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第十四章冪級數(shù)形如:的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù)。時為主要討論后者
1.收斂域?2.一致收斂域?
3.和函數(shù)的性質(zhì)?4.函數(shù)展成冪函數(shù)?“無窮次”的多項式。冪級數(shù)是一類特殊的函數(shù)項級數(shù)。多項式的推廣特別§14.1冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域問題:(阿貝爾第一定理)在點收斂,則對滿足不等式的一切點x,冪級數(shù)都絕對收斂;定理14.1i)若冪級數(shù)在點發(fā)散,則對滿足不等式的一切點x,冪級數(shù)都發(fā)散。ii)若冪級數(shù)定理中的r稱為冪級數(shù)的收斂半徑。收斂區(qū)間為對任意給定的冪級數(shù),必存在唯一的r(r滿足使得冪級數(shù)在絕對收斂,在發(fā)散。推論考察冪級數(shù)
1)收斂半徑都是1;3)(1)在x=
(2)
(3)總之:對每一個冪級數(shù),都存在一收斂半徑r,使得級數(shù)在內(nèi)絕對收斂。但在兩個端點的收斂性要做專門的討論。2)都在(-1,1)絕對收斂;例1的收斂半徑均發(fā)散,故(1)的收斂域為(-1,1).若冪級數(shù):則冪級數(shù)的收斂半徑r=求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域。級數(shù)為收斂,故收斂域為解:由故收斂半徑等于2。當(dāng)x=2時,級數(shù)為,發(fā)散;當(dāng)x=-2時例2定理14.2求的收斂半徑與收斂域不能用定理13.3計算收斂半徑因此當(dāng)即故級數(shù)發(fā)散。于是,級數(shù)收斂半徑為收斂域為解:這個冪級數(shù)的偶次冪的系數(shù)但可以用達(dá)朗貝爾判別法直接求收斂區(qū)域:例3,則對任意b:冪級數(shù)在(2)若冪級數(shù)的收斂半徑為,且冪級數(shù)在(3)若冪級數(shù)的收斂半徑為一致收斂。冪級數(shù)在什么地方一致收斂。定理14.4(阿貝爾第二定理)(1)若冪級數(shù)的收斂半徑為一致收斂;冪級數(shù)在一致收斂;且冪級數(shù)在收斂,則則冪級數(shù)在收斂,冪級數(shù)的性質(zhì)而收斂,根據(jù)一致收斂的M判別法,知冪級數(shù)在一致收斂。,其中對任意根據(jù)一致收斂的阿貝爾判別法知在一致收斂。證明(1)由于(2)已知收斂,而關(guān)于n單調(diào)下降,且推論1若冪級數(shù)的收斂半徑為,則它的和證明:由定理13.4知,冪級數(shù)在一致收斂,而在連續(xù),因此和函數(shù)在連續(xù),由的任意性,知和連續(xù)函數(shù)在連續(xù)。連續(xù),特別地在函數(shù)在推論2若冪級數(shù)的收斂半徑為且冪級數(shù)在r
收斂,則連續(xù)。特別地它的和函數(shù)在若冪級數(shù)的收斂半徑為
r,和函數(shù)為S(x),即則冪級數(shù)在收斂區(qū)域區(qū)間內(nèi)部可以逐項微商與逐項積分,即且(2),(3)中的冪級數(shù)收斂半徑仍然是r(3)(1)(2)定理14.5(任意次可微)的收斂半徑為則其和函數(shù)在內(nèi)任意次可微,且等于逐項微商次所得的冪級數(shù)。若冪級數(shù)定理14.6冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)部可以逐項微商與逐項積分的,對每個冪級數(shù),都存在收斂半徑總結(jié)冪級數(shù)在(-r,+r)內(nèi)絕對收斂,在發(fā)散,但在要具體分析;(i)(ii)(iii)且收斂半徑不變;冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)部所表示的函數(shù)是任意次可微的。前面的討論,都是從冪級數(shù)出發(fā),看它所表示的函數(shù)(和函數(shù))具有什么性質(zhì)。本節(jié)從函數(shù)出發(fā)看它能否用冪級數(shù)表示。從而用冪級數(shù)這個工具研究函數(shù)。收斂到函數(shù)如果冪級數(shù)在1.滿足什么條件,就可以展開成冪級數(shù)?2.若可以展開的話,展開式是什么形式?§13.3函數(shù)的冪級數(shù)展開定義問題:即則稱在可以展開成冪級數(shù);如果則稱在可以展開成冪級數(shù)。(唯一性)在那么必有(ii)如果函數(shù)在可以展開成(i)如果函數(shù)可以展開成冪級數(shù)冪級數(shù)展開的唯一性定理13.7冪級數(shù)那么系數(shù)滿足為的麥克勞林級數(shù),稱為在的泰勒級數(shù)。Taloy級數(shù)與麥克勞林級數(shù)通常稱若一致有界,即存在,使則在可以展開成冪級數(shù)定理13.8的各階微商在證明:用拉格朗日余項初等函數(shù)的冪級數(shù)展開(i)
ex
的展開式:(ii)sinx
和conx
的展開式:(iii)冪函數(shù)的展開式:(iv)對數(shù)函數(shù)ln(1+x)的展開式:已知根據(jù)逐項微分定理,得:例3兩邊乘以得再逐項微商,有這樣,通過逐項微分,我們可以得到許多新的級數(shù)展開得還可以計算很多特殊數(shù)項級數(shù)的和。在上面兩個級數(shù)中,令二、求冪級數(shù)收斂域的方法?
標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù):先求收斂半徑R,再討論?非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù)通過換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式直接用比值法或根值法處的斂散性.內(nèi)容小結(jié)?求部分和式極限三、冪級數(shù)和函數(shù)的求法求和?
映射變換法逐項求導(dǎo)或求積分對和式積分或求導(dǎo)難直接求和:直接變換,間接求和:轉(zhuǎn)化成冪級數(shù)求和,再代值求部分和等?初等變換法:分解、套用公式(在收斂區(qū)間內(nèi))?
數(shù)項級數(shù)求和四、函數(shù)的冪級數(shù)和付式級數(shù)展開法?
直接展開法?間接展開法練習(xí):1.
將函數(shù)展開成
x
的冪級數(shù).—利用已知展式的函數(shù)及冪級數(shù)性質(zhì)—利用泰勒公式解:1.函數(shù)的冪級數(shù)展開法習(xí)題例1.
若級數(shù)均收斂,且證明級數(shù)收斂.證:
則由題設(shè)收斂收斂收斂例2.設(shè)正項級數(shù)和也收斂.提示:
因存在N>0,又因利用收斂級數(shù)的性質(zhì)及比較判斂法易知結(jié)論正確.都收斂,證明級數(shù)當(dāng)n>N時例3.設(shè)級數(shù)收斂,且是否也收斂?說明理由.但對任意項級數(shù)卻不一定收斂.問級數(shù)提示:
對正項級數(shù),由比較判別法可知級數(shù)收斂,收斂,級數(shù)發(fā)散.例如,取例4.
求冪級數(shù)法1
易求出級數(shù)的收斂域為例5.解:
分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級數(shù)極限不存在∵原級數(shù)=∴其收斂半徑注意:補(bǔ)充題例1.設(shè),將f(x)展開成x
的冪級數(shù),的和.(01
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