角形全等的證明，因而更簡(jiǎn)便．知2－講例3

(1)在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，求∠B；(2)若等腰三角形的一個(gè)角為70°，求頂角的度數(shù)；(3)若等腰三角形的一個(gè)角為90°，求頂角的度數(shù)．導(dǎo)引：給出的條件中，若底角、頂角已確定，可直接運(yùn)用三

角形的內(nèi)角和定理與等腰三角形的兩底角相等的性質(zhì)

求解；若給出的條件中底角、頂角不確定，則要分兩

種情況求解．解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.知2－講(2)由題意可知，70°的角可以為頂角或底角，當(dāng)?shù)捉?/p>

為70°時(shí)，頂角為180°－70°×2＝40°.因此頂角

為40°或70°.(3)若頂角為90°，底角為

若底角為90°，則三個(gè)內(nèi)角的和大于180°，不符合三角形

內(nèi)角和定理．因此頂角為90°.總

結(jié)知2－講1．在等腰三角形中求角時(shí)，要看給出的角是否確定為頂角或底角．若已確定，則直接利用三角形的內(nèi)角和定理求解；若沒有指出所給的角是頂角還是底角，要分兩種情況討論，并看是否符合三角形內(nèi)角和定理．2．若等腰三角形中給出的一內(nèi)角是直角或鈍角，則此角必為頂角．知2－講例4如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一點(diǎn)，E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD＝CE，DE交BC于點(diǎn)F.求證：DF＝EF.導(dǎo)引：要證DF＝EF，可轉(zhuǎn)化為證它們所在的三角形全等，而根據(jù)現(xiàn)有條件易知DF，EF所在的三角形不全等，因此可以考慮作輔助線，進(jìn)行圖形之間的轉(zhuǎn)換，使條件集中．知2－講證明：如圖，過點(diǎn)E作EM∥AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，

則∠M＝∠B.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.又∵∠ACB＝∠ECM，∴∠B＝∠ECM.∴∠ECM＝∠M.∴CE＝ME.又∵BD＝CE，∴ME＝BD.又∵∠BFD＝∠MFE，∴△BDF≌△MEF(AAS)．∴DF＝EF.(2016?濱州)如圖，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，則∠CDE的度數(shù)為(

)A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°知2－練知2－練(2016?棗莊)如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E為BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠ABC與∠ACE的平分線交于點(diǎn)D，則∠D的度數(shù)為(

)A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°知3－導(dǎo)3知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的“三線合一”想一想在圖1-3中，線段AD還具有怎樣的性質(zhì)？為什么？由此你能得到什么結(jié)論?1．推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底

邊上的高線互相重合(簡(jiǎn)寫成“三線合一”)．要點(diǎn)精析：(1)含義：這是等腰三角形所特有的性質(zhì)，它實(shí)際是一組

定理，應(yīng)用過程中，在三角形是等腰三角形前提下，

“頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線”只

要知道其中“一線”，就可以說(shuō)明是其他“兩線”．(2)作用：是證明線段相等、角相等、垂直等關(guān)系的重要

方法，應(yīng)用廣泛．知3－講(3)對(duì)稱性：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角平分線(或

底邊上的高線、底邊上的中線)所在的直線是它的對(duì)

稱軸．(4)應(yīng)用格式：如圖，在△ABC中，①∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC(或BD＝CD)；②∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；③∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝DC(或AD⊥BC)．知3－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）知3－講如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∠ABC的平分線BG交AC于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)E，EF⊥AB，垂足為F.(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度數(shù)；(2)求證：EF＝ED.∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∴∠BAD＝∠CAD.∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC

＝(180°－∠BAC)

＝(180°－50°)＝65°.例5(1)解：知3－講(2)求證：EF＝ED.證明：∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∴ED⊥BC.又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF＝ED.總

結(jié)知3－講(1)利用等腰三角形的“三線合一”證明角相等、線段相等和垂直關(guān)系是一種既重要又簡(jiǎn)便的方法；因?yàn)轭}目的證明或計(jì)算所求結(jié)果大多都是單一的，所以“三線合一”的應(yīng)用也是單一的，一般得出一個(gè)結(jié)論，因此應(yīng)用要靈活．(2)在等腰三角形中，作“三線”中“一線”，利用“三線合一”是等腰三角形中常用的方法．知3－講如圖，已知AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，AM⊥CD，垂足為M.求證：CM＝MD.如圖，連接AC，AD.在△ABC和△AED中，

∴△ABC≌△AED(SAS)．∴AC＝AD.又∵AM⊥CD，∴CM＝MD.

導(dǎo)引：證明：例6由已知AM⊥CD和結(jié)論CM＝MD，聯(lián)想到等腰三角形的“三線合一”，由此連接AC，AD構(gòu)造等腰三角形．總

結(jié)知3－講對(duì)于單一等腰三角形作“三線合一”的基本圖形，作底邊上的高、中線