小學生數(shù)學學習的思維結構的解析

小學生數(shù)學學習的思維結構的解析第一頁，共三十九頁，2022年，8月28日一、緣起學生數(shù)學學習中思維的自然結構可以理解為：學生為完成某學習任務，通過感知以及固有的知識和經驗獲得了完成這一任務所需的信息，并根據(jù)自己的經驗空間將這些信息聯(lián)系起來所自然形成的一種思維結構。學生數(shù)學學習中思維的加工結構可以理解為：完成這一任務的應然結構，即期望學生所形成的思維結構。

第二頁，共三十九頁，2022年，8月28日在教學中，低年級小學生利用思維的自然結構確定的算法卻遭到了教師的否定，往往被認為是錯誤的。事實上，學生的這種自然結構從構成要素來看，它與教師期望的加工結構(標準算法)沒有什么不同，只是先后順序不同罷了。第三頁，共三十九頁，2022年，8月28日案例1：?37個第四頁，共三十九頁，2022年，8月28日本題的用意是：已知總量為7,其中一個部分量為3，求另一個部分量是多少。教師期望學生用減法計算，列式為:7-3=4而學生往往列出的算式為:4+3=7學生把減法算式卻寫成了加法算式。第五頁，共三十九頁，2022年，8月28日案例2：

樹上有一些鳥，飛走了6只，還剩9只，樹上原來有多少只天鳥?本題的意思是知道了“飛走”和“還?！边@兩個部分量，求總量是多少。教師期望學生用加法“6+9=15”計算，可許多學生又偏偏列出減法算式“15-6=9”

第六頁，共三十九頁，2022年，8月28日我們發(fā)現(xiàn)：當問及學生答案時，學生往往能夠說出題目的正確答案。通過這兩則案例的回顧，可見低齡兒童在數(shù)學學習中思維所容易形成的自然結構，往往與教師期望的加工結構不同。第七頁，共三十九頁，2022年，8月28日

二、問題的提出1.導致這種現(xiàn)象發(fā)生的原因是什么呢？2.這個現(xiàn)象的背后是否隱藏著兒童的某種認知規(guī)律？3.當學生這樣列式計算時，教師到底應當判錯還是判對呢？

第八頁，共三十九頁，2022年，8月28日三、小學生思維的結構解析我們可以認為：小學生的認知過程分為三個階段：第一是感知；第二是加工；第三是輸出。輸出受到感知和加工的影響，那么其中問題一定與感知和加工這兩個階段有關。

第九頁，共三十九頁，2022年，8月28日以上兩則案例的共同特點是：學生寫出來的算式中數(shù)的順序與題目中閱讀到信息的順序是一致的。在第一個問題中，學生感知到的信息首先是“空籃子”，第二是“3個”，第三是“7”個，它們的關系應該是前二者的和等于第三者。即通過感知，學生在頭腦中形成的思維結構是：

“口+3=7”由于數(shù)字相對簡單，學生可以輕易算出“口”中是“4個”，因此頭腦中就不再進行其他加工活動了，按照這個順序直接就寫出算式：“4+3=7”

第十頁，共三十九頁，2022年，8月28日第二個問題也類似，學生按照閱讀順序感知到信息的順序是“原有—飛走—還?！?，它們之間的關系是第一個減去第二個等于第三個，相應的思維結構應是：“口－6=9”

按照這種順序直接列出算式就是：“15－6=9”第十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日

我們知道：人的閱讀順序通常是“從左向右，從上向下”。因此，輸入到頭腦中的信息也是有順序的。這些信息和相應的順序就在頭腦中形成了一個自然的思維結構。其實，頭腦對信息的加工是一個復雜的過程，其中一個重要內容就是根據(jù)需要對這樣的結構進行調整。對于低齡兒童來說，頭腦加工能力相對較弱，因此感知到的這種自然的思維結構就會對輸出產生更大的影響。根據(jù)這樣的分析，兩則案例中學生所列算式也就不足為奇了。第十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日如果我們把學生感知到的：“口+3=7”和“口－6=9”稱為思維的“自然結構”，那么，教師所期望的“7－3=口”和“6+9=口”就叫做思維的“加工結構”。正是這兩種結構中順序的不一致才導致了產生這一“錯誤”的主要原因。第十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日

小學低齡兒童認知過程中思維的自然結構形成的主要因素受到兒童當時固有的知識和經驗空間的影響。兒童思維的自然結構往往與期望的加工結構是不同的，辨別其是否正確的主要依據(jù)應該是是否違背數(shù)學中的客觀規(guī)律。第十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日例如，對于“115X31”這樣的兩位數(shù)乘法。算法有：（教師）豎式標準算法（其依據(jù)的是乘法的意義或乘法對加法的分配律，即把“31個115相加”變?yōu)椤?個115和30個115相加”，先算出“1個115”的結果，再算出“30個115”相加的結果，最后將兩個結果相加。）第十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日（學生的）算法:（與教師的算法不同，由于學生已經熟悉了乘法的意義：相同加數(shù)的和以及一個因數(shù)是整十數(shù)的乘法豎式，自然而然地在頭腦中形成了一個自然結構，即先算出“30個115”，相加的結果，然后與“1個115”，相加

）（注意！在課堂上，這種算法遭到了教師的否定，被認為是錯誤的。

）第十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日（學生的）高位算法。學生利用自然結構所做出的結果往往會遭到教師的否定，被判定為“錯誤”。這樣不僅會打擊學生學習的積極性和主動性，還可能會制約學生的思維發(fā)展。因此，需要進一步討論這種自然結構正誤的辨別標準的問題（以及鋪地錦）第十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日四、“錯誤”的合理性分析

這兩種結構之間的差異往往就是學生學習過程中的難點。前面案例中反映出這兩種結構在“信息”內容方面其實基本上是一致的，只是在構成方式或者排列順序上不一致。因此在教學中應當把重點放在自然結構與加工結構之間的對比和轉換方面，而能夠做到這一點的前提是教師不僅要了解思維的加工結構，更應當了解學生可能形成的自然結構。第十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日小學生數(shù)學學習中的“欲減卻加，欲加又減”的現(xiàn)象，教師關于“對”與“錯”一直也存在爭議。認為“對”的主要理由是“這樣列式的學生通常都能說出問題的正確答案，說明學生是明白這道題的數(shù)量關系，并且能夠正確計算的”。認為“錯”的主要理由是“學生沒有分清題目中的已知和未知，應當把已知數(shù)寫在等號左側，把計算結果寫在等號右側”。第十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日

事實上，一個問題中的“已知數(shù)”和“未知數(shù)”雖然是不同的，但在思考的過程中往往需要把二者統(tǒng)一起來。比如在學習“方程”的時候，就是用字母代替未知數(shù)，把它看成和已知數(shù)同樣的數(shù)參與到運算之中。

第二十頁，共三十九頁，2022年，8月28日如果利用方程的知識解決以上的兩個問題，就是用字母X表示未知數(shù)，根據(jù)題目敘述的自然順序列出方程:“X+3=7”和““X－6=9”這實際上與前面案例中學生所列算式的順序是一樣的，就是說方程通常是按照思維的自然結構的順序列出的。

第二十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日另外，這種已知與未知的統(tǒng)一關系還經常體現(xiàn)于數(shù)學結論的推廣方面。比如用任何具體的已知數(shù)都無法表示一般意義的長方形面積公式，一旦將具體的已知數(shù)用“未知”的字母來代替，更具普遍性的長方形面積公式“S=ab”就出現(xiàn)了。

第二十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日

從更普遍的意義上說，研究一個問題的著力點應當放在數(shù)量關系方面，這樣的數(shù)量關系可以有不同的表達方式，無論什么樣的表達方式，“已知”和“未知”往往處于同等地位，放在什么位置上并不是最重要的事情。前面案例中學生利用思維的自然結構列出的算式實際上已經表達出了問題的數(shù)量關系，所以應當認為是正確的。第二十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日至于“已知數(shù)應當寫在等號左側，計算結果應當寫在等號右側”，實際上是對等號的一種誤解。為了說明這一點，我們先來介紹數(shù)學中的“等價關系”。用符號可以表示成下面三個條件：1.自身性，即：A=A；2.交換性，即：如果A=B，那么一定有B=A；3.傳遞性，即：如果A=B,B=C，那么，一定有A=C。第二十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日“相等關系”自然也是一種等價關系。其中的交換性表明等號兩側是可以互換位置的，因此,所謂的“已知數(shù)應當寫在等號左側，計算結果應當寫在等號右側”的說法是不成立的，至多可以認為是人們約定俗成的一種習慣。從這個意義上說，應當承認前面案例中學生利用思維的自然結構的做法是正確的。第二十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日五、小學生思維的自然結構的辨析

當遇到兒童的自然結構與期望的加工結構不一致的時候，一個重要問題就是如何從更廣泛的意義上辨別兒童思維中自然結構的正誤。這個問題直接關系到對數(shù)學知識的本體性理解?；诖俗鳛楸鎰e錯誤的標準，就需要進一步理解數(shù)學中“客觀實際”的含義。小學生學習的數(shù)學內容依據(jù)其客觀性和主觀性可以分為三類。

第二十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日第一類是：按照數(shù)學自身發(fā)展規(guī)律自然生成的內容。比如加法交換律a=b、b=a,它反映的是兩種“加”的過程間的內在聯(lián)系，是加法運算的自然規(guī)律。只要有加法的存在，這種規(guī)律就隨之存在，不依人的意志為轉移。再如，“平面上三角形三個內角和等于180度”，反映的是平面上三角形三個內角之間的內在聯(lián)系，是平面上三角形的自然屬性，只要是平面上的三角形都具有這種屬性。

第二十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日第二類是：依據(jù)數(shù)學自身發(fā)展的需要人為規(guī)定的內容。比如在有余數(shù)除法中規(guī)定“余數(shù)要比除數(shù)小”，這一規(guī)定并不是除法運算自然擁有的規(guī)律，而是為了保證運算結果的確定性所做出的規(guī)定。除法作為乘法的逆運算，“a÷b=qr”,正確與否，應當由a=b×q+r是否成立來判斷。對于“7÷2”，在整數(shù)范圍內可以有幾種不同形式的結果，依據(jù)對應的乘法算式檢驗都是正確的，見下表：第二十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日除法乘法7÷2=0……77=2×0+77÷2=1……57=2×1+57÷2=2……37=2×2+37÷2=3……17=2×3+1第二十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日被除數(shù)和除數(shù)分別相等的除法運算，卻得到不同的運算結果，像這種運算結果不確定的情況將會給以此為基礎的數(shù)學推理帶來麻煩。數(shù)學中經常需要下面形式的推理:

第三十頁，共三十九頁，2022年，8月28日

如果沒有“余數(shù)要比除數(shù)小”的規(guī)定，這種推理就無法進行了。因此，為了保證運算結的確定性，不得已做出“余數(shù)要比除數(shù)小”的規(guī)定。這種規(guī)定性的內容是人為的，是為了數(shù)學自身邏輯發(fā)展的需要。第三十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日第三類是：依據(jù)人的某種需要或者習慣人為規(guī)定、約定俗成的內容。比如計算方法中的豎式，在沒有電子計算機(器)的時代，為了減輕計算的思維負擔，需要借助紙筆作為計算的工具。在此基礎上，人們發(fā)明了多種多樣的計算方法，經過長時間的使用與對比，把為多數(shù)人所接受的算法傳承下來，作為后人學習的標準算法。雖然這些標準算法是依據(jù)數(shù)學中的規(guī)律形成的，但其更主要的特征是人為規(guī)定，目的在于方便。比如除法豎式起初就不是在的樣子，而是把商寫在被除數(shù)的右側。

第三十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日

再如概念的命名，把具有相同屬性的一類對象冠以名稱，這種名稱也是人為規(guī)定的內容，命名的依據(jù)是使得詞義盡可能反映概念的內涵和外延。對于“質數(shù)”這一概念，起初的命名叫做“數(shù)根”，后來演變?yōu)橘|數(shù)或者素數(shù)。前面所說的“已知數(shù)應當寫在等號左側，計算結果應當寫在等號右側”，僅僅是一種符合人們習慣的說法而已，不能夠作為辨別正誤的標準。第三十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日

如果把第一類叫做“規(guī)律性知識”，第二類和第三類叫做“規(guī)則性知識”，可以概括其特征分別為，規(guī)律性知識具有較強的客觀性，而規(guī)則性知識具有明顯的主觀特征。將辨別正誤的標準局限于人的主觀方面，顯然是不恰當?shù)?。應當把這個標準定位于數(shù)學中的“客觀實際”，也就是前面所說的“規(guī)律性內容”。第三十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日

前面案例中學生思維的自然結構應當說沒有違背任何數(shù)學中的規(guī)律，而僅僅與小學算術中約定俗成的“已知數(shù)寫在等號左側，計算結果寫在等號右側”不同。這種不同恰恰說明低齡兒童頭腦中較少有人為規(guī)定的條條框框，這或許正是兒童創(chuàng)造性思維的基礎，的確是需要積極保護、鼓勵和引導的。第三十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日六、初步的結論

不可否認，兒童思維中所形成的自然結構常常會出現(xiàn)錯誤，試圖直接避免顯然是不可行的。就好比醫(yī)生在對病人采取治療措施之前必須對病情進行診斷一樣，只有對病情、病因有了準確的了解之后，才有可能實施有針對性的治