初中數(shù)學(xué)人教版九年級下冊第二十七章相似2相似三角形 省一等獎(jiǎng)

27．2相似三角形27．2.1相似三角形的判定第1課時(shí)平行線分線段成比例知識與技能使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握平行線分線段成比例定理及其推論，并會(huì)靈活應(yīng)用．過程與方法通過學(xué)習(xí)定理再次鍛煉類比的數(shù)學(xué)思想，能把一個(gè)稍復(fù)雜的圖形分成幾個(gè)基本圖形，通過應(yīng)用鍛煉識圖能力和推理論證能力．情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過定理的學(xué)習(xí)知道認(rèn)識事物的一般規(guī)律是從特殊到一般，并能欣賞數(shù)學(xué)圖形的對稱美，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．重點(diǎn)平行線分線段成比例定理和推論及其應(yīng)用．難點(diǎn)平行線分線段成比例定理的正確性的說明及推論應(yīng)用．一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入師：什么是相似多邊形？生：對應(yīng)角分別相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形．教師用多媒體展示：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BC,B′C′)＝eq\f(AC,A′C′)＝k.師：這樣的兩個(gè)三角形有什么關(guān)系呢？生：△ABC和△A′B′C′相似．師：對，兩個(gè)三角形相似記作△ABC∽△A′B′C′，“∽”讀作“相似于”．師：上面的兩個(gè)三角形的相似比為k，假如k＝1，這兩個(gè)三角形有怎樣的關(guān)系？生：當(dāng)k＝1時(shí)，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，△ABC≌△A′B′C′.師：所以全等是相似的特殊情況．師：既然全等有很多種判定方法，我們可以類比全等的判定方法找到兩個(gè)三角形相似的方法嗎？在這之前，我們先來探究下面的問題．二、共同探究，獲取新知師：我們知道兩條平行線之間的距離是相等的．如果有三條直線l3∥l4∥l5，任意兩直線l1和l2與它們相交且截得的線段AB＝BC.我們會(huì)得到DE＝EF，即eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF)＝1.你們知道為什么嗎？生：學(xué)生思考、討論，得出結(jié)論．平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行線所截，如果在其中一條上截得的線段相等，那么在另一條上截得的線段也相等．師：如果eq\f(AB,BC)≠1，那么eq\f(DE,EF)和eq\f(AB,BC)還相等嗎？師：引導(dǎo)學(xué)生按要求畫圖，測量．生：操作后，討論．可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)l3∥l4∥l5時(shí)，總有eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF)，eq\f(BC,AB)＝eq\f(EF,DE)，eq\f(BC,AC)＝eq\f(EF,DF)等．一般地，我們有平行線分線段成比例的基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例．師：把平行線分線段成比例的基本事實(shí)應(yīng)用到三角形中，會(huì)出現(xiàn)什么樣的情況呢？生：思考、畫圖．圖(1)中把l4看成平行于△ABC的邊BC的直線，圖(2)中把l3看成平行于△ABC的邊BC的直線，可以得到結(jié)論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例．三、例題講解例如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB和AC上的點(diǎn)，且EF∥BC.(1)如果AE＝7，EB＝5，F(xiàn)C＝4，那么AF的長是多少？(2)如果AB＝10，AE＝6，AF＝5，那么FC的長是多少？解：(1)∵EF∥BC，∴eq\f(AE,EB)＝eq\f(AF,FC).∵AE＝7，EB＝5，F(xiàn)C＝4，∴AF＝eq\f(AE·FC,EB)＝eq\f(7×4,5)＝eq\f(28,5).(2)∵EF∥BC，∴eq\f(AE,AB)＝eq\f(AF,AC).∵AB＝10，AE＝6，AF＝5，∴AC＝eq\f(AB·AF,AE)＝eq\f(10×5,6)＝eq\f(25,3)，∴FC＝AC－AF＝eq\f(25,3)－5＝eq\f(10,3).四、鞏固練習(xí)1．如圖，已知AB∥CD∥EF，那么下列結(jié)論正確的是()A.eq\f(AD,DF)＝eq\f(BC,CE)B.eq\f(BC,CE)＝eq\f(DF,AD)C.eq\f(CD,EF)＝eq\f(BC,BE)D.eq\f(CD,EF)＝eq\f(AD,AF)答案A2．如圖，DE∥BC，AB∶DB＝3∶1，則AE∶AC＝________．答案2∶3五、課堂小結(jié)師：今天你學(xué)習(xí)了哪些定理？學(xué)生口述定理．在思考中，學(xué)生總結(jié)出當(dāng)求證的兩個(gè)比例式的線段不在同一基本型的時(shí)候應(yīng)該怎樣解題，并且掌握中間比的找法．對于添加輔助線的證明比例式問題，需要“透析”題目中的條件和證明方法．從課堂練習(xí)和作業(yè)反饋上體現(xiàn)出學(xué)生對知識的接受還比較理想，這堂課還是比較成功的．第2課時(shí)相似三角形的判定(1)知識與技能掌握“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”的判定方法；能夠運(yùn)用三角形相似的條件解決簡單的問題．過程與方法經(jīng)歷兩個(gè)三角形相似的探索過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的探究、交流能力．情感、態(tài)度與價(jià)值觀培養(yǎng)學(xué)生敢于實(shí)踐、勇于發(fā)現(xiàn)、大膽探索、合作創(chuàng)新的精神．重點(diǎn)三角形相似的判定方法1：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．難點(diǎn)三角形相似的判定方法1的運(yùn)用．一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課師：根據(jù)相似三角形的定義，三角分別相等、三邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形．那么，兩個(gè)三角形至少要滿足哪些條件就相似呢？能否類比兩個(gè)三角形全等的條件尋找判定兩個(gè)三角形相似的條件呢？今天這節(jié)課我們就一起來探索三角形相似的條件．二、探究新知問題平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交所構(gòu)成的三角形，與原三角形相似嗎？師生活動(dòng)：如圖，在△ABC中，DE∥BC，且DE分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，△ADE與△ABC有什么關(guān)系？直覺告訴我們，△ADE與△ABC相似，我們通過相似的定義證明它，即證明∠A＝∠A，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).由前面的結(jié)論可得，eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC).而eq\f(DE,BC)中的DE不在△ABC的邊BC上，不能直接利用前面的結(jié)論．但從要證的eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)可以看出，除DE外，AE，AC，BC都在△ABC的邊上，因此只需將DE平移到BC邊上去，使得BF＝DE，再證明eq\f(AE,AC)＝eq\f(BF,BC)就可以了．只要過點(diǎn)E作EF∥AB，交BC于點(diǎn)F，BF就是平移DE所得的線段．先證明兩個(gè)三角形的角分別相等．如圖，在△ADE與△ABC中，∠A＝∠A.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.再證明兩個(gè)三角形的邊成比例．過點(diǎn)E作EF∥AB，交BC于點(diǎn)F.∵DE∥BC，EF∥AB，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)，eq\f(BF,BC)＝eq\f(AE,AC).∵四邊形DBFE是平行四邊形，∴DE＝BF，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(AE,AC)，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).這樣，我們證明了△ADE和△ABC的角分別相等，邊成比例，所以△ADE∽△ABC，因此，我們有如下判定三角形相似的定理．三角形相似的判定方法1：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．(定理的證明由學(xué)生獨(dú)立完成)三、例題講解例如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，DE∥BC，AB＝7，AD＝5，DE＝10，求BC的長．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(DE,BC)，∴BC＝eq\f(AB·DE,AD)＝eq\f(7×10,5)＝14.四、課堂小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了：三角形相似的判定方法1：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．本節(jié)課主要是探究相似三角形的判定方法1，本課教學(xué)力求使探究途徑多元化，把學(xué)生利用刻度尺、量角器等作圖工具做靜態(tài)探究與應(yīng)用“幾何畫板”等計(jì)算機(jī)軟件做動(dòng)態(tài)探究有機(jī)結(jié)合起來，讓學(xué)生充分感受探究的全面性，豐富探究的內(nèi)涵．另外小組合作學(xué)習(xí)的開展不僅提高了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的效率，而且培養(yǎng)了學(xué)生的合作能力．第3課時(shí)相似三角形的判定(2)知識與技能理解并掌握相似三角形的判定方法2，3.過程與方法培養(yǎng)學(xué)生的觀察、發(fā)現(xiàn)、比較、歸納的能力，感受兩個(gè)三角形全等的兩種判定方法SSS和SAS與三角形相似定理的區(qū)別與聯(lián)系，體驗(yàn)事物間特殊與一般的關(guān)系．情感、態(tài)度與價(jià)值觀讓學(xué)生經(jīng)歷從試驗(yàn)探究到歸納證明的過程，發(fā)展學(xué)生合理的推理能力．重點(diǎn)兩個(gè)三角形相似的判定方法2，3及其應(yīng)用．難點(diǎn)探究兩個(gè)三角形相似的判定方法2，3的過程．一、問題引入1．我們學(xué)習(xí)過哪些判定三角形相似的方法？(三角形相似的定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似)2．全等三角形與相似三角形有怎樣的關(guān)系？(全等三角形是特殊的相似三角形，相似比k＝1)3．如果要判定△ABC與△A′B′C′相似，是不是一定需要一一驗(yàn)證所有的對應(yīng)角和對應(yīng)邊的關(guān)系？(不需要)二、新課教授由三角形全等的SSS判定方法，我們會(huì)想如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么能否判定這兩個(gè)三角形相似呢？探究1：任意畫一個(gè)三角形，再畫一個(gè)三角形，使它的各邊長都是原來三角形各邊長的k倍，度量這兩個(gè)三角形的對應(yīng)角，它們相等嗎？這兩個(gè)三角形相似嗎？與同學(xué)交流一下，看看是否有同樣的結(jié)論．學(xué)生動(dòng)手畫圖、測量，獨(dú)立研究后再小組討論．三角形相似的判定方法2：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似．探究2：利用刻度尺和量角器畫△ABC和△A′B′C′，使∠A＝∠A′，eq\f(AB,A′B′)和eq\f(AC,A′C′)都等于給定的值k，量出它們的第三組對應(yīng)邊BC和B′C′的長，它們的比等于k嗎？另外兩組對應(yīng)角∠B與∠B′，∠C與∠C′是否相等？改變∠A或k值的大小，再試一試，是否有同樣的結(jié)論？學(xué)生動(dòng)手畫圖、測量，獨(dú)立研究．三角形相似的判定方法3：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．三、例題講解例1根據(jù)下列條件，判斷△ABC與△A1B1C1是否相似，并說明理由．(1)∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A1＝120°，A1B1＝3cm，A1C1＝6cm；(2)∠B＝120°，AB＝2cm，AC＝6cm，∠B1＝120°，A1B1＝8cm，A1C1＝24cm.解：(1)eq\f(AB,A1B1)＝eq\f(AC,A1C1)＝eq\f(7,3)，∠A＝∠A1＝120°?△ABC∽△A1B1C1；(2)eq\f(AB,A1B1)＝eq\f(AC,A1C1)＝eq\f(1,4)，∠B＝∠B1＝120°，但∠B與∠B1不是AB與AC，A1B1與A1C1的夾角，所以△ABC與△A1B1C1不相似．例2如圖，在△ABC和△ADE中，eq\f(AB,AD)＝eq\f(BC,DE)＝eq\f(AC,AE)，∠BAD＝20°，求∠CAE的度數(shù)．解：∵eq\f(AB,AD)＝eq\f(BC,DE)＝eq\f(AC,AE)，∴△ABC∽△ADE(三邊成比例的兩個(gè)三角形相似)，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.∵∠BAD＝20°，∴∠CAE＝20°.四、鞏固練習(xí)1．根據(jù)下列條件，判斷△ABC和△A′B′C′是否相似，并說明理由．(1)∠A＝40°，AB＝8cm，AC＝15cm，∠A′＝40°，A′B′＝16cm，A′C′＝30cm；(2)AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝16cm，A′B′＝20cm，B′C′＝16cm，A′C′＝32cm.答案(1)相似，兩組對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等．(2)相似，三組對應(yīng)邊的比相等．2．圖中的兩個(gè)三角形是否相似？答案(1)相似．(2)不相似．五、課堂小結(jié)師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們有什么體會(huì)與收獲？可以與大家分享一下嗎？學(xué)生發(fā)言，說說自己的體會(huì)與收獲，教師根據(jù)學(xué)生的發(fā)言予以點(diǎn)評．本節(jié)課主要是探究相似三角形的判定方法2和判定方法3，由于上節(jié)課已經(jīng)學(xué)習(xí)了探究兩個(gè)三角形相似的判定方法1，而本節(jié)課內(nèi)容在探究方法上與上節(jié)課又具有一定的相似性，因此本課教學(xué)設(shè)計(jì)注意方法上的“新舊聯(lián)系”，以幫助學(xué)生形成認(rèn)知上的正遷移．此外，由于判定方法3的條件“相應(yīng)的夾角相等”在應(yīng)用中容易被學(xué)生忽視，所以教學(xué)中教師要強(qiáng)調(diào)，以加深學(xué)生的印象．第4課時(shí)相似三角形的判定(3)知識與技能使學(xué)生了解三角形相似的判定方法4及直角三角形相似定理的證明方法并會(huì)運(yùn)用．過程與方法1．類比證明三角形全等的方法(AAS，ASA，HL)，繼續(xù)滲透和培養(yǎng)學(xué)生對類比思想的認(rèn)識和理解．2．通過了解定理的證明方法培養(yǎng)和提高學(xué)生利用已學(xué)知識證明新命題的能力．情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生類比的意識，了解由特殊到一般的唯物辯證法的觀點(diǎn)．重點(diǎn)兩個(gè)判定定理的應(yīng)用難點(diǎn)了解兩個(gè)判定定理的證明方法與思路一、復(fù)習(xí)引入師：判定兩個(gè)三角形全等的方法有哪幾種？生：SAS，ASA(AAS)，SSS，HL師：三角形相似的判定方法2和3是類比三角形全等的判定方法“SAS”，“SSS”得出的，那我們能否類比“ASA(AAS)”，“HL”用同樣的方法得出新的三角形相似的判定方法呢？二、共同探究，獲取新知推理證明探究1：師：由于“ASA(AAS)”中只有一條邊，是不能寫出對應(yīng)邊的比的，那么就剩下兩個(gè)角了，即兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似嗎？教師用多媒體出示：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，判斷△ABC和△A′B′C′是否相似，為什么？教師引導(dǎo)學(xué)生在稿紙上按要求畫圖．學(xué)生動(dòng)手畫圖、測量、獨(dú)立研究．三角形相似的判定方法4：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似．探究2：師：判定兩個(gè)直角三角形是否全等時(shí)，除了用那些一般的方法外還可以用“HL”的方法，那么判定兩個(gè)直角三角形相似是否也有類似的方法呢？教師多媒體課件出示：如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′).判斷Rt△ABC與Rt△A′B′C′是否相似，為什么？師：已知一個(gè)直角三角形的斜邊、一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊、一條直角邊對應(yīng)成比例，你能判斷這兩個(gè)直角三角形是否相似嗎？學(xué)生思考、討論后回答．生：設(shè)eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)＝k，則AB＝kA′B′，AC＝kA′C′，根據(jù)勾股定理BC可以用含AB，AC的式子表示，進(jìn)而可以用含A′B′，A′C′的式子表示，再用勾股定理就得到BC＝kB′C′，所以就得到了三邊對應(yīng)成比例，這兩個(gè)三角形相似．師：你回答得太好了！現(xiàn)在請同學(xué)們寫出具體的步驟，然后與課本上的對照，將不完善的地方改正．學(xué)生證明并修改．證明：設(shè)eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)＝k，則AB＝kA′B′，AC＝kA′C′.∵BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(k2A′B′2－k2A′C′2)＝keq\r(A′B′2－A′C′2)＝kB′C′，∴eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)＝eq\f(BC,B′C′)＝k，∴△ABC∽△A′B′C′.師：所以我們得到了判定兩個(gè)直角三角形相似的一個(gè)定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．三、練習(xí)新知1．如圖，銳角△ABC的邊AB，AC上的高CE，BF相交于點(diǎn)D，請寫出圖中的兩對相似三角形．生甲：△ABF和△ACE.生乙：△EDB和△FDC.2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是邊AB上的高，求證：(1)CD2＝AD·BD；(2)BC2＝AB·BD，AC2＝AB·AD.證明：(1)∵△ADC和△ACB是直角三角形，∴∠A＋∠ACD＝90°，∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB＝90°，∴△ADC∽△CDB.∴eq\f(CD,BD)＝eq\f(AD,CD).∴CD2＝AD·BD.(2)∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠CDB，∴△ABC∽△CBD.∴eq\f(BC,AB)＝eq\f(BD,BC).∴BC2＝AB·BD.同理可證△ABC∽△ACD.∴eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,AC).∴AC2＝AB·AD.四、課堂小結(jié)本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了三角形相似的另一個(gè)判定定理：兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．除了前面講過的針對任意三角形相似的判定方法外，還有斜邊和直角邊分別對應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似這一判定定理．在做題時(shí)要靈活運(yùn)用，選取合適的方法．前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了幾種三角形相似的判定方法，所以這節(jié)課以學(xué)生為主導(dǎo)，教師加以提示、糾正、鼓勵(lì)學(xué)生自己探索，討論得出新的判定定理，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，勇于探索的精神．27．2.2相似三角形的性質(zhì)第1課時(shí)相似三角形的性質(zhì)(1)知識與技能理解并掌握相似三角形的對應(yīng)線段(高、中線、角平分線)之間的關(guān)系，掌握定理的證明方法，并能靈活運(yùn)用相似三角形的判定定理和性質(zhì)，提高分析和推理能力．過程與方法在對性質(zhì)定理的探究中，學(xué)生經(jīng)歷“觀察—猜想—論證—?dú)w納”的過程，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究、合作交流的習(xí)慣和嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度，并在其中體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想、勇于探索、勤于思考的數(shù)學(xué)品質(zhì)，提高分析問題和解決問題的能力．情感、態(tài)度與價(jià)值觀1．在學(xué)習(xí)和探討的過程中，體驗(yàn)特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律．2．通過學(xué)生之間的合作交流使學(xué)生體驗(yàn)到成功的喜悅，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心．重點(diǎn)相似三角形性質(zhì)定理的探究及應(yīng)用．難點(diǎn)綜合應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)與判定定理，探索相似三角形中對應(yīng)線段之間的關(guān)系．一、復(fù)習(xí)回顧師：相似三角形的判定方法有哪些？學(xué)生回答．師：相似三角形有哪些性質(zhì)？生：相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．師：三角形有哪些相關(guān)的線段？生：中線、高和角平分線．二、共同探究，獲取新知教師多媒體課件出示：已知：如圖，△ABC∽△A′B′C′，它們的相似比為k，AD，A′D′是對應(yīng)高．求證：eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′)＝k.師：這個(gè)題目中已知了哪些條件？生：△ABC和△A′B′C′相似，這兩個(gè)三角形的相似比是k，AD，A′D′分別是它們的高．師：我們要證的是什么？生：它們的高的比等于它們對應(yīng)邊的比，等于這兩個(gè)三角形的相似比．師：你是怎樣證明的呢？生：證明△ABD和△A′B′D′相似，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′).師：你怎樣證明△ABD和△A′B′D′相似呢？學(xué)生思考后回答：因?yàn)椤鰽BC和△A′B′C′相似，由相似三角形的對應(yīng)角相等，所以∠B＝∠B′，∠ADB＝∠A′D′B′＝90°.根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似得到△ABD和△A′B′D′相似．學(xué)生寫出證明過程．活動(dòng)1.已知：如圖，△ABC∽△A′B′C′，它們的相似比為k，AD，A′D′是對應(yīng)的中線．求證：eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′)＝k.證明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′，eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BC,B′C′)＝k.又∵AD和A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的中線，∴BD＝eq\f(1,2)BC，B′D′＝eq\f(1,2)B′C′，eq\f(BD,B′D′)＝eq\f(\f(1,2)BC,\f(1,2)B′C′)＝eq\f(BC,B′C′)＝k，∴△ABD∽△A′B′D′(兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似)，∴eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′)＝k.活動(dòng)2.已知：如圖，△ABC∽△A′B′C′，它們的相似比為k，AD，A′D′分別是∠BAC和∠B′A′C′的平分線．求證：eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′)＝k.證明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′.又∵AD和A′D′分別是∠BAC和∠B′A′C′的平分線，∴∠BAD＝eq\f(1,2)∠BAC，∠B′A′D′＝eq\f(1,2)∠B′A′C′，∠BAD＝∠B′A′D′，∴△BAD∽△B′A′D′(兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似)，∴eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′)＝k.師：于是我們就得到了相似三角形的一個(gè)性質(zhì)定理．定理1相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比．三、例題講解，應(yīng)用新知例如圖，AD是△ABC的高，AD＝h，點(diǎn)R在AC邊上，點(diǎn)S在AB邊上，SR⊥AD，垂足為E.當(dāng)SR＝eq\f(1,2)BC時(shí)，求DE的長．如果SR＝eq\f(1,3)BC呢？解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，∴SR∥BC，∴∠ASR＝∠B，∠ARS＝∠C，∴△ASR∽△ABC(兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似)，∴eq\f(AE,AD)＝eq\f(SR,BC)(相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比)，即eq\f(AD－DE,AD)＝eq\f(SR,BC).當(dāng)SR＝eq\f(1,2)BC時(shí)，得eq\f(h－DE,h)＝eq\f(1,2)，解得DE＝eq\f(1,2)h.當(dāng)SR＝eq\f(1,3)BC時(shí)，得eq\f(h－DE,h)＝eq\f(1,3)，解得DE＝eq\f(2,3)h.四、課堂小結(jié)師：今天你又學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？學(xué)生回答．在本節(jié)課的教學(xué)過程中，先讓學(xué)生回顧了相似三角形的性質(zhì)即對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，為后面的證明做了鋪墊．在已有知識的基礎(chǔ)上用類比化歸的思想去探究新知，讓學(xué)生充分體會(huì)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，能夠使整個(gè)課堂氣氛由沉悶變得活躍，尤其是讓學(xué)生板演使學(xué)生有機(jī)會(huì)展示他們的學(xué)習(xí)所得，做到了將課堂回歸給學(xué)生，學(xué)生的主體地位得到了很好的體現(xiàn)．第2課時(shí)相似三角形的性質(zhì)(2)知識與技能理解并掌握相似三角形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方，并能用來解決簡單的問題．過程與方法探索相似多邊形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方，體驗(yàn)化歸思想．情感、態(tài)度與價(jià)值觀經(jīng)歷探索相似三角形性質(zhì)的過程，并在探究過程中發(fā)展學(xué)生積極的情感、態(tài)度與價(jià)值觀，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性．重點(diǎn)理解并掌握相似三角形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方．難點(diǎn)探索相似多邊形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方．一、復(fù)習(xí)引入1．回顧相似三角形的概念及判定方法．2．復(fù)習(xí)相似多邊形的定義及相似多邊形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角的性質(zhì)．二、新課教授探究1：如果兩個(gè)三角形相似，它們的周長之間是什么關(guān)系？如果是兩個(gè)相似多邊形呢？學(xué)生小組自由討論、交流，達(dá)成共識．設(shè)△ABC∽△A1B1C1，相似比為k，那么eq\f(AB,A1B1)＝eq\f(BC,B1C1)＝eq\f(CA,C1A1)＝k?AB＝kA1B1，BC＝kB1C1，CA＝kC1A1?eq\f(AB＋BC＋CA,A1B1＋B1C1＋C1A1)＝eq\f(kA1B1＋kB1C1＋kC1A1,A1B1＋B1C1＋C1A1)＝k.由此我們可以得到：相似三角形的性質(zhì)2：相似三角形周長的比等于相似比．用類似的方法，還可以得出：相似多邊形的性質(zhì)1：相似多邊形周長的比等于相似比．探究2：(1)如圖(1)，△ABC∽△A1B1C1，相似比為k1，它們的對應(yīng)高的比是多少？它們的面積比是多少？通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們得到了相似三角形的性質(zhì)1：相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比．∴eq\f(AD,A1D1)＝eq\f(AB,A1B1)＝k1.由上述結(jié)論，我們有：eq\f(S△ABC,S△A1B1C1)＝eq\f(\f(1,2)BC×AD,\f(1,2)B1C1×A1D1)＝eq\f(\f(1,2)k1B1C1×k1A1D1,\f(1,2)B1C1×A1D1)＝k12.相似三角形的性質(zhì)3：相似三角形面積的比等于相似比的平方．(2)如圖(2)，四邊形ABCD相似于四邊形A1B1C1D1，相似比為k2，它們的面積比是多少？分析：∵eq\f(S△ABC,S△A1B1C1)＝eq\f(S△ACD,S△A1C1D1)＝k22，∴eq\f(S四邊形ABCD,S四邊形A1B1C1D1)＝eq\f(S△ABC＋S△ACD,S△A1B1C1＋S△A1C1D1)＝k22.相似多邊形的性質(zhì)2：相似多邊形面積的比等于相似比的平方．三、例題講解例如圖，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周長是24，面積是12eq\r(5)，求△DEF的周長和面積．解：△ABC和△DEF中，∵AB＝2DE，AC＝2DF，∴eq\f(DE,AB)＝eq\f(DF,AC)＝eq\f(1,2).又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF，相似比為eq\f(1,2).∴△DEF的周長＝eq\f(1,2)×24＝12，面積＝(eq\f(1,2))2×12eq\r(5)＝3eq\r(5).四、鞏固練習(xí)填空：(1)如果兩個(gè)相似三角形對應(yīng)邊的比為3∶5，那么它們的相似比為________，周長的比為________，面積的比為________；(2)如果兩個(gè)相似三角形面積的比為3∶5，那么它們的相似比為________，周長的比為________；(3)連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段把三角形截成的一個(gè)小三角形與原三角形的周長比等于________，面積比等于________；(4)兩個(gè)相似三角形對應(yīng)的中線長分別是6cm和18cm，若較大三角形的周長是42cm，面積是12cm2，則較小三角形的周長為________cm，面積為________cm2.答案(1)eq\f(3,5)eq\f(3,5)eq\f(9,25)(2)eq\f(\r(3),\r(5))eq\f(\r(3),\r(5))(3)eq\f(1,2)eq\f(1,4)(4)14eq\f(4,3)五、課堂小結(jié)相似三角形的性質(zhì)：性質(zhì)2.相似三角形周長的比等于相似比．性質(zhì)3.相似三角形面積的比等于相似比的平方．相似多邊形的性質(zhì)1：相似多邊形周長的比等于相似比．相似多邊形的性質(zhì)2：相似多邊形面積的比等于相似比的平方．本節(jié)課主要是讓學(xué)生理解并掌握相似三角形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方，通過探索相似多邊形周長的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方讓學(xué)生體驗(yàn)化歸思想，學(xué)會(huì)應(yīng)用相似三角形周長的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方來解決簡單的問題．因此本課的教學(xué)設(shè)計(jì)突出了“相似比?相似三角形周長的比?相似多邊形周長的比”，“相似比?相似三角形面積的比?相似多邊形面積的比”等一系列從特殊到一般的過程，讓學(xué)生深刻體驗(yàn)到有限數(shù)學(xué)歸納法的魅力．27.2.3相似三角形應(yīng)用舉例知識與技能進(jìn)一步鞏固相似三角形的知識；能夠運(yùn)用三角形相似的知識解決不能直接測量的物體的長度和高度(如測量金字塔高度問題、測量河寬問題、盲區(qū)問題)等一些實(shí)際問題．過程與方法通過把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成有關(guān)相似三角形的數(shù)學(xué)模型進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)建模的思想，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力．情感、態(tài)度與價(jià)值觀體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的作用，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心．重點(diǎn)運(yùn)用三角形相似的知識計(jì)算不能直接測量的物體的長度和高度．難點(diǎn)靈活運(yùn)用三角形相似的知識解決實(shí)際問題，即如何把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題．一、新課教授例1(測量金字塔高度的問題)根據(jù)史料記載，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構(gòu)成兩個(gè)相似三角形來測量金字塔的高度．如圖，木桿EF長2m，它的影長FD為3m，測得OA為201m，求金字塔的高度．分析：根據(jù)太陽光的光線是互相平行的特點(diǎn)，可知在同一時(shí)刻的陽光下，豎直的兩個(gè)物體的影子互相平行，從而構(gòu)造相似三角形，再利用相似三角形的判定定理和性質(zhì)，根據(jù)已知條件求出金字塔的高度．解法一：∵BA∥DE，∴∠BAO＝∠EDF.又∵∠AOB＝∠DFE＝90°，∴△ABO∽△DEF，∴eq\f(BO,EF)＝eq\f(AO,DF)，∴BO＝eq\f(AO·EF,DF)＝eq\f(201×2,3)＝134.答：此金字塔的高度為134m.問：你還可以用什么方法來測量金字塔的高度？(如用身高等)解法二：用鏡面反射．(如圖，點(diǎn)A是個(gè)小鏡子，根