第六章剛體動力學(xué)1

UniversityPhysicsXi’anJiaotongUniversityAipingFang

apfang@3/27/2008

第六章剛體動力學(xué)6-1轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動慣量一、轉(zhuǎn)動動能zO設(shè)剛體包括有N

個質(zhì)量元,其動能為各質(zhì)量元速度不同，但角速度相同剛體的總動能P?取J

為剛體對一定軸的轉(zhuǎn)動慣量UniversityphysicsAPFang繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與其角速度平方乘積的一半結(jié)論二、轉(zhuǎn)動慣量的計算定義式質(zhì)量不連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布dmmzUniversityphysicsAPFang(2)當(dāng)剛體質(zhì)量一定，J與質(zhì)量分布有關(guān)例：圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量dmOmR轉(zhuǎn)動慣量的三個要素(1)J與剛體的總質(zhì)量有關(guān)例：兩根等長、質(zhì)量均勻分布的細木棒和細鐵棒繞端點軸轉(zhuǎn)動慣量LzOxdmM?x質(zhì)量分布的均勻性對圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量有影響嗎?問題：UniversityphysicsAPFangOLxdmMzLOxdmMz(3)J與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)例：質(zhì)量均勻分布的圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量ROmrdrUniversityphysicsAPFang例：求均勻細棒對其一端點的轉(zhuǎn)動慣量ML平行軸定理zLCMz'剛體繞任意軸剛體繞通過質(zhì)心的軸兩軸間垂直距離結(jié)論：剛體的轉(zhuǎn)動慣量與剛體的質(zhì)量、形狀、大小、密度和轉(zhuǎn)軸的位置均有關(guān)。?國際單位制：UniversityphysicsAPFang

對薄平板剛體的垂直軸定理

y

rix

z

yi

xi

miΔ

o（僅對薄剛體板成立）

例：求對圓盤的一條直徑的轉(zhuǎn)動慣量已知垂直軸定理

yx

z

圓盤

R

C

mUniversityphysicsAPFang求空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量例：解：為兩個實心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量的差值圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量為實心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為zR1R2lmUniversityphysicsAPFang求均勻的薄球殼繞直徑的轉(zhuǎn)動慣量例：解：R切為許多垂直于軸的圓環(huán)zmrUniversityphysicsAPFang從半徑為R的均質(zhì)圓盤上挖掉一塊半徑為r的小圓盤，該系統(tǒng)的質(zhì)量為m,兩圓盤中心O和O′相距為d，且(d+r)<R

dOO′Rr挖掉小圓盤后，該系統(tǒng)對垂直于盤面,且過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量

例：解：求：使用補償法則填滿后的總質(zhì)量為m+m/設(shè)小圓盤的質(zhì)量為m/mUniversityphysicsAPFang求均勻立方體(邊長l、質(zhì)量m)繞通過面心的中心軸的轉(zhuǎn)動慣量例：解：設(shè)k是一個無量綱的量Cz立方體繞棱邊的轉(zhuǎn)動慣量為分成八個相同的小立方體他們繞各自棱邊的轉(zhuǎn)動慣量為····八個相同的小立方體繞棱邊的轉(zhuǎn)動慣量=JC

即求J的標(biāo)度變換方法：UniversityphysicsAPFang6-2力矩剛體轉(zhuǎn)動定律一、力矩力改變剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)

剛體獲得角加速度定義：zOPh力F

的大小與O

點到F

的作用線間垂直距離h的乘積矢量式力矩是矢量

——反映力的大小、方向和作用點在剛體的定軸轉(zhuǎn)動中，力矩矢量只有兩個指向????質(zhì)點獲得加速度改變質(zhì)點的運動狀態(tài)？UniversityphysicsAPFang(1)力對點的力矩—更為一般的物體轉(zhuǎn)動O.(2)力對定軸的力矩力對軸的力矩為A(1)力對任意點的力矩，在通過該點的任一軸上的投影，等于該力對該軸的力矩。討論說明A(2)力矩隨參考點而變UniversityphysicsAPFang例：已知棒長L,質(zhì)量m，在摩擦系數(shù)為

的桌面轉(zhuǎn)動(如圖)解：根據(jù)力矩xLOmxdxTT'TT'例如TT'在定軸轉(zhuǎn)動中，力矩可用代數(shù)值進行計算?求：摩擦力對轉(zhuǎn)軸的力矩UniversityphysicsAPFang剛體的轉(zhuǎn)動定律作用在剛體上所有的外力對定軸z軸的力矩的代數(shù)和剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體繞z軸轉(zhuǎn)動的角加速度(1)M

正比于

，力矩越大，剛體的

越大(2)力矩相同，若轉(zhuǎn)動慣量不同，產(chǎn)生的角加速度不同二、剛體轉(zhuǎn)動定律實驗證明當(dāng)M為零時，當(dāng)存在M時，(3)與牛頓定律比較：說明則剛體保持靜止或勻速轉(zhuǎn)動與M

成正比,而與J

成反比——表述剛體繞軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)方程UniversityphysicsAPFangO理論推證取一質(zhì)量元切線方向法線方向?qū)潭ㄝS的力矩對所有質(zhì)元合內(nèi)力矩=0合外力矩M剛體的轉(zhuǎn)動慣量J?UniversityphysicsAPFang結(jié)論：剛體的轉(zhuǎn)動定律——描述剛體作定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)方程，地位與描述質(zhì)點的牛頓定律相當(dāng)。三、轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用舉例UniversityphysicsAPFang例1：一剛體系統(tǒng)，如圖所示。已知，兩輪半徑為

R、r，對軸的轉(zhuǎn)動慣量為，繩子與滑輪間無相對滑動，求：兩物的加速度、繩子的張力?12R

r

O

解：如何確定討論：?充分利用角量與線量的關(guān)系?轉(zhuǎn)動定律與牛頓第二定律聯(lián)用例2：