第四章彎曲應(yīng)力

材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院1一、彎曲的概念1、彎曲:桿受垂直于軸線的外力或外力偶作用時(shí),軸線由直線變成了曲線，這種變形稱為彎曲。2、梁：以彎曲變形為主的構(gòu)件通常稱為梁。第四章彎曲應(yīng)力§4.1平面彎曲的概念MMABF1F2q材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院23、工程實(shí)例材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院3材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院44、平面彎曲：桿發(fā)生彎曲變形后，軸線仍然和外力在同一平面內(nèi)?？v向?qū)ΨQ面MF1F2q平面彎曲亦稱為對稱彎曲（指前后對稱）。材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院5FAAF1F2

B對稱軸縱對稱面FB

對稱彎曲(平面彎曲)時(shí)梁變形后軸線所在平面與外力所在平面相重合材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院6

特定條件下，發(fā)生非對稱彎曲的梁變形后其軸線所在平面也會(huì)跟外力所在平面相重合，因而也屬于平面彎曲。①梁不具有縱對稱面；②梁有縱對稱面，但外力沒有作用在縱對稱面內(nèi)，從而變形后軸線所在平面與梁的縱對稱面不一致。5、非對稱彎曲yzFqxzyFq材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院7二、梁的計(jì)算簡圖

梁的支承條件與荷載情況一般都比較復(fù)雜，為了便于分析計(jì)算，應(yīng)進(jìn)行必要的簡化，抽象出計(jì)算簡圖。1、構(gòu)件本身的簡化通常取梁的軸線來代替梁。2、荷載簡化作用于梁上的荷載（包括支座約束力）可簡化為三種類型：集中力、集中力偶和分布荷載。F集中力ABFA集中力偶Mqq(x)分布荷載MA材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院8①固定鉸支座

2個(gè)約束，1個(gè)自由度。如：橋梁下的固定支座，止推滾珠軸承等。②可動(dòng)鉸支座

1個(gè)約束，2個(gè)自由度。如：橋梁下的輥軸支座，滾珠軸承等。AAAFAxFAyAAAAFAA3、支座簡化材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院9③固定端約束

3個(gè)約束，0個(gè)自由度。如：游泳池的跳水板支座，木樁下端的支座等。AFAyAFAxMA4、梁的三種基本形式②懸臂梁q(x)—分布荷載M集中力偶①簡支梁材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院10靜定梁：由靜力學(xué)方程可求出全部約束力的梁，如上述三種基本形式的靜定梁。靜不定梁：由靜力學(xué)方程不能求出全部約束力的梁。③外伸梁M集中力FMq—均勻分布荷載F5、靜定梁與靜不定梁材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院11一、彎曲內(nèi)力解：①求外力§4.2梁的剪力和彎矩FFAyFAxFBAB②求內(nèi)力——截面法xmm如圖，已知：F，a，l。求距A端x處截面上內(nèi)力。FalAB材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院12M∴彎曲構(gòu)件內(nèi)力剪力FS彎矩M2、彎矩：M

構(gòu)件受彎時(shí)，作用面垂直于橫截面的內(nèi)力偶矩。ACCBFAyFSFFBFSM1、剪力：FS

構(gòu)件受彎時(shí)，作用線平行于橫截面的內(nèi)力。材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院133、內(nèi)力的正負(fù)規(guī)定①剪力FS：繞研究對象順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正；反之為負(fù)。②彎矩M：使梁變成凹形的為正彎矩；使梁變成凸形

的為負(fù)彎矩。FS(+)M(+)M(+)M(–)M(–)FS(+)FS(–)FS(–)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院144、內(nèi)力大小的求法（按“設(shè)正法”畫圖）某截面剪力的大小等于該截面一側(cè)（左或右）梁上所有外力的代數(shù)和。即對截面左側(cè)梁而言，向上的外力引起正的剪力，向下的外力引起負(fù)的剪力。右側(cè)則相反q1FAMCq2F1FSM1q3FBMCF2FSM2或應(yīng)選外力比較簡單的一側(cè)計(jì)算！材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院15②某截面彎矩的大小等于該截面一側(cè)所有外力對此截面形心之矩的代數(shù)和。向上的外力引起正的彎矩，向下的外力引起負(fù)的彎矩。截面左側(cè)梁上順時(shí)針轉(zhuǎn)向的力偶引起正的彎矩，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的力偶引起負(fù)的彎矩，右側(cè)則相反。q1FAMCq2F1FSM1q3FBMCF2FSM2或+M順－M逆+M逆－M順材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院16解：1、求約束力2、計(jì)算1-1截面的內(nèi)力3、計(jì)算2-2截面的內(nèi)力F=12kNFAFBq=12kN/m求下圖所示簡支梁1-1與2-2截面的剪力和彎矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=12kNABFAFB材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院17①計(jì)算一個(gè)截面的內(nèi)力，可直接根據(jù)方程由外力寫出結(jié)果，而不必逐個(gè)作截面畫受力圖再列方程求解。②求彎矩時(shí)不論取截面左側(cè)還是取截面右側(cè)，都是向上的外力引起正的彎矩，向下的外力引起負(fù)的彎矩，與求剪力不同。二、剪力方程和彎矩方程內(nèi)力圖1、內(nèi)力方程：內(nèi)力與截面位置坐標(biāo)(x)間的函數(shù)關(guān)系式。FS=FS(x)剪力方程M=M

(x)彎矩方程注意用方程表達(dá)內(nèi)力沿軸線的變化規(guī)律，其優(yōu)缺點(diǎn)是⑴用積分法求彎曲變形需要列出彎矩方程；⑵方程依賴于坐標(biāo)系，即同一段梁用不同坐標(biāo)系寫出的方程不同。且內(nèi)力變化規(guī)律不直觀，不方便。材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院183、FS，M圖(剪力圖與彎矩圖)的要求⑴與梁的軸線對齊畫，并注明內(nèi)力性質(zhì)；⑵正的剪力畫在梁的上方，負(fù)的剪力畫在梁的下方；⑶彎矩?zé)o論正負(fù)均畫在梁受拉的一側(cè)；

(即正的彎矩畫在梁的下方，負(fù)的彎矩畫在梁的上方)⑷標(biāo)明特殊截面內(nèi)力數(shù)值；⑸標(biāo)明內(nèi)力的正負(fù)號；⑹注明內(nèi)力單位。2、剪力圖和彎矩圖將內(nèi)力方程畫成圖像，觀察內(nèi)力變化規(guī)律既唯一又直觀。剪力圖FS=FS(x)的圖線表示彎矩圖M=M

(x)的圖線表示材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院19解：1、求約束力2、列剪力方程和彎矩方程x圖示簡支梁受集度為q的均布荷載作用，試作梁的剪力圖和彎矩圖。BlAqFBFAxAqFAFS(x)M(x)A截面：x=0+，B截面：x=l-材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院203、作剪力圖和彎矩圖ql2FS圖ql28l/2M圖

BlAq材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院21解：1、求約束力2、列剪力方程和彎矩方程——需分兩段列出圖示簡支梁受集中荷載F作用，試作梁的剪力圖和彎矩圖。xBlAF

abCFBFAAC段FAxAM(x)FS(x)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院22xBlAF

abCFBFACB段FBBFS(x)M(x)l-x材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院233、作剪力圖和彎矩圖FS

圖FblFalM圖FablBlAF

abC材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院242、列剪力方程和彎矩方程解:1、求約束力剪力方程無需分段：圖示簡支梁受矩為M

的集中力偶作用，作梁的剪力圖和彎矩圖。MBlACabFA

FB材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院25彎矩方程——分AC和CB兩段MBlACabFA

FBAC段FAxAM(x)FS(x)CB段FBBFS(x)M(x)l-x材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院263、作剪力圖和彎矩圖FS圖lMlM圖MalMbMBlACab分析外力偶分別移到左右兩端時(shí)的內(nèi)力圖！并作總結(jié)！材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院27

由剪力、彎矩圖知：在集中力偶作用點(diǎn)，彎矩圖發(fā)生突變，其突變值為集中力偶的大小。結(jié)構(gòu)對稱、外力對稱時(shí)，剪力圖為反對稱，彎矩圖為正對稱。結(jié)構(gòu)對稱、外力反對稱時(shí)，剪力圖為正對稱，彎矩圖為反對稱。由剪力、彎矩圖知：在集中力作用點(diǎn)，剪力圖發(fā)生突變，其突變值等于集中力的大小。FabClABMFSFSMabClABM材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院28剪力圖形狀：位于軸線上最左端的小球在外力作用下升降或無外力作用下平行于軸線移動(dòng)到軸線上最右端所形成的軌跡。簡支梁受簡單荷載作用下的彎矩圖形狀：柔性體在荷載作用下變形所形成的形狀。懸臂受簡單荷載作用下的彎矩圖形狀FlqlABFlABMlABM特別要指出的是：左右端面的內(nèi)力等于相應(yīng)的外力！即端面彎矩等于外力偶，若無外力偶作用，則端面彎矩為零！材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院29三、剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系對dx微段分析，由F=0dxxq(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)FS(x)M(x)dxA剪力圖上某點(diǎn)切線的斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大小q(x)向上為正x坐標(biāo)向右為正材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院30彎矩圖上某點(diǎn)處切線的斜率等于該點(diǎn)剪力的大小。彎矩與荷載集度的關(guān)系是：q(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)FS(x)M(x)dxA材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院31

剪力、彎矩與分布荷載間的積分關(guān)系由微分關(guān)系積分得條件：x1>x2

，且x1到x2間無集中力作用。條件：x1>x2

，且x1到x2間無集中力偶作用。即用此式配合剪力圖面積可以跳躍式計(jì)算某截面的彎矩！x1到x2間剪力圖面積材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院32二、剪力、彎矩與外力間的關(guān)系外力FS圖特征M圖特征無外力段q=0水平直線xFSFS>0FSFS<0x斜直線xM增函數(shù)xM減函數(shù)

集中力CFxFSCFS1FS2FS1–FS2=F自左向右突變自左向右折角xM折向與F反向集中力偶CMxFSC無變化自左向右突變MxM1M2曲線xM上凸均布荷載段斜直線增函數(shù)xFSxFS減函數(shù)xM下凸q>0q<0材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院33剪力圖和彎矩圖的定性分析FSFFF1F3F4FFF1M1F3F4M2qqF5F5MM1M2材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院34解:特殊點(diǎn)①端點(diǎn)；②分區(qū)點(diǎn)（外力變化點(diǎn)），即集中力（力偶）作用點(diǎn)，分布力開始和結(jié)束點(diǎn)等；③駐點(diǎn)(剪力為零，彎矩取極值)。四、作內(nèi)力圖的簡捷方法利用內(nèi)力和外力的關(guān)系及特殊點(diǎn)的內(nèi)力值來作圖的方法。用簡捷作圖法畫圖示梁的內(nèi)力圖。aaqaqA材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院35；線形：根據(jù)及集中荷載點(diǎn)的規(guī)律確定。FSqa2Mqa2qaaaqaqA材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院36解：求約束力M的駐點(diǎn)：3qa2/8用簡捷法畫簡支梁的內(nèi)力圖。Dqqaqa2ABCaaaFAFDMqa2/2－+qa2/2qa2/2FSqa/2－+－qa/2qa/2材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院37解：求約束力FS3(kN)4.2M(kN·m)3.81.413－+－3.82.22.1mE－++外伸梁AB承受荷載如圖所示，作該梁內(nèi)力圖。DABC1m1m4m3kN2kN/m6kN·mFAFB材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院38畫出圖示有中間鉸的靜定梁的剪力圖和彎矩圖1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/mM=5kN·mF=50kNMA

FAyFByMA=96.5kN，F(xiàn)Ay=81kN，F(xiàn)By=29kN813129FS圖(kN)1.45m96.515.53155345M圖(kN·m)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院39適用條件：所求參數(shù)（內(nèi)力、應(yīng)力、位移）必須與荷載滿足線性關(guān)系。即在彈性限度內(nèi)滿足虎克定律。五、按疊加原理作彎矩圖1、疊加原理：

多個(gè)荷載同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的內(nèi)力等于每個(gè)荷載單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起內(nèi)力的代數(shù)和。材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院402、材料力學(xué)構(gòu)件小變形、線性范圍內(nèi)必遵守此原理

——疊加方法步驟：①分別作出各項(xiàng)荷載單獨(dú)作用下梁的彎矩圖；②將其相應(yīng)的縱坐標(biāo)疊加即可（注意：不是圖形的簡單拼湊）。3、對稱性與反對稱性的應(yīng)用

對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下，F(xiàn)S圖反對稱，M圖對稱；對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下，F(xiàn)S圖對稱，M圖反對稱。材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院41

=+FABqABM1=+M2+++M按疊加原理作圖示簡支梁的彎矩圖。qFABaa材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院42+FlMFFlllFllFlll0.5FlM20.5Fl–+M10.5Fl+材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院43M（1）選定外力的不連續(xù)點(diǎn)(如集中力、集中力偶的作用點(diǎn)，分布力的起點(diǎn)和終點(diǎn)等)為控制截面，求出控制截面的彎矩值。（2）分段畫彎矩圖。當(dāng)控制截面之間無荷載時(shí)，該段彎矩圖是直線圖形。當(dāng)控制截面之間有荷載時(shí)，用疊加法作該段的彎矩圖。利用內(nèi)力圖的特性和彎矩圖疊加法，將梁彎矩圖的一般作法歸納如下：2FCl/2ABFl/2l/2材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院44區(qū)段疊加法作彎矩圖

設(shè)簡支梁同時(shí)承受跨間荷載q與端部力偶MA、MB的作用。其彎矩圖可由簡支梁受端部力偶作用下的直線彎矩圖與跨間荷載q單獨(dú)作用下簡支梁彎矩圖疊加得到。即BMBAqMAl注意：中間數(shù)值不一定是該段拋物線的極值！+MBMA+MBMAql2/8中間值+ql2/8材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院45FS圖5qa/3qa/38a/34qa2/3M圖qa2/185qa2/3作圖示梁的剪力圖和彎矩圖。B3aACMe=3qa2aq解：支座約束力為：FAFB材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院4649qa2/325qa2/4改內(nèi)力圖之錯(cuò)。7qa/4FSM––++qa/4qa/43qa/4qa2/4qBAa2aaqa23qa2/2材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院475kN1kNq=2kN/mM(kN·m)+111.25–已知FS圖，作外荷載圖及彎矩圖（梁上無集中力偶）。FS(kN)1m1m2m231++－材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院48qlqqlq作圖示斜梁的彎矩圖彎矩方程為xx彎矩方程為0qlsinq均布荷載按水平尺寸計(jì)算材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院49qlqqlqx彎矩方程為x彎矩方程為0qltanq均布荷載按桿軸線尺寸計(jì)算材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院50條件：完全等價(jià)必須滿足q1lqx均布荷載按水平尺寸計(jì)算q2lqx均布荷載按桿軸線尺寸計(jì)算即材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院511、平面剛架：同一平面內(nèi)不同取向的桿件，通過桿端相互

剛性連接(變形后夾角不變)而組成的結(jié)構(gòu)。特點(diǎn)：剛架各桿的內(nèi)力通常有：FN、

FS

、M

。2、內(nèi)力圖規(guī)定彎矩圖：畫在各桿的受拉一側(cè)，不注明正、負(fù)號。剪力圖及軸力圖：可畫在剛架軸線的任一側(cè)(通常正值畫在剛架的外側(cè))，但須注明正、負(fù)號?！?.3平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖一、平面剛架3、內(nèi)力圖畫法可將剛節(jié)點(diǎn)視為固定端，剛架由不同取向的懸臂梁組成。材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院52F2+FS圖F1+–FN

圖F1F1aM圖F1aF1a+F2ll試作圖示剛架的內(nèi)力圖。F1F2aABC材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院532qaFN圖2qa2qaFS圖2qa26qa2M圖試作圖示剛架的內(nèi)力圖。F=2qaBCA2aa2aDq材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院54二、平面曲桿：軸線為一平面曲線的桿件。

內(nèi)力情況及繪制方法與平面剛架相同。如圖所示，已知F及R

，試?yán)L制M

、FS

、FN圖。OFRqmmx解：建立極坐標(biāo)，O為極點(diǎn)，OB

極軸，q表示截面m–m的位置。AB材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院55OFRqmmxABABOM圖OO+FS圖FN

圖2FRFF–+材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院56qABFFlxxC起吊一根自重為q(N/m)的等截面梁。起吊點(diǎn)位置x應(yīng)為多少才最合理？提示：使梁的最大正彎矩與最大負(fù)彎矩的絕對值相等。解：x為負(fù)值無意義取材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院571、彎曲構(gòu)件橫截面上的應(yīng)力MFSFSt切應(yīng)力t內(nèi)力剪力FS彎矩M正應(yīng)力sMs§4.4平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力剪力是位于橫截面內(nèi)的內(nèi)力系的合力，而剪力只與切應(yīng)力t有關(guān)。彎矩是垂直于橫截面的內(nèi)力系的合力偶矩；彎矩M只與橫截面上的正應(yīng)力s有關(guān)。材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院58純某段梁的內(nèi)力只有彎矩沒彎

有剪力時(shí)，該段梁的變形曲

稱為純彎曲，如AB段。MM橫力彎曲

某段梁的內(nèi)力既有彎矩，又有剪力時(shí)，該段梁的變形稱為橫力彎曲，如AB以外段。

FFaaABFSMFFFa材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院592、研究方法平面彎曲取縱向?qū)ΨQ面研究FAAFFB對稱軸縱對稱面FB

F縱向?qū)ΨQ面F材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院601、梁的純彎曲實(shí)驗(yàn)（一）變形幾何規(guī)律一、純彎曲時(shí)梁橫截面

上的正應(yīng)力中性層縱向?qū)ΨQ面中性軸ababMeMe

橫向線(ab、ab）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動(dòng)；縱向線變?yōu)榍€，且上面壓縮，下面伸長；各縱向線間距不變。橫向線與縱向線變形后仍正交。bbaa材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院612、兩個(gè)概念中性層：梁內(nèi)一層縱向線段既不伸長也不縮短，因而縱向線段不受正應(yīng)力作用，此層縱向線段構(gòu)成中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。中性層縱向?qū)ΨQ面中性軸意中性層將梁分成兩個(gè)上下區(qū)域：凹側(cè)縱向線段受壓縮短，凸側(cè)縱向線段受拉伸長。而中性軸上的正應(yīng)義力為零。義彎曲變形可看作是橫截面繞自己的中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)。材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院623、推論平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，與中性層平行平面的各縱向線段變形相等。橫截面上只有正應(yīng)力。

y

軸——縱對稱軸

z

軸——中性軸

yy坐標(biāo)相同的點(diǎn)所在縱向線段變形相同，因而應(yīng)力相同，所以

s

x=s(y)橫截面

yz材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院634、幾何方程b1MMmmnnaabbr——中性層的曲率半徑CbbryO1O2dqdxmmnn放大中性層縱向線段變性前后長度不變變性后長度mabmanbndx材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院64（二）物理關(guān)系假設(shè)：各縱向線段之間的距離不變，因而縱向線段互不擠壓，即沒有垂直于軸線的正應(yīng)力。于是，任意一點(diǎn)均處于單向應(yīng)力狀態(tài)。sxsx即橫截面上的正應(yīng)力沿垂直于中性軸的方向按直線規(guī)律變化。stmax

Mscmax材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院65（三）靜力學(xué)關(guān)系對稱彎曲時(shí)y軸為對稱軸，此條件自動(dòng)滿足。有以上分析可知，y、z軸為形心主慣性軸！得Sz=0，即中性軸z必過截面形心，所以中性軸一定是形心軸。zOyzdAsdAyx材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院66得這是純彎梁變形時(shí)中性層曲率的表達(dá)式。其中EIz稱為梁的抗彎剛度。代入上式zOyzdAsdAyx材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院67

彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式

彎曲正應(yīng)力沿截面高度線性分布，中性軸上為零，距中性軸越遠(yuǎn)，數(shù)值越大。橫截面上的正應(yīng)力沿垂直于中性軸的方向按直線規(guī)律變化。smax

M材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院68當(dāng)中性軸

z不是橫截面的對稱軸時(shí)Ozyyt,maxyc,max材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院69

當(dāng)中性軸

z為橫截面的對稱軸時(shí)稱為抗彎截面系數(shù)(模量)，單位：m3或mm3。中性軸為對稱軸時(shí)才有，中性軸不是對稱軸時(shí)不存在。根據(jù)變形來判斷最大拉壓應(yīng)力，其數(shù)值相等。smax

Mzybhyzd材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院70簡單截面的抗彎截面系數(shù)⑴矩形截面zybh⑵圓形截面yzd材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院71(4)型鋼截面：參見型鋼表式中⑶空心圓截面DOdyz材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院72橫力彎曲時(shí)：①由于切應(yīng)力的存在使梁的橫截面發(fā)生翹曲；②橫向力還使各縱向線之間發(fā)生擠壓。平面假設(shè)和縱向線之間無擠壓的假設(shè)實(shí)際上都不再成立。二、橫力彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力1、橫力彎曲變形特點(diǎn)2、橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力Fq

采用純彎曲正應(yīng)力公式，當(dāng)梁的跨高比l/h≥5時(shí)，誤差d<1%，因此，對細(xì)長梁，無論純彎曲還是橫力彎曲，橫截面上的正應(yīng)力都可用下式計(jì)算：材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院73

解：1、作彎矩圖如上M圖375KN·m2、查型鋼表得56號工字鋼圖示簡支梁由56a號工字鋼制成，已知F=150kN。試求危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力smax

和同一橫截面上翼緣與腹板交界處a點(diǎn)處的正應(yīng)力sa

。B5m10mAFC12.521166560za材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院743、求正應(yīng)力為12.521166560za材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院75解：1、確定截面形心位置選參考坐標(biāo)系yoz'如圖示，將截面分解為I和II兩部分，形心C的縱坐標(biāo)為:如圖所示懸臂梁，自由端承受集中荷載F=15kN作用。試計(jì)算截面B—B的最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力。400BBF2012020120IIIz'CzyyCO材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院762、計(jì)算截面慣性矩3、計(jì)算最大彎曲正應(yīng)力截面B—B的彎矩為MB=6kNm

在截面B的上、下邊緣，分別作用有最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，其值分別為：2012020120IIIz'CzyyCO材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院771、兩點(diǎn)假設(shè)

①切應(yīng)力與剪力平行；

②與中性軸等距離處，

切應(yīng)力相等。2、研究方法：分離體平衡。

①在梁上取微段如圖1；dxxFS(x)+dFS(x)M(x)M(x)+dM(x)FS(x)dx圖1圖2xyzFN2t1tbFN1②在微段上取一塊如圖2，平衡§4.5梁橫截面上的切應(yīng)力一、矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院78由切應(yīng)力互等定理其中Sz*

為y點(diǎn)以下的面積對中性軸之靜矩；M(x)+dM(x)dxxFS(x)+dFS(x)M(x)FS(x)dx圖1圖2xyzFN2t1tbFN1材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院79

FS

——整個(gè)橫截面的剪力

Sz﹡——計(jì)算點(diǎn)外側(cè)面積A﹡對中性軸的靜矩Iz——整個(gè)截面對中性軸的形心主慣性矩

b——計(jì)算點(diǎn)處截面有效寬度

yFSyzhbtA﹡箱形截面有效寬度b=2dddB材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院80（上、下邊緣）t

=0y=0（中性軸）∴3、矩形截面切應(yīng)力的分布hzyybtt

沿截面高度按拋物線規(guī)律分布tmaxzyOtmax材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院811、腹板上的切應(yīng)力二、工字形截面梁ydhzOdbtys

dAzyOA*dxtt'x材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院82腹板與翼緣交界處Sz*最小，切應(yīng)力取最小值中性軸處Sz*最大，切應(yīng)力取最大值tmaxtmintmaxzyO材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院832、翼緣上的切應(yīng)力①因?yàn)橐砭壍纳?、下表面無切應(yīng)力，所以翼緣上、下邊緣處平行于y軸的切應(yīng)力為零。(1)平行于y軸的切應(yīng)力可見翼緣上平行于y軸的切應(yīng)力很小，工程上一般不考慮。②計(jì)算表明，工字形截面梁的腹板承擔(dān)的剪力ydhzOdbty材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院84dht1t1'dxA*(2)垂直于y軸的切應(yīng)力ydhzOdbt1y材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院85即翼緣上垂直于y軸的切應(yīng)力隨按線性規(guī)律變化。

且通過類似的推導(dǎo)可以得知，薄壁工字剛梁上、下翼緣與腹板橫截面上的切應(yīng)力指向構(gòu)成了“切應(yīng)力流”。tmaxzyOtmaxtmint1max材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院86三、圓截面梁關(guān)于其切應(yīng)力分布的假設(shè)：1、離中性軸為任意距離y的水平直線段上各點(diǎn)處的切應(yīng)力匯交于一點(diǎn)；2、這些切應(yīng)力沿y方向的分量ty沿寬度相等。切應(yīng)力的分布特征：邊緣各點(diǎn)切應(yīng)力的方向與圓周相切；切應(yīng)力分布與y軸對稱；與y軸相交各點(diǎn)處的切應(yīng)力其方向與y軸一致。zyOtmaxkk'O'd材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院87最大切應(yīng)力tmax

在中性軸z處yzOC2d/3pzyOtmaxkk'O'd材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院88四、薄壁圓環(huán)形截面中性軸上各點(diǎn)：t∥FS，均勻分布t

maxyzO總結(jié)以上截面，其最大切應(yīng)力為矩形截面實(shí)心圓截面空心圓環(huán)截面材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院891、危險(xiǎn)面與危險(xiǎn)點(diǎn)分析①一般截面，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩絕對值最大的截面的上下邊緣上；最大切應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對值最大的截面的中性軸處。sst一、梁的正應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件§4.4～§4.5梁的抗彎強(qiáng)度條件sMFSt材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院902、正應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件②帶翼緣的薄壁截面，最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力的情況與上述相同；還有一個(gè)可能危險(xiǎn)的點(diǎn)，在FS

和M均很大的截面的腹板和翼緣相交處。（以后講）正應(yīng)力強(qiáng)度條件sMFSttsts中性軸為橫截面對稱軸的等直梁材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院91為充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度，最合理的設(shè)計(jì)為拉、壓強(qiáng)度不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁Ozyyt,maxyc,max材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院92切應(yīng)力強(qiáng)度條件一般講，梁的強(qiáng)度主要考慮正應(yīng)力，但在下列情況下，也校核切應(yīng)力強(qiáng)度。①

梁跨度較小，或支座附近有較大荷載；②

T形、工字形等薄壁截面梁；③

焊接、鉚接、膠合而成的梁，要對焊縫、膠合面等進(jìn)行剪切強(qiáng)度計(jì)算。材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院93①校核強(qiáng)度②設(shè)計(jì)截面尺寸③確定許可荷載3、強(qiáng)度條件應(yīng)用：依此強(qiáng)度準(zhǔn)則可進(jìn)行三種強(qiáng)度計(jì)算：確定截面尺寸設(shè)計(jì)截面時(shí)驗(yàn)證材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院94解：畫內(nèi)力圖求危險(xiǎn)面內(nèi)力如圖矩形截面(bh=0.12m0.18m)

木梁，[]=7MPa，[]=0.9MPa，求最大正應(yīng)

力和最大切應(yīng)力之比，并校核梁的強(qiáng)度。Bq=3.6kN/mAl=3m求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度應(yīng)力之比MFS－++材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院952.54M(kNm)+－T字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的許用應(yīng)力分別為[st

]=30MPa，[sc

]=60MPa，其截面形心位于C點(diǎn)，y1=52mm，y2=88mm，Iz=763cm4

，試校核此梁的強(qiáng)度。并說明T字梁怎樣放置更合理？BA1m1m1mF1=9kNF2=4kNDEy1Cy2A1A2A3A4解：畫彎矩圖并求危險(xiǎn)面內(nèi)力下拉，上壓下壓，上拉畫危險(xiǎn)面應(yīng)力分布圖，找危險(xiǎn)點(diǎn)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院962.54M(kNm)+－y1Cy2A1A2A3A4校核強(qiáng)度T字頭在上面合理。

若改成右圖放置，不合理。y2Cy1A3A4材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院97解：約束力為1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_內(nèi)力圖及截面內(nèi)力圖示T形梁，已知[sc]

=100MPa，[st]

=50MPa，[t]=40MPa，yC=17.5mm，Iz=18.2×104mm4。求：1、D左側(cè)截面E點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力；2、校核梁的正應(yīng)力、切應(yīng)力強(qiáng)度條件。AB1kN1kN/mD1m1m1mC40401010yCEz材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院98該梁滿足強(qiáng)度要求C40401010yCEz1FS(kN)0.250.75_+M(kN.m)0.25+_0.5BD材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院99解：根據(jù)截面最為合理的要求因?yàn)榭玳Ll=2m的鑄鐵梁受力如圖，已知鑄鐵的許用拉應(yīng)力[st]=30MPa，許用壓應(yīng)力[sc]=90MPa。試根據(jù)截面最為合理的要求，確定T形梁橫截面的尺寸d，并校核梁的強(qiáng)度。1m1mBAF=80kNDy2z60220y280Cy1d材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院100求得整個(gè)T型截面對中性軸的慣性矩為梁上的最大彎矩于是最大壓應(yīng)力為即梁滿足強(qiáng)度要求。Csc,maxst,maxz為何不進(jìn)行拉應(yīng)力強(qiáng)度校核？y2z60220y280Cy1d=24材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院101

解：1、梁的約束力為Fb/2Fb/4發(fā)生在截面B發(fā)生在截面D圖示槽形截面鑄鐵梁，已知：b=2m，鑄鐵的許用拉應(yīng)力[st]=30MPa，許用壓應(yīng)力[sc]=90MPa。截面對中性軸的慣性矩Iz=5493104mm4，

求梁的許可荷載[F]。BF

Ebq=F/bDbbAzyC86134401801202020FBFA

材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院1022、計(jì)算最大拉、壓正應(yīng)力可見壓應(yīng)力強(qiáng)度條件由D截面控制，拉應(yīng)力強(qiáng)度條件則B、D截面都要考慮。B截面壓應(yīng)力拉應(yīng)力拉應(yīng)力D截面壓應(yīng)力考慮截面BFb/2Fb/4BDzyC86134401801202020材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院103考慮截面D因此梁的強(qiáng)度由截面D上的最大拉應(yīng)力控制Fb/2Fb/4BDzyC86134401801202020材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院104ql2FS

ql28l/2M

解：

1、內(nèi)力圖及最大彎矩、最大剪力跨度l=4m的箱形截面簡支梁，沿全長受均布荷載q作用，該梁是用四塊木板膠合而成如圖所示。已知材料為紅松，許用正應(yīng)力[s]=10MPa，許用切應(yīng)力[t]=1MPa，膠合縫的許用切應(yīng)力[t']=0.5MPa。試求該梁的容許荷載集度q的值。ABlqyz2010010018024020C4545材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院1052、由正應(yīng)力確定許可荷載3、校核切應(yīng)力強(qiáng)度條件yz2010010018024020C4545材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院106切應(yīng)力強(qiáng)度條件滿足，所以容許荷載集度[q]=6kN/m。yz2010010018024020C4545材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院107用兩根鋼軌鉚接成組合梁,其連接情況如圖所示。每根鋼軌的橫截面面積A=8000mm2，形心距底邊高度c=80mm，每一鋼軌橫截面對其自身