第十四講大數(shù)定律和中心極限定理

羅馬圣彼德廣場一、方差的定義（P78）定義(P79):方差及協(xié)方差(1)D(c)=0二、方差的性質(zhì)(P80)三、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)1、協(xié)方差

定義(P82)：

Yy1y2…yj…

p11

p12...

P1j...

p21

p22...

P2j...

pi1

pi2...

Pij...........................Xx1x2xi若二元離散型隨機變量的聯(lián)合分布列如下：

若二元隨機變量的聯(lián)合概率密度為：2、相關(guān)系數(shù)(P83)定義(P84)：3、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)（P85）

協(xié)方差的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)要求：

（1）明確方差的概念和含義。

（2）學(xué)會方差的計算，掌握方差的性質(zhì)及其運用。

（3）學(xué)會協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的計算。

在大量的重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生的頻率總是穩(wěn)定在某一確定的常數(shù)附近，稱這一常數(shù)為事件A發(fā)生的概率。如果試驗次數(shù)不多，事件A發(fā)生的頻率與事件A發(fā)生的概率可能相差很大，但當(dāng)試驗次數(shù)很多時，事件A發(fā)生的頻率接近事件A發(fā)生的概率幾乎是必然的。

這就是說：無論個別隨機現(xiàn)象的結(jié)果如何，或者它們在進行過程中的個別特征如何，大量隨機現(xiàn)象的平均結(jié)果實際與每一個隨機現(xiàn)象的特征無關(guān)，并且?guī)缀醪辉偈请S機的了。

大數(shù)定律以確切的數(shù)學(xué)形式表達了這種規(guī)律性。第十四講大數(shù)定律與中心極限定理一、大數(shù)定律(P93)依概率收斂（P93定義5.1）切比雪夫(Chebyshev)不等式(P93)

例2：設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞電燈，夜晚每盞燈開燈的概率都是0.7，而假定開、關(guān)時間彼此獨立，估計夜晚同時開燈數(shù)在6800與7200之間的概率。計算量太大了幾個常用的大數(shù)定律1.切比雪夫大數(shù)定律(P94定理5.2)

切比雪夫大數(shù)定律說明(記在P94)：在定理條件下，當(dāng)n充分大時，n個獨立隨機變量的平均數(shù)這個隨機變量的離散程度很小的。經(jīng)過算術(shù)平均以后得到的隨機變量將比較密地聚集在它的數(shù)學(xué)期望的附近，它與數(shù)學(xué)期望之差依概率收斂于0。2.貝努里大數(shù)定律(P95定理5.3)

貝努里大數(shù)定律說明：當(dāng)試驗在不變的條件下，重復(fù)進行很多次時，隨機事件的頻率在它的概率附近擺動，即當(dāng)試驗次數(shù)足夠大時，可用頻率近似代替概率。如果事件A的概率很小，則事件A的頻率也是很小的，即事件A很少發(fā)生。實際中概率很小的事件在個別試驗中幾乎是不可能發(fā)生的，因此人們常常忽略了那些概率很小的事件發(fā)生的可能性。這個原理叫作小概率事件的實際不可能性原理（簡稱小概率原理）。至于“小概率”小到何程度才能看作實際上不可能發(fā)生，則視具體問題而定。反之：如果隨機事件的概率很接近于1，則可以認為在個別試驗中這事件幾乎一定發(fā)生。3.辛欽大數(shù)定律(P95定理5.4)

辛欽大數(shù)定律說明(記在P96)：對于同一個隨機變量進行n次觀察，則所有觀察結(jié)果的算術(shù)平均數(shù)依概率收斂于它的期望值。二、中心極限定理（P96）

正態(tài)分布在隨機變量的各種分布中，占有特別重要的地位。在某些條件下，即使原來不服從正態(tài)分布的一些獨立隨機變量，它們的和的分布，當(dāng)隨機變量的個數(shù)無限增加時，也是趨于正態(tài)分布的。概率論中，把研究在什么條件下，大量獨立隨機變量的和分布以正態(tài)分布為極限這一類定理稱為中心極限定理。

一般說來，如果某一項偶然因素對總和的影響是均勻的、微小的，即沒有一項起特別突出的作用，那么就可以斷定描述這些大量獨立的偶然因素的總和的隨機變量是近似地服從正態(tài)分布的。1.李雅普諾夫定理（P96定理5.5是其特殊情況）：

說明(記在P97)：相互獨立的隨機變量序列,若每個隨機變量對這些隨機變量的和變量影響不大,則其和變量服從正態(tài)分布例3：一個螺絲釘重量是一個隨機變量，期望值是10克，標(biāo)準差是1克。求一盒（100個）同型號螺絲的重量超過

1020克的概率。例4.將一顆骰子連擲100次，則點數(shù)之和不少于

500的概率是多少？2.拉普拉斯定理(Laplace)（P97定理5.6）

說明(記在P98)：當(dāng)試驗次數(shù)n較大時,n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)X這一隨機變量落入某范圍的概率可用正態(tài)分布進行計算

例5：設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞電燈，夜晚每盞燈開燈的概率都是0.7，而假定開、關(guān)時間彼此獨立，則夜晚同時開燈數(shù)在6800與7200之間的概率。例6：在一家保險公司里有100000個人參加壽命保險，每人每年付128元保險費。在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.06%，死亡時其家屬可向保險公司領(lǐng)得10萬元，問：保險公司虧本的概率有多大？本次課要求：（1