利用導(dǎo)數(shù)證明不等式方法總結(jié)及典型例題

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題一4大解題技巧趣題引入已知函數(shù)g(x)=xlnx,設(shè)(〃+〃、證明：0<g(a)+g(Z?)-2 <(Z?-(2)ln2I2J分析：主要考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的能力。(〃+九、證明:g'(x)=InX+1,SF(x)=g(a)+g(x)-2g I2JH5二gW-2g g⑺Y=乙 乙 乙 J當(dāng)0<x<a時(shí)/(x)<0,當(dāng)x〉a時(shí)「(x)〉0,即方(%)在X￡(0,〃)上為減函數(shù)，在X￡(Q,+oo)上為增函數(shù)???尸(x) =尸(。)=0,又b>amin???F(b)>F(a)=O,即式口)+久/一2 >0—L彳設(shè)GV)=g(a)+g(x)-2g(^—-)-2：.H(琦=Lnx-hi-In2=lnx-ln(3+x)當(dāng)月>0時(shí)，C?1(jt)<0,因此G(為在區(qū)間(Q+oo)上為減函數(shù)；因?yàn)樽?口)=。，又b>0cG(a)=0,-■-7+K即gg)+g(R-2g(k)一(工一季)瓜2《0故式厘)+gO)-2g(匕產(chǎn))工0-?出2八、——、「一一一， (a+b\綜上可知，當(dāng)0<a<b時(shí)，0<g(a)+g(b)-2——<(b—a)ln212)本題在設(shè)輔助函數(shù)時(shí)，考慮到不等式涉及的變量是區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)，因此，設(shè)輔助函數(shù)時(shí)就把其中一個(gè)端點(diǎn)設(shè)為自變量，范例中選用右端點(diǎn)，讀者不妨設(shè)為左端點(diǎn)試一試，就能體會(huì)到其中的奧妙了。技巧精髓一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)。二、解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。1、利用題目所給函數(shù)證明【例1】已知函數(shù)」⑴=也(工+D—K，求證：當(dāng)忑二-1時(shí)，恒有1-分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構(gòu)造函數(shù)式於時(shí)+1)+占j從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明。【綠色通道】尸⑺=???當(dāng)—Imec。時(shí)，尸(0：0,即/⑺在:^(―L0)上為增函數(shù)當(dāng)兀:。時(shí)，尸⑺<0,即/⑺在上為減函數(shù)故函數(shù)」㈤的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間色的)于是函數(shù)了⑵在(T”)上的最大值為八打皿二/⑼二0,因此，當(dāng)c-1時(shí)，」（力《丁（5二口，即匣x+D—???貝元+1）Ex（右面得證），現(xiàn)證左面，令當(dāng)xw(-1Q時(shí),g((x)cO-^xe(Q+o澗；H⑴>0，即g⑴在工七LL0）上為減函數(shù)，在大匕（0，-K0）上為增函數(shù)，故函數(shù)目⑴在L1”）上的最小值為現(xiàn)幻曲二自⑼二0,...當(dāng)x>-l時(shí)，虱x）2gQ）=0,即lnO+l）++-lN0...ln（x+l）Nl--!-,綜上可知，當(dāng)芯>-1時(shí)，有二--1<1h（i+1）<;y工+1 a+1【警示啟迪】如果/㈤是函數(shù)/⑶在區(qū)間上的最大（小）值，則有（（或了之/9））,那么要證不等式，只要求函數(shù)的最大值不超過U就可得證.2、直接作差構(gòu)造函數(shù)證明【例2】已知函數(shù)/W=1?+lnx.求證：在區(qū)間（L+刈上，函數(shù)了（克）的圖象在函數(shù)^-1式/=孑的圖象的下方；分析：函數(shù)了（戈）的圖象在函數(shù)打燈的圖象的下方O不等式*力<g（x）問題，1P 1 ?即三產(chǎn)+3n工廠只需證明在區(qū)間（L+刈上，恒有工/十比兀亡六:？成立，設(shè)2 3 2 3F⑶=宮㈤-y⑶，k考（L+w），考慮到F⑴=g>0要證不等式轉(zhuǎn)化變?yōu)椋寒?dāng)兀:1時(shí)，成力二尸（D，這只要證明：或切在區(qū)間（VK◎是增函數(shù)即可。【綠色通道】設(shè)F0）=冢對(duì)一/⑶，即尸⑶=|J-；/—Inx,貝U可⑺=21二任二"空±三±2當(dāng)；Y〉］時(shí)，目瓊二〔工―1乂2/十工十”從克 工 X而尸（期在a+網(wǎng)上為增函數(shù)，，手（力o，當(dāng)cl時(shí)g⑸-穴0I口，即八工”且⑴，故在區(qū)間a+刈上，函數(shù)八工）的圖象一、23在函數(shù)式不二M的圖象的下方?！揪締⒌稀勘绢}首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)（可以移項(xiàng)，使右邊為零，將移項(xiàng)后的左式設(shè)為函數(shù)），并利用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要證的不等式。讀者也可以設(shè)巴璜二人力一式力做一做，深刻體會(huì)其中的思想方法。3、換元后作差構(gòu)造函數(shù)證明【例3】證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式+ 』都成立.甩 ?n分析：本題是山東卷的第（II）問，從所證結(jié)構(gòu)出發(fā)，只需令1二盯則問題轉(zhuǎn)化為：題當(dāng)先:。時(shí)，恒有InO+D、”-工*成立，現(xiàn)構(gòu)造函數(shù)/工fl），求導(dǎo)即可達(dá)到證明?！揪G色通道】4^（x）=?-?+h（x+l），貝U 3尸一2元十一^二交上上丫在x十1 x十1王匚通包）上恒正，所以函數(shù)出⑺在（QM）上單調(diào)遞增，???工匚（。,”）時(shí)，恒有以元）〉雙0）=0,即1—尸+的0+1）>0,???lnO+D、/—F對(duì)任意正整數(shù)n,取三=工￡（。,母），則有Int匚+D與n 盟 盟岸【警示啟迪】我們知道，當(dāng)尸（刈在［應(yīng)句上單調(diào)遞增，則尤〉厘時(shí)，有"璜口尸0）.如果/⑷=飄口），要證明當(dāng)X>厘時(shí)，了0）>>0）,那么，只要令尸（X）=了⑶一加工），就可以利用雙幻的單調(diào)增性來推導(dǎo).也就是說，在成璜可導(dǎo)的前提下，只要證明＞0即可.4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明【例4】若函數(shù)y二7（外在R上可導(dǎo)且滿足不等式xfa）＞—/（月恒成立，且常數(shù)a,b滿足a＞b,求證:.a"）＞b"）【綠色通道】由已知xf（XW（Xb0.?.構(gòu)造函數(shù)百⑸二工八琦,則x/rW+/W＞0,從而因⑸在R上為增函數(shù)。"a＞b 儂）即ayg）＞b/@）【警示啟迪】由條件移項(xiàng)后以'（璜+」（幻，容易想到是一個(gè)積的導(dǎo)數(shù)，從而可以構(gòu)造函數(shù)=不％對(duì)，求導(dǎo)即可完成證明。若題目中的條件改為4r（打,則移項(xiàng)后不以R-以幻，要想到是一個(gè)商的導(dǎo)數(shù)的分子，平時(shí)解題多注意總結(jié)。【思維挑戰(zhàn)】1、設(shè)金之K—1—ln口元+2厘Inx求證：當(dāng)冗＞1時(shí)，恒有五：瓦窯走一2c?ln王十1,2、已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)汽。二;/+2依/（工）二及’由工+加其中。＞0,且上二：1-3/出口，求證：/⑴之且⑴3、已知函數(shù)/（騎=也（1+工）-7^，求證：對(duì)任意的正數(shù)修、占，1十五恒有]na-]nb＞a4、」（工）是定義在（0,+s）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足幫飛。一』（工）戌，對(duì)任意正數(shù)a、b,若a<b，則必有(A)af(b)<bf(a) (B)bf(a)<af(b)（C）af（a）9（b） （D）bf（b）g（a）【答案】小、-2kL工2q … 21n匯t1、提示：了⑴=1- 十——，當(dāng)羌＞1,0之。時(shí)，不難證明 clXX X??.」工?:口，即」（制在（Q卡間內(nèi)單調(diào)遞增，故當(dāng)兀時(shí)，了（療＞產(chǎn)⑴=口，.?.當(dāng)時(shí)，恒有無(wú)羌一加In元十12、提示：設(shè)尸（玻二爪幻一^（不二;f+2口五一如"lnx-&則抨，（幻=兌+加一至一二壇二迎2土邊（x＞0）:以二0,???當(dāng)匯=厘時(shí)，F(xiàn)rO）=0,故尸（力在（”口）上為減函數(shù)，在（⑥加）上為增函數(shù)，于是函數(shù)產(chǎn)（力在?市期上的最小值是5⑷二?、楱D烈行=口，故當(dāng)忑 時(shí)，有了⑴—g⑶之口，即了⑶之目⑶[ ] X3、提示：函數(shù)的定義域?yàn)椋ㄒ?一8）,尸⑴=工一門，L「一中1+K（1+X）Q+X）.,.當(dāng)—1c兀c。時(shí)，尸（幻匕口，即」（幻在xw「L。）上為減函數(shù)當(dāng)月＞0時(shí)，了'（幻'口，即了（工）在xE（Q+oa）上