中考數(shù)學復習講義一元二次方程及應用

中考數(shù)學復習講義一元二次方程及應用第一部分：知識點精準記憶1.一元二次方程的定義只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式為(a≠0)．2.一元二次方程的解法（1）直接開平方法：把方程變成的形式，當m＞0時，方程的解為；當m＝0時，方程的解；當m＜0時，方程沒有實數(shù)解．（2）配方法：通過配方把一元二次方程變形為的形式，再利用直接開平方法求得方程的解．（3）公式法：對于一元二次方程，當時，它的解為．（4）因式分解法：把方程變形為一邊是零，而另一邊是兩個一次因式積的形式，使每一個因式等于零，就得到兩個一元一次方程，分別解這兩個方程，就得到原方程的解．3．一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式為．△>0方程有兩個不相等的實數(shù)根；△＝0方程有兩個相等的實數(shù)根；△<0方程沒有實數(shù)根．(1)上述由左邊可推出右邊，反過來也可由右邊推出左邊．(2)△≥0方程有實數(shù)根.4．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程(a≠0)的兩個根是，那么5.一元二次方程的應用解應用題的步驟(1)分析題意，找到題中未知數(shù)和題給條件的相等關(guān)系；(2)設未知數(shù)，并用所設的未知數(shù)的代數(shù)式表示其余的未知數(shù)；(3)找出相等關(guān)系，并用它列出方程；(4)解方程求出題中未知數(shù)的值；(5)檢驗所求的答數(shù)是否符合題意，并做答．方程的思想，轉(zhuǎn)化(化歸)思想，整體代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，數(shù)形結(jié)合的思想用數(shù)學表達式表示與數(shù)量有關(guān)的語句的數(shù)學思想．注意：①設列必須統(tǒng)一，即設的未知量要與方程中出現(xiàn)的未知量相同；②未知數(shù)設出后不要漏棹單位；③列方程時，兩邊單位要統(tǒng)一；④求出解后要雙檢，既檢驗是否適合方程，還要檢驗是否符合題意．第二部分：考點舉例考點一:一元二次方程的根【例1-1】（2022?東坡區(qū)）已知m是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一個根，則代數(shù)式2m2﹣4m+2017的值為（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【例1-2】(2020?棗莊)已知關(guān)于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1＝0有一個根為x＝0,則a＝.考點二:一元二次方程的解法【例2-1】（2022?興寧區(qū)）解方程：x2﹣4x+2＝0．【例2-2】（2022?安徽三模）解方程：x2﹣8x+7＝0【例2-3】(2021·海南)用配方法解方程x2－6x＋5＝0,配方后所得的方程是()(x＋3)2＝－4 B.(x－3)2＝－4C.(x＋3)2＝4 D.(x－3)2＝4考點三:根的判別式【例3-1】(2020貴州黔西南)已知關(guān)于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有實數(shù)根,則m的取值范圍是()A.m＜2B.m≤2C.m＜2且m≠1 D.m≤2且m≠1【例3-2】(2021·泰安中考)已知關(guān)于x的一元二次方程kx2－(2k－1)x＋k－2＝0有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍是()A.k＞－eq\f(1,4) B.k＜eq\f(1,4)C.k＞－eq\f(1,4)且k≠0 D.k＜eq\f(1,4)且k≠0【例3-3】(2020?北京)已知關(guān)于x的方程x2+2x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根,則k的值是.【例3-4】(2020秋?舞鋼市期末)已知關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2+2mx+m-3＝0,求:當方程有兩個不相等的實數(shù)根時m的取值范圍.考點四:根與系數(shù)的關(guān)系【例4-1】(2021·南充)已知方程x2－2021x＋1＝0的兩根分別為x1,x2,則x12－eq\f(2021,x2)的值為()A.1 B.－1 C.2021 D.－2021【例4-2】(2020?銅仁市)已知m、n、4分別是等腰三角形(非等邊三角形)三邊的長,且m、n是關(guān)于x的一元二次方程x2-6x+k+2＝0的兩個根,則k的值等于()A.7 B.7或6 C.6或-7 D.6【例4-3】(2021·成都中考)若m,n是一元二次方程x2＋2x－1＝0的兩個實數(shù)根,則m2＋4m＋2n的值是____.【例4-4】(2021·鄂州)已知實數(shù)a,b滿足eq\r(a－2)＋|b＋3|＝0,若關(guān)于x的一元二次方程x2－ax＋b＝0的兩個實數(shù)根分別為x1,x2,則eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝.【例4-5】(2020秋?白銀期末)已知關(guān)于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)＝m2(1)求證:對于任意實數(shù)m,方程總有兩個不相等的實數(shù)根;(2)若方程的一個根是1,求m的值及方程的另一個根.【例4-6】關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根.(1)求k的取值范圍.(2)是否存在實數(shù)k，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，說明理由考點五:由實際問題抽象出一元二次方程【例5-1】（2022?廣西模擬）我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．水深、葭長各幾何？”其大意是：如圖，有一個水池，水面是一個邊長為10尺（丈、尺是長度單位，1丈＝10尺）的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面．水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？若設這根蘆葦?shù)拈L度為x尺，根據(jù)題意，所列方程正確的是（）A．102+（x﹣1）2＝x2 B．102+（x﹣1）2＝（x+1）2 C．52+（x﹣1）2＝x2 D．52+（x﹣1）2＝（x+1）2考點六:一元二次方程的應用【例6-1】（2022?觀山湖區(qū)模擬）有一人患了新型冠狀病毒肺炎，經(jīng)過兩輪傳染后共有100人患了新型冠狀病毒肺炎，那么每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)為（）A．8人 B．9人 C．10人 D．11人【例6-2】(2020秋?建華區(qū))如圖,長方形綠地長32m、寬20m,要在這塊綠地上修建寬度相同且與長方形各邊垂直的三條道路,使六塊綠地面積共570m2,問道路寬應為多少？【例6-3】(2021·菏澤)列方程(組)解應用題.端午節(jié)期間,某水果超市調(diào)查某種水果的銷售情況,下面是調(diào)查員的對話:小王:該水果的進價是每千克22元;小李:當銷售價為每千克38元時,每天可售出160千克;若每千克降低3元,每天的銷售量將增加120千克.根據(jù)他們的對話,解決下面所給問題:超市每天要獲得銷售利潤3640元,又要盡可能讓顧客得到實惠,求這種水果的銷售價為每千克多少元.【例6-4】(2021·太原模擬)2020年,受新冠肺炎疫情影響.口罩緊缺,某網(wǎng)店以每袋8元(一袋十個)的成本價購進了一批口罩,二月份以一袋14元的價格銷售了256袋,三、四月該口罩十分暢銷,銷售量持續(xù)走高,在售價不變的基礎上,四月份的銷售量達到400袋.(1)求三、四這兩個月銷售量的月平均增長率.(2)為回饋客戶.該網(wǎng)店決定五月降價促銷.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn).在四月份銷量的基礎上,該口罩每袋降價1元,銷售量就增加40袋,當口罩每袋降價多少元時,五月份可獲利1920元？第三部分：中考真題選擇題1.(2020?黑龍江)已知2+是關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+m＝0的一個實數(shù)根,則實數(shù)m的值是()A.0 B.1 C.-3 D.-12.(2020貴州黔西南)已知關(guān)于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有實數(shù)根,則m的取值范圍是()A.m＜2 B.m≤2 C.m＜2且m≠1 D.m≤2且m≠13.(2021·重慶模擬)若方程(m－1)xm2＋1－(m＋1)x－2＝0是一元二次方程,則m的值為()A.0B.±1C.1D.－14.(2020?濱州)對于任意實數(shù)k,關(guān)于x的方程x2-(k+5)x+k2+2k+25＝0的根的情況為()A.有兩個相等的實數(shù)根B.沒有實數(shù)根C.有兩個不相等的實數(shù)根D.無法判定5.(2020?黔東南州)若菱形ABCD的一條對角線長為8,邊CD的長是方程x2-10x+24＝0的一個根,則該菱形ABCD的周長為()A.16 B.24 C.16或24 D.486.(2020?銅仁市)已知m、n、4分別是等腰三角形(非等邊三角形)三邊的長,且m、n是關(guān)于x的一元二次方程x2-6x+k+2＝0的兩個根,則k的值等于()A.7 B.7或6 C.6或-7 D.67.(2021·張家界)對于實數(shù)a,b定義運算“☆”如下:a☆b＝ab2－ab,例如3☆2＝3×22－3×2＝6,則方程1☆x＝2的根的情況為()A.沒有實數(shù)根B.只有一個實數(shù)根C.有兩個相等的實數(shù)根D.有兩個不相等的實數(shù)根8.(2020?鄂州)目前以5G等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展.某市2019年底有5G用戶2萬戶,計劃到2021年底全市5G用戶數(shù)累計達到8.72萬戶.設全市5G用戶數(shù)年平均增長率為x,則x值為()A.20% B.30% C.40% D.50%9.(2021·襄陽)隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步,某制藥廠生產(chǎn)成本逐年下降.兩年前生產(chǎn)一噸藥的成本是5000元,現(xiàn)在生產(chǎn)一噸藥的成本是4050元.設生產(chǎn)成本的年平均下降率為x,下面所列方程正確的是()A.5000(1＋x)2＝4050B.4050(1＋x)2＝5000C.5000(1－x)2＝4050D.4050(1－x)2＝500010.（2020?上海）用換元法解方程+＝2時，若設＝y(tǒng)，則原方程可化為關(guān)于y的方程是（）A．y2﹣2y+1＝0 B．y2+2y+1＝0 C．y2+y+2＝0 D．y2+y﹣2＝0二．填空題1.（2022?沈陽）某公司設計了一款工藝品，每件的成本是40元，為了合理定價，投放市場進行試銷：據(jù)市場調(diào)查，銷售單價是50元時，每天的銷售量是100件，而銷售單價每提高1元，每天就少售出2件．但要求銷售單價不得超過65元．要使每天銷售這種工藝品盈利1350元，那么每件工藝品售價應為元．2.(2020?咸寧)若關(guān)于x的一元二次方程(x+2)2＝n有實數(shù)根,則n的取值范圍是.3.(2020?衡水)已知-1是方程x2+ax-b=0的一個根,則a2-b2+2b的值為__________.4.(2021·資陽)已知關(guān)于x的一元二次方程:x2－2x－a＝0,有下列結(jié)論:①當a＞－1時,方程有兩個不相等的實根;②當a＞0時,方程不可能有兩個異號的實根;③當a＞－1時,方程的兩個實根不可能都小于1;④當a＞3時,方程的兩個實根一個大于3,另一個小于3.以上4個結(jié)論中,正確的個數(shù)為____.（2022?上海）解方程組：的結(jié)果為．6.(2021·棗莊)若等腰三角形的一邊長是4,另兩邊的長是關(guān)于x的方程x2－6x＋n＝0的兩個根,則n的值為.解答題1.(2021·菏澤)列方程(組)解應用題.端午節(jié)期間,某水果超市調(diào)查某種水果的銷售情況,下面是調(diào)查員的對話:小王:該水果的進價是每千克22元;小李:當銷售價為每千克38元時,每天可售出160千克;若每千克降低3元,每天的銷售量將增加120千克.根據(jù)他們的對話,解決下面所給問題:超市每天要獲得銷售利潤3640元,又要盡可能讓顧客得到實惠,求這種水果的銷售價為每千克多少元.2.(2020?上海）去年某商店“十一黃金周”進行促銷活動期間，前六天的總營業(yè)額為450萬元，第七天的營業(yè)額是前六天總營業(yè)額的12%．（1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額；（2）去年，該商店7月份的營業(yè)額為350萬元，8、9月份營業(yè)額的月增長率相同，“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額與9月份的營業(yè)額相等．求該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率．3.(2022?涼山州)解方程：x2－2x－3＝0.4.(2022?十堰)已知關(guān)于x的一元二次方程x2－2x－3m2＝0.(1)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程的兩個實數(shù)根分別為α，β，且α＋2β＝5，求m的值5.(2020大東區(qū))新華商場銷售某種商品,每件進貨價為40元,市場調(diào)研表明:當銷售價為80元時,平均每天能售出20件;在每件盈利不少于25元的前提下,經(jīng)過一段時間銷售,當銷售價每降低1元時,平均每天就能多售出2件.(1)若降價2元,則平均每天銷售數(shù)量為24件;(2)當每件商品定價多少元時,該商場平均每天銷售某種商品利潤達到1200元?6.(2020?湘西州)某口罩生產(chǎn)廠生產(chǎn)的口罩1月份平均日產(chǎn)量為20000個,1月底因突然爆發(fā)新冠肺炎疫情,市場對口罩需求量大增,為滿足市場需求.工廠決定從2月份起擴大產(chǎn)能,3月份平均日產(chǎn)量達到24200個.(1)求口罩日產(chǎn)量的月平均增長率;(2)按照這個增長率,預計4月份平均日產(chǎn)量為多少？7.(2021·呼和浩特)“通過等價變換,化陌生為熟悉,化未知為已知”是數(shù)學學習中解決