第八章空間直角坐標(biāo)系

莫興德廣西大學(xué)數(shù)信學(xué)院Email:moxingde@微積分鏈接目錄第一章函數(shù)第二章極限與連續(xù)第三章導(dǎo)數(shù)與微分第四章

中值定理,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第五章不定積分第六章定積分第七章

無(wú)窮級(jí)數(shù)(不要求)第八章多元函數(shù)第九章微分方程復(fù)習(xí)參考書(shū)[1]趙樹(shù)嫄.微積分.中國(guó)人民出版社[2]同濟(jì)大學(xué).高等數(shù)學(xué).高等教育出版社第八章

空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系這一章，我們?yōu)閷W(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分學(xué)作準(zhǔn)備，介紹空間解析幾何和向量代數(shù)。這是兩部分相互關(guān)聯(lián)的內(nèi)容。用代數(shù)的方法研究空間圖形就是空間解析幾何，它是平面解析幾何的推廣。向量代數(shù)則是研究空間解析幾何的有力工具。這部分內(nèi)容在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域中有著十分廣泛的應(yīng)用，同時(shí)也是一種很重要的數(shù)學(xué)工具。本章先引入空間直角坐標(biāo)系，把點(diǎn)和有序數(shù)組、空間圖形和代數(shù)方程聯(lián)系起來(lái)，建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系，給數(shù)和代數(shù)方程以幾何直觀意義，從而可以利用代數(shù)方法研究空間圖形的性質(zhì)和相互關(guān)系；接著介紹向量概念，然后以向量代數(shù)為工具，重點(diǎn)討論空間基本圖類(lèi)——平面，直線(xiàn)，常用的曲面和曲線(xiàn)。重點(diǎn)向量及其坐標(biāo)表示向量的數(shù)量積，向量積直線(xiàn)與平面方程難點(diǎn)空間圖形的想象能力和描繪能力基本要求①弄清空間直角坐標(biāo)系概念，會(huì)求兩點(diǎn)間的距離②掌握向量概念，會(huì)用坐標(biāo)表示向量③掌握向量代數(shù)的基本知識(shí)④熟記兩向量平行、垂直，三向量共面的條件并能正確運(yùn)用。⑤掌握平面方程的各種形式，會(huì)求平面方程，會(huì)判斷兩平面是否平行、垂直，會(huì)求兩平面的夾角及點(diǎn)到平面的距離⑥掌握直線(xiàn)方程的各種形式，會(huì)求直線(xiàn)方程，掌握兩直線(xiàn)平行、垂直的條件，直線(xiàn)與平面平行、垂直的條件，兩直線(xiàn)的夾角，直線(xiàn)和平面的夾角⑦掌握曲面方程、旋轉(zhuǎn)曲面、柱面、二次曲面和曲線(xiàn)方程概念，了解空間常用二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)用“截痕法”畫(huà)出其簡(jiǎn)圖橫軸縱軸豎軸定點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向符合右手系.一、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)Ⅶ面面面空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空間的點(diǎn)有序數(shù)組特殊點(diǎn)的表示:坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn)二、空間兩點(diǎn)間的距離空間兩點(diǎn)間距離公式特殊地：若兩點(diǎn)分別為解原結(jié)論成立.解設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為所求點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系空間兩點(diǎn)間距離公式（注意它與平面直角坐標(biāo)系的區(qū)別）（軸、面、卦限）三、小結(jié)思考題在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點(diǎn)在哪個(gè)卦限？思考題解答A:Ⅳ;B:Ⅴ;C:Ⅷ;D:Ⅲ;曲面及其方程水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等．曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡．曲面方程的定義：曲面的實(shí)例：一、曲面方程的概念以下給出幾例常見(jiàn)的曲面.解根據(jù)題意有所求方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為解根據(jù)題意有所求方程為根據(jù)題意有化簡(jiǎn)得所求方程解例4方程的圖形是怎樣的？根據(jù)題意有圖形上不封頂，下封底．解以上幾例表明研究空間曲面有兩個(gè)基本問(wèn)題：（2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀．（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論柱面、二次曲面）（1）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程．二、旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線(xiàn)繞其平面上的一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線(xiàn)叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．播放旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的特征：如圖將代入將代入得方程平面曲線(xiàn)繞某軸旋轉(zhuǎn)，軸坐標(biāo)變量不變，而將曲線(xiàn)方程中的另一變量改寫(xiě)成該變量與第三個(gè)變量的平方和的正負(fù)平方根。解

圓錐面方程例6將下列各曲線(xiàn)繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程．旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)拋物面播放as定義三、柱面觀察柱面的形成過(guò)程:平行于定直線(xiàn)并沿定曲線(xiàn)移動(dòng)的直線(xiàn)所形成的曲面稱(chēng)為柱面.這條定曲線(xiàn)叫柱面的準(zhǔn)線(xiàn)，動(dòng)直線(xiàn)L叫柱面的母線(xiàn).柱面舉例拋物柱面平面從柱面方程看柱面的特征：（其他類(lèi)推）實(shí)例橢圓柱面//軸雙曲柱面//軸拋物柱面//軸曲面方程的概念旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法.柱面的概念(母線(xiàn)、準(zhǔn)線(xiàn)).四、小結(jié)思考題指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？思考題解答平面解析幾何中空間解析幾何中斜率為1的直線(xiàn)方程空間曲線(xiàn)及其方程空間曲線(xiàn)的一般方程曲線(xiàn)上的點(diǎn)都滿(mǎn)足方程，滿(mǎn)足方程的點(diǎn)都在曲線(xiàn)上，不在曲線(xiàn)上的點(diǎn)不能同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)方程.空間曲線(xiàn)C可看作空間兩曲面的交線(xiàn).特點(diǎn)：一、空間曲線(xiàn)的一般方程例1方程組表示怎樣的曲線(xiàn)？解表示圓柱面，表示平面，交線(xiàn)為橢圓.例2方程組表示怎樣的曲線(xiàn)？解上半球面,圓柱面,交線(xiàn)如圖.空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程二、空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程動(dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)t時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)螺旋線(xiàn)的參數(shù)方程取時(shí)間t為參數(shù)，解螺旋線(xiàn)的參數(shù)方程還可以寫(xiě)為螺旋線(xiàn)的重要性質(zhì)：上升的高度與轉(zhuǎn)過(guò)的角度成正比．即上升的高度螺距消去變量z后得：曲線(xiàn)關(guān)于的投影柱面設(shè)空間曲線(xiàn)的一般方程：以此空間曲線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)，垂直于所投影的坐標(biāo)面.投影柱面的特征：三、空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影如圖:投影曲線(xiàn)的研究過(guò)程.空間曲線(xiàn)投影曲線(xiàn)投影柱面類(lèi)似地：可定義空間曲線(xiàn)在其他坐標(biāo)面上的投影面上的投影曲線(xiàn),面上的投影曲線(xiàn),空間曲線(xiàn)在面上的投影曲線(xiàn)例4求曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影.解（1）消去變量z后得在面上的投影為所以在面上的投影為線(xiàn)段.（3）同理在面上的投影也為線(xiàn)段.（2）因?yàn)榍€(xiàn)在平面上，截線(xiàn)方程為解如圖,補(bǔ)充:空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影.空間立體曲面例6解半球面和錐面的交線(xiàn)為一個(gè)圓,空間曲線(xiàn)的一般方程、參數(shù)方程．四、小結(jié)空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影．思考題思考題解答交線(xiàn)方程為在面上的投影為平面及其方程平面和直線(xiàn)是最簡(jiǎn)單和最基本的空間圖形。本節(jié)和下節(jié)我們將以向量作為工具討論平面和直線(xiàn)的問(wèn)題。介紹平面和直線(xiàn)的各種方程及線(xiàn)面關(guān)系、線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系。確定一個(gè)平面可以有多種不同的方式，但在解析幾何中最基本的條件是：平面過(guò)一定點(diǎn)且與定向量垂直。這主要是為了便于建立平面方程，同時(shí)我們將會(huì)看到許多其它條件都可轉(zhuǎn)化為此。先介紹平面的點(diǎn)法式方程

如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線(xiàn)向量．法線(xiàn)向量的特征：垂直于平面內(nèi)的任一向量．已知設(shè)平面上的任一點(diǎn)為必有一、平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程其中法向量已知點(diǎn)若取平面的另一法向量此時(shí)由于平面方程為平面上的點(diǎn)都滿(mǎn)足上方程，不在平面上的點(diǎn)都不滿(mǎn)足上方程，上方程稱(chēng)為平面的方程，平面稱(chēng)為方程的圖形．解取所求平面方程為化簡(jiǎn)得一般地過(guò)不共線(xiàn)的三點(diǎn)的平面的法向量平面方程為——三點(diǎn)式方程取法向量化簡(jiǎn)得所求平面方程為解由平面的點(diǎn)法式方程平面的一般方程法向量二、平面的一般方程平面一般方程的幾種特殊情況：平面通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過(guò)軸；平面平行于軸；平面平行于坐標(biāo)面；類(lèi)似地可討論情形.類(lèi)似地可討論情形.設(shè)平面為由平面過(guò)原點(diǎn)知所求平面方程為解設(shè)平面為將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得解將代入所設(shè)方程得平面的截距式方程設(shè)平面為由所求平面與已知平面平行得（向量平行的充要條件）解化簡(jiǎn)得令代入體積式所求平面方程為例6求過(guò)點(diǎn)且平行于z軸的平面方程解一用點(diǎn)法式設(shè)所求平面的法向量為則由點(diǎn)法式得，所求平面的方程為即解二用一般式因平面平行于z軸，故可設(shè)平面方程為在平面上解得所求平面方程為即由以上幾例可見(jiàn)，求平面方程的基本思路和基本步驟：兩定——定點(diǎn)，定向定義（通常取銳角）兩平面法向量之間的夾角稱(chēng)為兩平面的夾角.三、兩平面的夾角按照兩向量夾角余弦公式有兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：//例7研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：解兩平面相交，夾角兩平面平行兩平面平行但不重合．兩平面平行兩平面重合.例8一平面過(guò)點(diǎn)且垂直于平面求其方程解設(shè)所求平面的法向量為在所求平面上又所求平面與已知平面垂直解得代入點(diǎn)法式方程并整理得解點(diǎn)到平面距離公式平面的方程（熟記平面的幾種特殊位置的方程）兩平面的夾角.點(diǎn)到平面的距離公式.點(diǎn)法式方程.一般方程.截距式方程.（注意兩平面的位置特征）四、小結(jié)思考題思考題解答直線(xiàn)及其方程定義空間直線(xiàn)可看成兩平面的交線(xiàn)．空間直線(xiàn)的一般方程一、空間直線(xiàn)的一般方程方向向量的定義：如果一非零向量平行于一條已知直線(xiàn)，這個(gè)向量稱(chēng)為這條直線(xiàn)的方向向量．//二、空間直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程與參數(shù)方程直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程令直線(xiàn)的一組方向數(shù)方向向量的余弦稱(chēng)為直線(xiàn)的方向余弦.直線(xiàn)的參數(shù)方程例1求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程解因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)兩點(diǎn)因此可取作為直線(xiàn)的方向向量由點(diǎn)向式即得所求直線(xiàn)的方程為——直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程例2用對(duì)稱(chēng)式方程及參數(shù)方程表示直線(xiàn)解一用點(diǎn)向式在直線(xiàn)上任取一點(diǎn)取解得點(diǎn)坐標(biāo)因所求直線(xiàn)與兩平面的法向量都垂直取對(duì)稱(chēng)式方程參數(shù)方程解二用兩點(diǎn)式已求出一點(diǎn)再求出一點(diǎn)令得解得點(diǎn)坐標(biāo)所求直線(xiàn)方程為參數(shù)方程解三由兩式相加得代入方程組得即——稱(chēng)為投影方程實(shí)際上這就是所求直線(xiàn)的參數(shù)方程對(duì)稱(chēng)式方程解所以交點(diǎn)為取所求直線(xiàn)方程由以上幾例可見(jiàn)，求直線(xiàn)方程的思路、步驟：兩定——定點(diǎn)、定向例4求過(guò)點(diǎn)A(1,2,－2),且通過(guò)直線(xiàn)L的平面方程解設(shè)所求平面的法向量為由題設(shè)知點(diǎn)為直線(xiàn)L上一點(diǎn)其方向向量由于所求平面通過(guò)點(diǎn)A及L由點(diǎn)法式得所求平面方程為即例5求直線(xiàn)與平面的交點(diǎn)解所給直線(xiàn)的參數(shù)方程為代入平面方程，得解得將代入直線(xiàn)的參數(shù)方程，即得所求交點(diǎn)的坐標(biāo)為即交點(diǎn)為定義直線(xiàn)直線(xiàn)^兩直線(xiàn)的方向向量的夾角稱(chēng)之.（銳角）兩直線(xiàn)的夾角公式三、兩直線(xiàn)的夾角兩直線(xiàn)的位置關(guān)系：//直線(xiàn)直線(xiàn)例如，解設(shè)所求直線(xiàn)的方向向量為根據(jù)題意知取所求直線(xiàn)的方程解先作一過(guò)點(diǎn)M且與已知直線(xiàn)垂直的平面再求已知直線(xiàn)與該平面的交點(diǎn)N,令代入平面方程得,交點(diǎn)取所求直線(xiàn)的方向向量為所求直線(xiàn)方程為定義直線(xiàn)和它在平面上的投影直線(xiàn)的夾角稱(chēng)為直線(xiàn)與平面的夾角．^^四、直線(xiàn)與平面的夾角直線(xiàn)與平面的夾角公式直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系：//解為所求夾角．五、平面束設(shè)有直線(xiàn)考慮其中因不成比例故不全為0從而表示一個(gè)平面若一點(diǎn)在上滿(mǎn)足和的方程則點(diǎn)的坐標(biāo)必同時(shí)則點(diǎn)的坐標(biāo)也滿(mǎn)足因而表示過(guò)的平面對(duì)于的不同值表示過(guò)的所有平面——過(guò)的平面束一般在具體應(yīng)用時(shí)，常取而考慮缺或的平面束例9求直線(xiàn)在平面上的投影直線(xiàn)的方程[分析]過(guò)所給直線(xiàn)