第十三章 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)

級

數(shù)

與

多

元

微

積

分

SeriesandCalculousinSeveralVariables授課教師：胡鵬彥授課對象：05本科第十三章函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)§1一致收斂性§2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)§1一致收斂性一函數(shù)列及其一致收斂性二函數(shù)項級數(shù)及其一致收斂性三函數(shù)項級數(shù)的一致收斂判別法§1一致收斂性定義設(shè)(1)函數(shù)列(1)也簡記作:是一列定義在同一數(shù)集E上的函數(shù),稱為定義在E上的函數(shù)列.一函數(shù)列及其一致收斂性fn或fn,

n1,2,.設(shè)x0E,若數(shù)列(2)收斂,則稱函數(shù)列(1)在點x0收斂,x0稱為函數(shù)列(1)的收斂點.§1一致收斂性若數(shù)列(2)發(fā)散,則稱函數(shù)列(1)在點x0發(fā)散.在數(shù)集D上收斂.若函數(shù)列(1)在數(shù)集DE上每一點都收斂,則稱(1)§1一致收斂性對D上每一點x,都有數(shù)列

fn(x)的一個極限值與之或?qū)?yīng),由這個對應(yīng)法則所確定的D上的函數(shù),稱為函數(shù)列(1)的極限函數(shù).若把此極限函數(shù)記作f,則有使函數(shù)列

fn收斂的全體收斂點集合稱為函數(shù)列

fn的收斂域.§1一致收斂性函數(shù)列極限的N定義:對每一固定的xD,任給正數(shù),恒存在正數(shù)N,使得當(dāng)nN時,總有注:N的選取依賴于和x.例1設(shè)fn(x)xn,n1,2,為定義在,上的函數(shù)列,證明它的收斂域是1,1,且有極限函數(shù)§1一致收斂性(3)要證明數(shù)列

fn(x)的收斂域為D,需要證明D中每一點都是收斂點,而在D外的點處都發(fā)散.例2定義在,上的函數(shù)列的收斂域為無限區(qū)間,,極限函數(shù)f(x)0.§1一致收斂性定義設(shè)函數(shù)列fn與函數(shù)f定義在同一數(shù)集D上,若對任何正數(shù),總存在某正整數(shù)N,使得當(dāng)nN時,對一切xD,都有則稱函數(shù)列fn在D上一致收斂于f,記作§1一致收斂性函數(shù)列收斂與一致收斂之間的關(guān)系:一致收斂必收斂,反之不一定成立.注:N的選取僅依賴于,而與x無關(guān).定理13.1(函數(shù)列一致收斂的柯西準(zhǔn)則)§1一致收斂性函數(shù)列fn在數(shù)集D上一致收斂的充要條件是:對任給正數(shù),總存在某正整數(shù)N,使得當(dāng)n,mN時,對一切xD,都有(4)定理13.2函數(shù)列fn在區(qū)間D上一致收斂于f的充要條件是:(6)例3討論函數(shù)列在0,1上的一致收斂性.§1一致收斂性(8)設(shè)un(x)是定義在數(shù)集E上的一個函數(shù)列,表達(dá)式稱為定義在E上的函數(shù)項級數(shù),簡記為或un(x).(10)為函數(shù)項級數(shù)(9)的部分和函數(shù)列.(9)§1一致收斂性二函數(shù)項級數(shù)及其一致收斂性稱設(shè)x0E,若數(shù)項級數(shù)收斂,則稱級數(shù)(9)在x0收斂,x0稱為級數(shù)(9)的收斂點.若級數(shù)(11)發(fā)散,則稱級數(shù)(9)在點x0發(fā)散.(11)§1一致收斂性若級數(shù)(9)在E的某子集D上每點都收斂,則稱級數(shù)(9)在D上收斂.若D為級數(shù)(9)全體收斂點的集合,

則稱D為級數(shù)(9)的收斂域.稱或為級數(shù)(9)的和函數(shù).§1一致收斂性函數(shù)項級數(shù)與其對應(yīng)的部分和函數(shù)列具有相同的收斂性.例4定義在(,)上的函數(shù)項級數(shù)(幾何級數(shù))的部分和函數(shù)為當(dāng)|x|1時,§1一致收斂性(12)當(dāng)|x|1時,幾何級數(shù)(12)是發(fā)散的.定義2設(shè)Sn(x)是函數(shù)項級數(shù)un(x)的部分和函數(shù)列.若Sn(x)在數(shù)集D上一致收斂于函數(shù)S(x),則稱函數(shù)項級數(shù)un(x)在D上一致收斂于函數(shù)S(x),或稱un(x)在D上一致收斂.§1一致收斂性函數(shù)項級數(shù)

un(x)在數(shù)集

D上一致收斂的充要條件為:對任給正數(shù),總整數(shù)

p,都有定理13.3(一致收斂的柯西準(zhǔn)則)或§1一致收斂性存在某正整數(shù)

N,使得當(dāng)nN時,對一切

xD和一切正推論§1一致收斂性函數(shù)項級數(shù)un(x)在數(shù)集D上一致收斂的必要條件是函數(shù)列un(x)在D上一致收斂于0.定理13.4§1一致收斂性函數(shù)項級數(shù)un(x)在數(shù)集D上一致收斂于S(x)的充要條件是設(shè)函數(shù)項級數(shù)un(x)在D上的和函數(shù)為S(x),稱為函數(shù)項級數(shù)un(x)的余項.定理13.5(魏爾斯特拉斯(Weierstrass)判別法)§1一致收斂性三函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性判別法設(shè)函級數(shù),若對一切xD有(13)則函數(shù)項級數(shù)

un(x)在D上一致收斂.定理13.5也稱為M判別法或優(yōu)級數(shù)判別法.優(yōu)級數(shù)(majorantseries)數(shù)項級數(shù)

un(x)定義在數(shù)集D上,

Mn為收斂的正項定理13.6(阿貝爾(Abel)判別法)設(shè)(i)un(x)在區(qū)間I上一致收斂;(ii)對于每一個xI,vn(x)是單調(diào)的;(iii)vn(x)在I上一致有界,即對一切xI和正整數(shù)n,存在正數(shù)

M,使得則函數(shù)項級數(shù)un(x)vn(x)在I上一致收斂.§1一致收斂性接下來討論形如函數(shù)項級數(shù)一致收斂判別法.定理13.7(狄利克雷(Dirichlet)判別法)設(shè)(i)un(x)的部分和函數(shù)列(ii)對于每一個xI,vn(x)是單調(diào)的;在I上一致有界;則函數(shù)項級數(shù)un(x)vn(x)在I上一致收斂.§1一致收斂性(iii)在I上例6討論函數(shù)項級數(shù)在[0,1]上的一致收斂性.例7在

,

上一致收斂.若數(shù)列an單調(diào)且收斂于0,則函數(shù)項級數(shù)§1一致收斂性§2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)本節(jié)討論由函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)所確定的函數(shù)的連續(xù)性,可積性與可微性.要求較好地掌握這些結(jié)果,對這些結(jié)果的證明有初步的了解,對熟練地應(yīng)用這些結(jié)果解決與之有關(guān)的問題,例如:極限函數(shù)與和函數(shù)的積分與微分的運算等.§2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)定理13.8于f

(x),且對每個

n,,則和均存在且相等.設(shè)函數(shù)列{fn}在a,x0x0,b上一致收斂(2)§2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)定理13.9(連續(xù)性)且每一項都連續(xù),則其極限函數(shù)f在I上也連續(xù).數(shù)不連續(xù),則此函數(shù)列在區(qū)間I上不一致收斂.若函數(shù)列

fn在區(qū)間I上一致收斂,注:若各項為連續(xù)函數(shù)的函數(shù)列在區(qū)間I上其極限函§2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)定理13.10(可積性)且每一項都連續(xù),則其極限函數(shù)f在[a,b]上可積,且若函數(shù)列

fn在[a,b]上一致收斂,(3)§2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)例1討論由函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)項級數(shù)在[0,1]上的一致收斂性以及其極限函數(shù)的積分.定理13.11(可微性)若x0[a,b]為

fn的收斂點,

fn的每一項在[a,b]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),且

fn'在[a,b]上一致收斂,則§2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)若

fn為定義在[a,b]上的函數(shù)列,(4)§2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)例2函數(shù)列與在[0,1]上都收斂與0,由于所以導(dǎo)函數(shù)列{

f

'n(x)}在[0,1]上不一致收斂,但有§2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)注:由定理13.8,9,10,11可知,在一致收斂條件下,對變量x的極限,積分以及求導(dǎo)運算可以與對n的極限交換順序,但都是充分而非必要條件.定理13.12(連續(xù)性)在[a,b]上也連續(xù).上一致收斂,且每一項un(x)都連續(xù),則其和函數(shù)§2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)若函數(shù)項級數(shù)un(x)在區(qū)間[a,b](6)定理13.13(逐項求積)§2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)若函數(shù)項級數(shù)un(x)在區(qū)間[a,b]上一致收斂,且每一項un(x)都連續(xù),則其和函數(shù)在[a,b]上可積,且(7)定理13.14(逐項求導(dǎo))每一項都有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),x0[a,b]為un(x)的收斂點,定理13.12,13,14說明,在一致收斂條件下,極限,積分以及求導(dǎo)運算可以和求和交換順序.§2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級