第10章-博弈論初步

1第十章博弈論初步2（一）博弈論簡(jiǎn)介博弈論（GameTheory）又稱對(duì)策論或游戲論，是一門研究在互動(dòng)關(guān)系的游戲中，參與者選擇策略的科學(xué)。博弈論是研究在策略性環(huán)境中如何進(jìn)行策略性決策和采取策略性行動(dòng)的科學(xué)。。一、

博弈論和策略行為博弈論引例——“囚徒困境”

警察抓住了兩個(gè)合伙犯罪的罪犯，但卻缺乏足夠的證據(jù)指證他們的罪行。如果其中至少一人供認(rèn)犯罪，就能確認(rèn)罪名成立。為了得到所需的口供，警察將這兩名罪犯分別關(guān)押并給他們同樣的選擇機(jī)會(huì)：如果他們兩人都拒不認(rèn)罪，則因缺乏證據(jù)，他們會(huì)被以較輕的妨礙公務(wù)罪各判2年徒刑；如果他們兩人中有一人坦白認(rèn)罪，則坦白者從輕處理，立即釋放，而另一人則將重判10年徒刑；如果兩人同時(shí)認(rèn)罪，則他們將各判4年徒刑。囚徒2

坦白不坦白坦白-4，-40，-10囚徒1

不坦白-10，0-2，-24案例：田忌賽馬

《史記》：有一天，齊王要田忌與他賽馬，規(guī)定每個(gè)人從自己的上、中、下三等馬中各選出一匹參加比賽；并約定，各方每有一匹馬獲勝可獲黃金千兩，每有一匹馬落敗就要輸?shù)酎S金千兩。

當(dāng)時(shí)，齊王每一等次的馬都比田忌的馬跑得快，如果田忌用自己的上等馬與齊王的上等馬比，用自己的中等馬與齊王的中等馬比，用自己的下等馬與齊王的下等馬比，則田忌要輸三次，因而要輸黃金（銅）三千兩。但是比賽結(jié)果出人意料，田忌不但沒(méi)有輸，反而贏了一千兩黃金。這是怎么回事呢？5

原來(lái)：在賽馬之前，田忌的謀士孫臏給他出主意，讓田忌用自己的下等馬與齊王的上等馬比，用自己的上等馬與齊王的中等馬比，用自己的中等馬與齊王的下等馬比。田忌的下等馬當(dāng)然會(huì)輸，但是上等馬和中等馬都贏了。因而田忌不僅沒(méi)有輸?shù)酎S金三千兩，還贏了黃金（銅）一千兩。

在有雙方參加的競(jìng)賽或競(jìng)爭(zhēng)中，策略很重要。如果策略適當(dāng)，就可能在注定要失敗的情況下取得勝利。

研究這種競(jìng)賽策略的數(shù)學(xué)分支，叫作博弈論，也叫對(duì)策論；它是運(yùn)籌學(xué)的一部分。

6案例：小乞丐的故事

有一個(gè)小乞丐，對(duì)于路人的施舍，他只接受1美元，而不要10美元。許多人都想見(jiàn)識(shí)一下這個(gè)小傻瓜，拿10美元和1美元給小乞丐，小乞丐總是選擇1美元。好奇的實(shí)驗(yàn)者絡(luò)繹不絕，小乞丐則財(cái)源滾滾。

有人問(wèn)小乞丐：為什么這么傻，只要1美元，不要10美元？

小乞丐回答說(shuō)：如果我選擇了10美元，還會(huì)有這么多人來(lái)做實(shí)驗(yàn)嗎？最后，讓我們做一個(gè)游戲，來(lái)測(cè)試一下你的博弈思維能力。要過(guò)年了，公司要發(fā)年終獎(jiǎng)，作為老板，你論功行賞。你給每位員工一個(gè)信封，并告訴他們：每個(gè)信封里面都有一張撲克牌，如果里面裝著1，就可以去領(lǐng)1000元獎(jiǎng)金，是2則可以領(lǐng)2000元，依此類推，是K就可以領(lǐng)13000元，“小王”可以領(lǐng)15000元，“大王”則是20000元7同時(shí)，你還告訴他們：拆開(kāi)信封后，里面的撲克牌只能自己看，不能告訴別人。如果對(duì)自己的撲克牌（年終獎(jiǎng)數(shù)額）不滿意，大家可以相互自由交換，但交換前還是不能讓對(duì)方知道自己的撲克牌是什么。問(wèn)題是：會(huì)有多少人能成功與別人交換撲克牌，改變自己的年終獎(jiǎng)數(shù)額？8答案是：一個(gè)都不會(huì)成功。讓我們同樣用“向前展望，倒后推理”的辦法來(lái)分析一下這個(gè)博弈：對(duì)于拿到“大王”的人來(lái)說(shuō)（估計(jì)你會(huì)把這張牌給功勞最大的副總經(jīng)理），他有交換和不交換兩種選擇，但他知道沒(méi)什么牌比“大王”更大，和誰(shuí)交換都不合算，因此，不交換是“大王”的占優(yōu)策略。拿到“小王”的人知道，除了“大王”，他和誰(shuí)交換都不合算，而“大王”又不可能和其他人交換，因此，“小王”的占優(yōu)策略也是不交換。9對(duì)于拿到K的人來(lái)說(shuō)，除了“大王”和“小王”，和其他任何人交換都不合算，而可想而知，“大王”和“小王”肯定不會(huì)出來(lái)交換，因此，“K”的占優(yōu)策略也是不交換?！来祟愅疲B拿到2的人也明白，即使拿3的人也肯定不會(huì)出來(lái)交換，因此，“2”的占優(yōu)策略也是不交換。最后，敢出來(lái)與別人交換年終獎(jiǎng)的肯定是那些拿“1”的人。既然大家的年終獎(jiǎng)都是最少的1000元，還交換它干什么？這種原理，博弈論稱之為“逆向選擇”。10從游戲到博弈博弈就是策略對(duì)抗，或策略有關(guān)鍵作用的游戲博弈Game，博弈論GameTheory，Game即游戲、競(jìng)技游戲和經(jīng)濟(jì)等決策，具有競(jìng)爭(zhēng)較量的共同特征：規(guī)則、結(jié)果、策略選擇，策略和利益相互依存，策略的關(guān)鍵作用游戲——下棋、猜大小、石頭剪刀布經(jīng)濟(jì)——寡頭產(chǎn)量決策、市場(chǎng)阻入、投標(biāo)拍賣（新娘拍賣）、股票市場(chǎng)政治——兩黨政治、多黨政治、政黨聯(lián)盟軍事——美國(guó)和伊拉克、印巴危機(jī)、以色列和巴勒斯坦、臺(tái)海兩岸（反分裂）娛樂(lè)——選美其他——婚姻市場(chǎng)12博弈論的發(fā)展改變了傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)學(xué)的結(jié)構(gòu)：1)傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)學(xué)著重研究市場(chǎng)機(jī)制或價(jià)格制度，分析完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中的最優(yōu)決策，不考慮決策者之間的相互影響。但是，現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行中市場(chǎng)是不完全競(jìng)爭(zhēng)的，行為主體之間的決策是相互影響的2)完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)是以完全信息為條件的，而現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行中也難以保證信息完全。在信息不對(duì)稱條件下，考慮行為主體相互影響的非價(jià)格制度可以用博弈論分析。博弈論與最優(yōu)化理論是不同的決策理論。最優(yōu)化理論——單人決策理論；博弈論——多人決策理論。13（二）博弈的基本要素

一個(gè)所謂博弈（Game/游戲）至少需要三個(gè)要素：（1）參與者。就是在博弈中進(jìn)行決策的個(gè)體；博弈分析假定參與者都是理性的。（2）參與人的策略，指的是一項(xiàng)規(guī)則，根據(jù)該規(guī)則，參與人在博弈的每一時(shí)點(diǎn)上選擇如何行動(dòng)；（3）支付（或結(jié)果）：有可評(píng)價(jià)優(yōu)劣的博弈結(jié)果（效用）。博弈論用數(shù)字表示這類結(jié)果，并稱之為支付（Payoff）.02二月2023制作者：張昌廷（河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)）14博弈的簡(jiǎn)單分類根據(jù)參與人的數(shù)量，可以分為二人博弈和多人博弈；根據(jù)參與人的支付情況，可分為零和博弈和非零和博弈；根據(jù)參與人擁有的策略的數(shù)量多少，可分為有限博弈和無(wú)限博弈；根據(jù)參與人在實(shí)施策略上是否有時(shí)間的先后，可分為同時(shí)博弈和序貫博弈。博弈樹(shù)：序貫博弈例：拋幣游戲。甲乙兩小孩拋硬幣，甲先拋，乙后拋。若硬幣同面，甲贏乙一個(gè)硬幣，如硬幣異面，甲輸乙一個(gè)硬幣。甲正反乙乙正正反反(1,-1)(1,-1)(-1,1)(-1,1)圖10—7競(jìng)爭(zhēng)者—壟斷者博弈02二月2023制作者：張昌廷（河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)）1617

支付矩陣（PayoffMatrix，又稱收益矩陣等）描述一個(gè)博弈結(jié)構(gòu)。下面的支付矩陣中，兩個(gè)參與者甲和乙各自可以選擇兩種策略；數(shù)字表示雙方在不同策略選擇組合下得到的支付，較大數(shù)字代表較大利益。

寡頭間的價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)

乙廠商策略合作不合作甲廠商策略合作5，61，5不合作7，12，3甲廠商的條件策略和條件策略組合02二月2023制作者：張昌廷（河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)）181.博弈均衡的概念

當(dāng)兩個(gè)廠商的條件策略組合恰好相同，從而，兩個(gè)廠商都不再有單獨(dú)改變策略的傾向時(shí)，整個(gè)博弈就達(dá)到了均衡，即博弈均衡。博弈均衡是博弈各方最終選取的策略組合，是博弈的最終結(jié)果，是博弈的解。納什均衡02二月2023制作者：張昌廷（河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)）192.對(duì)納什均衡的理解一是“單獨(dú)改變策略”是指任何一個(gè)參與人在所有其他人都不改變策略的情況下改變自己的策略。其他人也同時(shí)改變策略的情況不在考慮之列。二是“不會(huì)得到好處”是指任何一個(gè)參與人在單獨(dú)改變策略之后自己的支付不會(huì)增加，這包括兩種情況：或者支付減少，或者支付不變。02二月2023制作者：張昌廷（河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)）201.基本方法先用下劃線法分別表示甲廠商和乙廠商的條件策略，最后確定博弈的均衡（就是找到在兩個(gè)數(shù)字之下都劃線的單元格即可，與這些單元格相對(duì)應(yīng)的策略組合就是所要求的均衡策略組合）。五、尋找納什均衡的方法——條件策略下劃線法02二月2023制作者：張昌廷（河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)）212.條件策略下劃線方法的五步法第一，把整個(gè)的支付矩陣分解為甲廠商的支付矩陣和乙廠商的支付矩陣五、尋找納什均衡的方法——條件策略下劃線法02二月2023制作者：張昌廷（河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)）22第十章

博弈論初步

第二節(jié)

同時(shí)博弈：純策略均衡2.條件策略下劃線方法的五步法第二，在甲廠商的支付矩陣中，找出每一列的最大者（每列的最大者可能不只一個(gè)），并在其下劃線五、尋找納什均衡的方法——條件策略下劃線法02二月2023制作者：張昌廷（河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)）23第十章

博弈論初步

第二節(jié)

同時(shí)博弈：純策略均衡2.條件策略下劃線方法的五步法第三，在乙廠商的支付矩陣中，找出每一行的最大者（每行的最大者也可能不只一個(gè)），并在其下劃線五、尋找納什均衡的方法——條件策略下劃線法02二月2023制作者：張昌廷（河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)）24第十章

博弈論初步

第二節(jié)

同時(shí)博弈：純策略均衡2.條件策略下劃線方法的五步法第四，將已經(jīng)劃好線的甲廠商的支付矩陣和乙廠商的支付矩陣再合并起來(lái)，得到整個(gè)的有下劃線的支付矩陣五、尋找納什均衡的方法——條件策略下劃線法02二月2023制作者：張昌廷（河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)）25第十章

博弈論初步

第二節(jié)

同時(shí)博弈：純策略均衡2.條件策略下劃線方法的五步法第五，在帶有下劃線的整個(gè)的支付矩陣中，找到兩個(gè)數(shù)字之下均劃有線的支付組合，則由該支付組合代表的策略組合就是均衡的策略組合五、尋找納什均衡的方法——條件策略下劃線法02二月2023制作者：張昌廷（河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)）263.總結(jié)在一個(gè)單元格中，如果兩個(gè)數(shù)字之下均劃有線，則兩個(gè)參與人都沒(méi)有單獨(dú)改變策略的動(dòng)機(jī)，因?yàn)檫@兩個(gè)數(shù)字分別是列最大值和行最大值；如果兩個(gè)數(shù)字之下均沒(méi)有線，則兩個(gè)參與人都有單獨(dú)改變策略的動(dòng)機(jī)，因?yàn)檫@兩個(gè)數(shù)字分別不是列最大值和行最大值；如果兩個(gè)數(shù)字中一個(gè)下面有線一個(gè)下面沒(méi)線，則有線的數(shù)字所代表的參與人沒(méi)有單獨(dú)改變策略的動(dòng)機(jī)，沒(méi)線的數(shù)字所代表的參與人有單獨(dú)改變策略的動(dòng)機(jī)。五、尋找納什均衡的方法——條件策略下劃線法27納什均衡的特點(diǎn)（1）納什均衡的存在性：在同時(shí)博弈中，（純策略）納什均衡可能存在，也可能不存在案例1：沒(méi)有納什均衡的同時(shí)博弈B廠商策略左右A廠商策略上4，69，1下7，32，828（2）納什均衡的唯一性：如果納什均衡存在，那么，均衡可能是一個(gè)，也可能是多個(gè)案例1：智豬博弈小豬策略：等待智豬博弈豬圈里有兩頭豬，一頭大豬，一頭小豬，采用自動(dòng)喂養(yǎng)，豬圈一頭有一個(gè)豬食槽，按鈕在另一頭，控制豬食，按一下會(huì)有10個(gè)豬食進(jìn)槽，但按的成本為2，若大豬先到，可吃9個(gè)食，小豬吃1個(gè)；若同時(shí)到，大7小3；若小豬先到，大6小4。納什均衡：大豬按，小豬等待，小豬搭便車智豬博弈的其他含義。

“小豬躺著大豬跑”的現(xiàn)象是由于故事中的游戲規(guī)則所導(dǎo)致的。規(guī)則的核心指標(biāo)是：每次落下的事物數(shù)量和踏板與投食口之間的距離。

如果改變一下核心指標(biāo)，豬圈里還會(huì)出現(xiàn)同樣的“小豬躺著大豬跑”的景象嗎？試試看。30改變方案：減量方案；增量方案。減量加移位方案。投食僅原來(lái)的一半分量，但同時(shí)將投食口移到踏板附近。結(jié)果呢，小豬和大豬都在拼命地?fù)屩忍ぐ?。等待者不得食，而多勞者多得。每次的收獲剛好消費(fèi)完。

3132（3）納什均衡的最優(yōu)性：如果納什均衡存在，那么，可能是最優(yōu)的，也可能不是寡頭價(jià)格聯(lián)盟的不穩(wěn)定性：每個(gè)成員都有強(qiáng)烈的降價(jià)獲利沖動(dòng)33

寡頭廠商之間降價(jià)競(jìng)爭(zhēng)導(dǎo)致兩敗俱傷；

寡頭廠商共謀比競(jìng)爭(zhēng)更為有利，因而具有共謀(Collude)的動(dòng)機(jī)。市場(chǎng)上的共謀現(xiàn)象十分普遍。當(dāng)寡頭廠商共謀時(shí)，它們像一個(gè)壟斷廠商一樣行動(dòng)：通過(guò)減產(chǎn)和提價(jià)來(lái)增加利潤(rùn)，并對(duì)利潤(rùn)加以瓜分，共同享有高價(jià)格帶來(lái)的高利潤(rùn)。

共謀具有不穩(wěn)定性：個(gè)別廠商不守規(guī)則可以得到巨大利益，利益驅(qū)動(dòng)使寡頭遵守規(guī)則很困難。34

囚徒困境反映了一個(gè)深刻的問(wèn)題，從個(gè)體角度出發(fā)所選擇的占優(yōu)策略，從整體來(lái)看，卻是最差的結(jié)局，即個(gè)人理性和集體理性的沖突根據(jù)“看不見(jiàn)的手”原理，在市場(chǎng)機(jī)制的作用，理性的個(gè)體在追求自己利益的過(guò)程中，會(huì)同時(shí)增進(jìn)整體利益，即個(gè)人理性與集體理性是一致的。西方經(jīng)濟(jì)學(xué)家引入“重復(fù)博弈”的概念，以走出“囚徒困境”例：看芭蕾舞還是球賽？周末，壯壯喜歡去看球賽，而他的女朋友麗麗喜歡看芭蕾舞，具體支付如下圖，哪個(gè)是最優(yōu)策略？36芭蕾足球男1,2-1,-10,02,1芭蕾足球女芭蕾足球女二、序貫博弈：情侶博弈（1）男方先選博弈均衡：足球37芭蕾足球女2,1-1,-10,012芭蕾足球男芭蕾足球男情侶博弈（2）女方先選博弈均衡：芭蕾38支付矩陣分析：情侶博弈女足球芭蕾教材第314頁(yè)女足球芭蕾男足球2，10，0芭蕾-1，-11，2策略：先下手為強(qiáng)納稅檢查假定稅務(wù)機(jī)關(guān)的檢查成本10，納稅人應(yīng)稅額為20，如果查到逃稅，罰款為兩倍。結(jié)果不確定：納稅機(jī)關(guān)和納稅人均沒(méi)有上策還取決于納稅機(jī)關(guān)的檢查概率，比如稅收機(jī)關(guān)的檢查概率是20%，納稅人會(huì)選擇逃稅(-60*20%>-20)，稅收機(jī)關(guān)會(huì)檢查；如果概率是50%，納稅人會(huì)選擇納稅（-60*50%<-20），稅收機(jī)關(guān)選擇不檢查。40一、混合策略：當(dāng)純策略被賦予概率向量時(shí)，就轉(zhuǎn)化為混合策略。

例如：上策、下策分別被賦予0.6、0.4的概率，即博弈參與者以60%的概率選擇上策，以40%的概率選擇下策。教材第299頁(yè)B廠商策略q1=0.3q2=0.7左右A廠商策略p1=0.6上4，69，1p2=0.4下7，32，8§7-3同時(shí)博弈：混合策略均衡41二、混合策略組合如果：A、B廠商的混合策略分別是（0.6，0.4）和（0.3，0.7），那么：它們的組合可以記做（0.6，0.4），（0.3，0.7）即：混合策略組合B廠商策略q1=0.3q2=0.7左右A廠商策略p1=0.6上4，69，1p2=0.4下7，32，842

在混合策略博弈中，對(duì)于每一個(gè)混合策略組合，也存在一個(gè)支付組合，其中，每一項(xiàng)也都是相應(yīng)參與人在該混合策略組合條件下所得到的支付。由于每個(gè)參與人都是以一定的概率來(lái)選擇其純策略，故相應(yīng)的支付也就成了“期望支付”，即支付的期望值。

三、期望支付43四種策略組合發(fā)生的概率分別是：

B廠商策略q1