初中數學人教版九年級下冊第二十七章相似2相似三角形 省一等獎

27．2相似三角形27．2.1相似三角形的判定第1課時平行線分線段成比例知識與技能使學生在理解的基礎上掌握平行線分線段成比例定理及其推論，并會靈活應用．過程與方法通過學習定理再次鍛煉類比的數學思想，能把一個稍復雜的圖形分成幾個基本圖形，通過應用鍛煉識圖能力和推理論證能力．情感、態(tài)度與價值觀通過定理的學習知道認識事物的一般規(guī)律是從特殊到一般，并能欣賞數學圖形的對稱美，激發(fā)學習數學的興趣．重點平行線分線段成比例定理和推論及其應用．難點平行線分線段成比例定理的正確性的說明及推論應用．一、復習導入師：什么是相似多邊形？生：對應角分別相等，對應邊成比例的兩個多邊形．教師用多媒體展示：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BC,B′C′)＝eq\f(AC,A′C′)＝k.師：這樣的兩個三角形有什么關系呢？生：△ABC和△A′B′C′相似．師：對，兩個三角形相似記作△ABC∽△A′B′C′，“∽”讀作“相似于”．師：上面的兩個三角形的相似比為k，假如k＝1，這兩個三角形有怎樣的關系？生：當k＝1時，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，△ABC≌△A′B′C′.師：所以全等是相似的特殊情況．師：既然全等有很多種判定方法，我們可以類比全等的判定方法找到兩個三角形相似的方法嗎？在這之前，我們先來探究下面的問題．二、共同探究，獲取新知師：我們知道兩條平行線之間的距離是相等的．如果有三條直線l3∥l4∥l5，任意兩直線l1和l2與它們相交且截得的線段AB＝BC.我們會得到DE＝EF，即eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF)＝1.你們知道為什么嗎？生：學生思考、討論，得出結論．平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行線所截，如果在其中一條上截得的線段相等，那么在另一條上截得的線段也相等．師：如果eq\f(AB,BC)≠1，那么eq\f(DE,EF)和eq\f(AB,BC)還相等嗎？師：引導學生按要求畫圖，測量．生：操作后，討論．可以發(fā)現，當l3∥l4∥l5時，總有eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF)，eq\f(BC,AB)＝eq\f(EF,DE)，eq\f(BC,AC)＝eq\f(EF,DF)等．一般地，我們有平行線分線段成比例的基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．師：把平行線分線段成比例的基本事實應用到三角形中，會出現什么樣的情況呢？生：思考、畫圖．圖(1)中把l4看成平行于△ABC的邊BC的直線，圖(2)中把l3看成平行于△ABC的邊BC的直線，可以得到結論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例．三、例題講解例如圖，在△ABC中，E，F分別是AB和AC上的點，且EF∥BC.(1)如果AE＝7，EB＝5，FC＝4，那么AF的長是多少？(2)如果AB＝10，AE＝6，AF＝5，那么FC的長是多少？解：(1)∵EF∥BC，∴eq\f(AE,EB)＝eq\f(AF,FC).∵AE＝7，EB＝5，FC＝4，∴AF＝eq\f(AE·FC,EB)＝eq\f(7×4,5)＝eq\f(28,5).(2)∵EF∥BC，∴eq\f(AE,AB)＝eq\f(AF,AC).∵AB＝10，AE＝6，AF＝5，∴AC＝eq\f(AB·AF,AE)＝eq\f(10×5,6)＝eq\f(25,3)，∴FC＝AC－AF＝eq\f(25,3)－5＝eq\f(10,3).四、鞏固練習1．如圖，已知AB∥CD∥EF，那么下列結論正確的是()A.eq\f(AD,DF)＝eq\f(BC,CE)B.eq\f(BC,CE)＝eq\f(DF,AD)C.eq\f(CD,EF)＝eq\f(BC,BE)D.eq\f(CD,EF)＝eq\f(AD,AF)答案A2．如圖，DE∥BC，AB∶DB＝3∶1，則AE∶AC＝________．答案2∶3五、課堂小結師：今天你學習了哪些定理？學生口述定理．在思考中，學生總結出當求證的兩個比例式的線段不在同一基本型的時候應該怎樣解題，并且掌握中間比的找法．對于添加輔助線的證明比例式問題，需要“透析”題目中的條件和證明方法．從課堂練習和作業(yè)反饋上體現出學生對知識的接受還比較理想，這堂課還是比較成功的．第2課時相似三角形的判定(1)知識與技能掌握“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似”的判定方法；能夠運用三角形相似的條件解決簡單的問題．過程與方法經歷兩個三角形相似的探索過程，進一步發(fā)展學生的探究、交流能力．情感、態(tài)度與價值觀培養(yǎng)學生敢于實踐、勇于發(fā)現、大膽探索、合作創(chuàng)新的精神．重點三角形相似的判定方法1：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似．難點三角形相似的判定方法1的運用．一、創(chuàng)設情境，引入新課師：根據相似三角形的定義，三角分別相等、三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形．那么，兩個三角形至少要滿足哪些條件就相似呢？能否類比兩個三角形全等的條件尋找判定兩個三角形相似的條件呢？今天這節(jié)課我們就一起來探索三角形相似的條件．二、探究新知問題平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交所構成的三角形，與原三角形相似嗎？師生活動：如圖，在△ABC中，DE∥BC，且DE分別交AB，AC于點D，E，△ADE與△ABC有什么關系？直覺告訴我們，△ADE與△ABC相似，我們通過相似的定義證明它，即證明∠A＝∠A，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).由前面的結論可得，eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC).而eq\f(DE,BC)中的DE不在△ABC的邊BC上，不能直接利用前面的結論．但從要證的eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)可以看出，除DE外，AE，AC，BC都在△ABC的邊上，因此只需將DE平移到BC邊上去，使得BF＝DE，再證明eq\f(AE,AC)＝eq\f(BF,BC)就可以了．只要過點E作EF∥AB，交BC于點F，BF就是平移DE所得的線段．先證明兩個三角形的角分別相等．如圖，在△ADE與△ABC中，∠A＝∠A.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.再證明兩個三角形的邊成比例．過點E作EF∥AB，交BC于點F.∵DE∥BC，EF∥AB，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)，eq\f(BF,BC)＝eq\f(AE,AC).∵四邊形DBFE是平行四邊形，∴DE＝BF，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(AE,AC)，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).這樣，我們證明了△ADE和△ABC的角分別相等，邊成比例，所以△ADE∽△ABC，因此，我們有如下判定三角形相似的定理．三角形相似的判定方法1：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似．(定理的證明由學生獨立完成)三、例題講解例如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的點，DE∥BC，AB＝7，AD＝5，DE＝10，求BC的長．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(DE,BC)，∴BC＝eq\f(AB·DE,AD)＝eq\f(7×10,5)＝14.四、課堂小結本節(jié)課學習了：三角形相似的判定方法1：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似．本節(jié)課主要是探究相似三角形的判定方法1，本課教學力求使探究途徑多元化，把學生利用刻度尺、量角器等作圖工具做靜態(tài)探究與應用“幾何畫板”等計算機軟件做動態(tài)探究有機結合起來，讓學生充分感受探究的全面性，豐富探究的內涵．另外小組合作學習的開展不僅提高了數學實驗的效率，而且培養(yǎng)了學生的合作能力．第3課時相似三角形的判定(2)知識與技能理解并掌握相似三角形的判定方法2，3.過程與方法培養(yǎng)學生的觀察、發(fā)現、比較、歸納的能力，感受兩個三角形全等的兩種判定方法SSS和SAS與三角形相似定理的區(qū)別與聯系，體驗事物間特殊與一般的關系．情感、態(tài)度與價值觀讓學生經歷從試驗探究到歸納證明的過程，發(fā)展學生合理的推理能力．重點兩個三角形相似的判定方法2，3及其應用．難點探究兩個三角形相似的判定方法2，3的過程．一、問題引入1．我們學習過哪些判定三角形相似的方法？(三角形相似的定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似)2．全等三角形與相似三角形有怎樣的關系？(全等三角形是特殊的相似三角形，相似比k＝1)3．如果要判定△ABC與△A′B′C′相似，是不是一定需要一一驗證所有的對應角和對應邊的關系？(不需要)二、新課教授由三角形全等的SSS判定方法，我們會想如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么能否判定這兩個三角形相似呢？探究1：任意畫一個三角形，再畫一個三角形，使它的各邊長都是原來三角形各邊長的k倍，度量這兩個三角形的對應角，它們相等嗎？這兩個三角形相似嗎？與同學交流一下，看看是否有同樣的結論．學生動手畫圖、測量，獨立研究后再小組討論．三角形相似的判定方法2：三邊成比例的兩個三角形相似．探究2：利用刻度尺和量角器畫△ABC和△A′B′C′，使∠A＝∠A′，eq\f(AB,A′B′)和eq\f(AC,A′C′)都等于給定的值k，量出它們的第三組對應邊BC和B′C′的長，它們的比等于k嗎？另外兩組對應角∠B與∠B′，∠C與∠C′是否相等？改變∠A或k值的大小，再試一試，是否有同樣的結論？學生動手畫圖、測量，獨立研究．三角形相似的判定方法3：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似．三、例題講解例1根據下列條件，判斷△ABC與△A1B1C1是否相似，并說明理由．(1)∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A1＝120°，A1B1＝3cm，A1C1＝6cm；(2)∠B＝120°，AB＝2cm，AC＝6cm，∠B1＝120°，A1B1＝8cm，A1C1＝24cm.解：(1)eq\f(AB,A1B1)＝eq\f(AC,A1C1)＝eq\f(7,3)，∠A＝∠A1＝120°?△ABC∽△A1B1C1；(2)eq\f(AB,A1B1)＝eq\f(AC,A1C1)＝eq\f(1,4)，∠B＝∠B1＝120°，但∠B與∠B1不是AB與AC，A1B1與A1C1的夾角，所以△ABC與△A1B1C1不相似．例2如圖，在△ABC和△ADE中，eq\f(AB,AD)＝eq\f(BC,DE)＝eq\f(AC,AE)，∠BAD＝20°，求∠CAE的度數．解：∵eq\f(AB,AD)＝eq\f(BC,DE)＝eq\f(AC,AE)，∴△ABC∽△ADE(三邊成比例的兩個三角形相似)，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.∵∠BAD＝20°，∴∠CAE＝20°.四、鞏固練習1．根據下列條件，判斷△ABC和△A′B′C′是否相似，并說明理由．(1)∠A＝40°，AB＝8cm，AC＝15cm，∠A′＝40°，A′B′＝16cm，A′C′＝30cm；(2)AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝16cm，A′B′＝20cm，B′C′＝16cm，A′C′＝32cm.答案(1)相似，兩組對應邊的比相等，且夾角相等．(2)相似，三組對應邊的比相等．2．圖中的兩個三角形是否相似？答案(1)相似．(2)不相似．五、課堂小結師：通過本節(jié)課的學習，同學們有什么體會與收獲？可以與大家分享一下嗎？學生發(fā)言，說說自己的體會與收獲，教師根據學生的發(fā)言予以點評．本節(jié)課主要是探究相似三角形的判定方法2和判定方法3，由于上節(jié)課已經學習了探究兩個三角形相似的判定方法1，而本節(jié)課內容在探究方法上與上節(jié)課又具有一定的相似性，因此本課教學設計注意方法上的“新舊聯系”，以幫助學生形成認知上的正遷移．此外，由于判定方法3的條件“相應的夾角相等”在應用中容易被學生忽視，所以教學中教師要強調，以加深學生的印象．第4課時相似三角形的判定(3)知識與技能使學生了解三角形相似的判定方法4及直角三角形相似定理的證明方法并會運用．過程與方法1．類比證明三角形全等的方法(AAS，ASA，HL)，繼續(xù)滲透和培養(yǎng)學生對類比思想的認識和理解．2．通過了解定理的證明方法培養(yǎng)和提高學生利用已學知識證明新命題的能力．情感、態(tài)度與價值觀通過學習培養(yǎng)學生類比的意識，了解由特殊到一般的唯物辯證法的觀點．重點兩個判定定理的應用難點了解兩個判定定理的證明方法與思路一、復習引入師：判定兩個三角形全等的方法有哪幾種？生：SAS，ASA(AAS)，SSS，HL師：三角形相似的判定方法2和3是類比三角形全等的判定方法“SAS”，“SSS”得出的，那我們能否類比“ASA(AAS)”，“HL”用同樣的方法得出新的三角形相似的判定方法呢？二、共同探究，獲取新知推理證明探究1：師：由于“ASA(AAS)”中只有一條邊，是不能寫出對應邊的比的，那么就剩下兩個角了，即兩角分別相等的兩個三角形相似嗎？教師用多媒體出示：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，判斷△ABC和△A′B′C′是否相似，為什么？教師引導學生在稿紙上按要求畫圖．學生動手畫圖、測量、獨立研究．三角形相似的判定方法4：兩角分別相等的兩個三角形相似．探究2：師：判定兩個直角三角形是否全等時，除了用那些一般的方法外還可以用“HL”的方法，那么判定兩個直角三角形相似是否也有類似的方法呢？教師多媒體課件出示：如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′).判斷Rt△ABC與Rt△A′B′C′是否相似，為什么？師：已知一個直角三角形的斜邊、一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊、一條直角邊對應成比例，你能判斷這兩個直角三角形是否相似嗎？學生思考、討論后回答．生：設eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)＝k，則AB＝kA′B′，AC＝kA′C′，根據勾股定理BC可以用含AB，AC的式子表示，進而可以用含A′B′，A′C′的式子表示，再用勾股定理就得到BC＝kB′C′，所以就得到了三邊對應成比例，這兩個三角形相似．師：你回答得太好了！現在請同學們寫出具體的步驟，然后與課本上的對照，將不完善的地方改正．學生證明并修改．證明：設eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)＝k，則AB＝kA′B′，AC＝kA′C′.∵BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(k2A′B′2－k2A′C′2)＝keq\r(A′B′2－A′C′2)＝kB′C′，∴eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)＝eq\f(BC,B′C′)＝k，∴△ABC∽△A′B′C′.師：所以我們得到了判定兩個直角三角形相似的一個定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似．三、練習新知1．如圖，銳角△ABC的邊AB，AC上的高CE，BF相交于點D，請寫出圖中的兩對相似三角形．生甲：△ABF和△ACE.生乙：△EDB和△FDC.2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是邊AB上的高，求證：(1)CD2＝AD·BD；(2)BC2＝AB·BD，AC2＝AB·AD.證明：(1)∵△ADC和△ACB是直角三角形，∴∠A＋∠ACD＝90°，∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB＝90°，∴△ADC∽△CDB.∴eq\f(CD,BD)＝eq\f(AD,CD).∴CD2＝AD·BD.(2)∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠CDB，∴△ABC∽△CBD.∴eq\f(BC,AB)＝eq\f(BD,BC).∴BC2＝AB·BD.同理可證△ABC∽△ACD.∴eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,AC).∴AC2＝AB·AD.四、課堂小結本節(jié)課主要學習了三角形相似的另一個判定定理：兩角對應相等的兩個三角形相似．除了前面講過的針對任意三角形相似的判定方法外，還有斜邊和直角邊分別對應成比例的兩個直角三角形相似這一判定定理．在做題時要靈活運用，選取合適的方法．前面已經學習了幾種三角形相似的判定方法，所以這節(jié)課以學生為主導，教師加以提示、糾正、鼓勵學生自己探索，討論得出新的判定定理，培養(yǎng)學生的動手能力，勇于探索的精神．27．2.2相似三角形的性質第1課時相似三角形的性質(1)知識與技能理解并掌握相似三角形的對應線段(高、中線、角平分線)之間的關系，掌握定理的證明方法，并能靈活運用相似三角形的判定定理和性質，提高分析和推理能力．過程與方法在對性質定理的探究中，學生經歷“觀察—猜想—論證—歸納”的過程，培養(yǎng)學生主動探究、合作交流的習慣和嚴謹治學的態(tài)度，并在其中體會類比的數學思想，培養(yǎng)學生大膽猜想、勇于探索、勤于思考的數學品質，提高分析問題和解決問題的能力．情感、態(tài)度與價值觀1．在學習和探討的過程中，體驗特殊到一般的認知規(guī)律．2．通過學生之間的合作交流使學生體驗到成功的喜悅，樹立學好數學的自信心．重點相似三角形性質定理的探究及應用．難點綜合應用相似三角形的性質與判定定理，探索相似三角形中對應線段之間的關系．一、復習回顧師：相似三角形的判定方法有哪些？學生回答．師：相似三角形有哪些性質？生：相似三角形的對應角相等，對應邊成比例．師：三角形有哪些相關的線段？生：中線、高和角平分線．二、共同探究，獲取新知教師多媒體課件出示：已知：如圖，△ABC∽△A′B′C′，它們的相似比為k，AD，A′D′是對應高．求證：eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′)＝k.師：這個題目中已知了哪些條件？生：△ABC和△A′B′C′相似，這兩個三角形的相似比是k，AD，A′D′分別是它們的高．師：我們要證的是什么？生：它們的高的比等于它們對應邊的比，等于這兩個三角形的相似比．師：你是怎樣證明的呢？生：證明△ABD和△A′B′D′相似，然后由相似三角形的對應邊成比例得到eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′).師：你怎樣證明△ABD和△A′B′D′相似呢？學生思考后回答：因為△ABC和△A′B′C′相似，由相似三角形的對應角相等，所以∠B＝∠B′，∠ADB＝∠A′D′B′＝90°.根據兩角對應相等的兩個三角形相似得到△ABD和△A′B′D′相似．學生寫出證明過程．活動1.已知：如圖，△ABC∽△A′B′C′，它們的相似比為k，AD，A′D′是對應的中線．求證：eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′)＝k.證明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′，eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BC,B′C′)＝k.又∵AD和A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的中線，∴BD＝eq\f(1,2)BC，B′D′＝eq\f(1,2)B′C′，eq\f(BD,B′D′)＝eq\f(\f(1,2)BC,\f(1,2)B′C′)＝eq\f(BC,B′C′)＝k，∴△ABD∽△A′B′D′(兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似)，∴eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′)＝k.活動2.已知：如圖，△ABC∽△A′B′C′，它們的相似比為k，AD，A′D′分別是∠BAC和∠B′A′C′的平分線．求證：eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′)＝k.證明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′.又∵AD和A′D′分別是∠BAC和∠B′A′C′的平分線，∴∠BAD＝eq\f(1,2)∠BAC，∠B′A′D′＝eq\f(1,2)∠B′A′C′，∠BAD＝∠B′A′D′，∴△BAD∽△B′A′D′(兩角對應相等的兩個三角形相似)，∴eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′)＝k.師：于是我們就得到了相似三角形的一個性質定理．定理1相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比．三、例題講解，應用新知例如圖，AD是△ABC的高，AD＝h，點R在AC邊上，點S在AB邊上，SR⊥AD，垂足為E.當SR＝eq\f(1,2)BC時，求DE的長．如果SR＝eq\f(1,3)BC呢？解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，∴SR∥BC，∴∠ASR＝∠B，∠ARS＝∠C，∴△ASR∽△ABC(兩角分別相等的兩個三角形相似)，∴eq\f(AE,AD)＝eq\f(SR,BC)(相似三角形對應高的比等于相似比)，即eq\f(AD－DE,AD)＝eq\f(SR,BC).當SR＝eq\f(1,2)BC時，得eq\f(h－DE,h)＝eq\f(1,2)，解得DE＝eq\f(1,2)h.當SR＝eq\f(1,3)BC時，得eq\f(h－DE,h)＝eq\f(1,3)，解得DE＝eq\f(2,3)h.四、課堂小結師：今天你又學習了什么內容？學生回答．在本節(jié)課的教學過程中，先讓學生回顧了相似三角形的性質即對應角相等，對應邊成比例，為后面的證明做了鋪墊．在已有知識的基礎上用類比化歸的思想去探究新知，讓學生充分體會數學知識之間的內在聯系，以此激發(fā)學生的學習興趣，能夠使整個課堂氣氛由沉悶變得活躍，尤其是讓學生板演使學生有機會展示他們的學習所得，做到了將課堂回歸給學生，學生的主體地位得到了很好的體現．第2課時相似三角形的性質(2)知識與技能理解并掌握相似三角形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方，并能用來解決簡單的問題．過程與方法探索相似多邊形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方，體驗化歸思想．情感、態(tài)度與價值觀經歷探索相似三角形性質的過程，并在探究過程中發(fā)展學生積極的情感、態(tài)度與價值觀，體驗解決問題策略的多樣性．重點理解并掌握相似三角形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方．難點探索相似多邊形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方．一、復習引入1．回顧相似三角形的概念及判定方法．2．復習相似多邊形的定義及相似多邊形的對應邊、對應角的性質．二、新課教授探究1：如果兩個三角形相似，它們的周長之間是什么關系？如果是兩個相似多邊形呢？學生小組自由討論、交流，達成共識．設△ABC∽△A1B1C1，相似比為k，那么eq\f(AB,A1B1)＝eq\f(BC,B1C1)＝eq\f(CA,C1A1)＝k?AB＝kA1B1，BC＝kB1C1，CA＝kC1A1?eq\f(AB＋BC＋CA,A1B1＋B1C1＋C1A1)＝eq\f(kA1B1＋kB1C1＋kC1A1,A1B1＋B1C1＋C1A1)＝k.由此我們可以得到：相似三角形的性質2：相似三角形周長的比等于相似比．用類似的方法，還可以得出：相似多邊形的性質1：相似多邊形周長的比等于相似比．探究2：(1)如圖(1)，△ABC∽△A1B1C1，相似比為k1，它們的對應高的比是多少？它們的面積比是多少？通過上節(jié)課的學習，我們得到了相似三角形的性質1：相似三角形對應高的比等于相似比．∴eq\f(AD,A1D1)＝eq\f(AB,A1B1)＝k1.由上述結論，我們有：eq\f(S△ABC,S△A1B1C1)＝eq\f(\f(1,2)BC×AD,\f(1,2)B1C1×A1D1)＝eq\f(\f(1,2)k1B1C1×k1A1D1,\f(1,2)B1C1×A1D1)＝k12.相似三角形的性質3：相似三角形面積的比等于相似比的平方．(2)如圖(2)，四邊形ABCD相似于四邊形A1B1C1D1，相似比為k2，它們的面積比是多少？分析：∵eq\f(S△ABC,S△A1B1C1)＝eq\f(S△ACD,S△A1C1D1)＝k22，∴eq\f(S四邊形ABCD,S四邊形A1B1C1D1)＝eq\f(S△ABC＋S△ACD,S△A1B1C1＋S△A1C1D1)＝k22.相似多邊形的性質2：相似多邊形面積的比等于相似比的平方．三、例題講解例如圖，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周長是24，面積是12eq\r(5)，求△DEF的周長和面積．解：△ABC和△DEF中，∵AB＝2DE，AC＝2DF，∴eq\f(DE,AB)＝eq\f(DF,AC)＝eq\f(1,2).又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF，相似比為eq\f(1,2).∴△DEF的周長＝eq\f(1,2)×24＝12，面積＝(eq\f(1,2))2×12eq\r(5)＝3eq\r(5).四、鞏固練習填空：(1)如果兩個相似三角形對應邊的比為3∶5，那么它們的相似比為________，周長的比為________，面積的比為________；(2)如果兩個相似三角形面積的比為3∶5，那么它們的相似比為________，周長的比為________；(3)連接三角形兩邊中點的線段把三角形截成的一個小三角形與原三角形的周長比等于________，面積比等于________；(4)兩個相似三角形對應的中線長分別是6cm和18cm，若較大三角形的周長是42cm，面積是12cm2，則較小三角形的周長為________cm，面積為________cm2.答案(1)eq\f(3,5)eq\f(3,5)eq\f(9,25)(2)eq\f(\r(3),\r(5))eq\f(\r(3),\r(5))(3)eq\f(1,2)eq\f(1,4)(4)14eq\f(4,3)五、課堂小結相似三角形的性質：性質2.相似三角形周長的比等于相似比．性質3.相似三角形面積的比等于相似比的平方．相似多邊形的性質1：相似多邊形周長的比等于相似比．相似多邊形的性質2：相似多邊形面積的比等于相似比的平方．本節(jié)課主要是讓學生理解并掌握相似三角形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方，通過探索相似多邊形周長的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方讓學生體驗化歸思想，學會應用相似三角形周長的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方來解決簡單的問題．因此本課的教學設計突出了“相似比?相似三角形周長的比?相似多邊形周長的比”，“相似比?相似三角形面積的比?相似多邊形面積的比”等一系列從特殊到一般的過程，讓學生深刻體驗到有限數學歸納法的魅力．27.2.3相似三角形應用舉例知識與技能進一步鞏固相似三角形的知識；能夠運用三角形相似的知識解決不能直接測量的物體的長度和高度(如測量金字塔高度問題、測量河寬問題、盲區(qū)問題)等一些實際問題．過程與方法通過把實際問題轉化成有關相似三角形的數學模型進一步了解數學建模的思想，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力．情感、態(tài)度與價值觀體會數學在生活中的作用，增強學習數學的興趣，樹立學好數學的信心．重點運用三角形相似的知識計算不能直接測量的物體的長度和高度．難點靈活運用三角形相似的知識解決實際問題，即如何把實際問題抽象為數學問題．一、新課教授例1(測量金字塔高度的問題)根據史料記載，古希臘數學家、天文學家泰勒斯利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構成兩個相似三角形來測量金字塔的高度．如圖，木桿EF長2m，它的影長FD為3m，測得OA為201m，求金字塔的高度．分析：根據太陽光的光線是互相平行的特點，可知在同一時刻的陽光下，豎直的兩個物體的影子互相平行，從而構造相似三角形，再利用相似三角形的判定定理和性質，根據已知條件求出金字塔的高度．解法一：∵BA∥DE，∴∠BAO＝∠EDF.又∵∠AOB＝∠DFE＝90°，∴△ABO∽△DEF，∴eq\f(BO,EF)＝eq\f(AO,DF)，∴BO＝eq\f(AO·EF,DF)＝eq\f(201×2,3)＝134.答：此金字塔的高度為134m.問：你還可以用什么方法來測量金字塔的高度？(如用身高等)解法二：用鏡面反射．(如圖，點A是個小鏡子，根