第十四章-冪級數(shù)

第十四章冪級數(shù)形如：的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為冪級數(shù)。時(shí)為主要討論后者

1.收斂域？2.一致收斂域？

3.和函數(shù)的性質(zhì)？4.函數(shù)展成冪函數(shù)？“無窮次”的多項(xiàng)式。冪級數(shù)是一類特殊的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。多項(xiàng)式的推廣特別§14.1冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域問題：（阿貝爾第一定理）在點(diǎn)收斂，則對滿足不等式的一切點(diǎn)x，冪級數(shù)都絕對收斂；定理14.1i)若冪級數(shù)在點(diǎn)發(fā)散，則對滿足不等式的一切點(diǎn)x，冪級數(shù)都發(fā)散。ii)若冪級數(shù)定理中的r稱為冪級數(shù)的收斂半徑。收斂區(qū)間為對任意給定的冪級數(shù)，必存在唯一的r（r滿足使得冪級數(shù)在絕對收斂，在發(fā)散。推論考察冪級數(shù)

1）收斂半徑都是1；3）(1)在x=

(2)

(3)總之：對每一個冪級數(shù)，都存在一收斂半徑r，使得級數(shù)在內(nèi)絕對收斂。但在兩個端點(diǎn)的收斂性要做專門的討論。2）都在（-1，1）絕對收斂；例1的收斂半徑均發(fā)散，故(1)的收斂域?yàn)?-1,1).若冪級數(shù)：則冪級數(shù)的收斂半徑r=求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域。級數(shù)為收斂，故收斂域?yàn)榻?由故收斂半徑等于2。當(dāng)x=2時(shí)，級數(shù)為，發(fā)散；當(dāng)x=-2時(shí)例2定理14.2求的收斂半徑與收斂域不能用定理13.3計(jì)算收斂半徑因此當(dāng)即故級數(shù)發(fā)散。于是，級數(shù)收斂半徑為收斂域?yàn)榻猓哼@個冪級數(shù)的偶次冪的系數(shù)但可以用達(dá)朗貝爾判別法直接求收斂區(qū)域：例3，則對任意b：冪級數(shù)在(2)若冪級數(shù)的收斂半徑為，且冪級數(shù)在(3)若冪級數(shù)的收斂半徑為一致收斂。冪級數(shù)在什么地方一致收斂。定理14.4（阿貝爾第二定理）(1)若冪級數(shù)的收斂半徑為一致收斂；冪級數(shù)在一致收斂；且冪級數(shù)在收斂，則則冪級數(shù)在收斂，冪級數(shù)的性質(zhì)而收斂，根據(jù)一致收斂的M判別法，知冪級數(shù)在一致收斂。,其中對任意根據(jù)一致收斂的阿貝爾判別法知在一致收斂。證明（1）由于（2）已知收斂，而關(guān)于n單調(diào)下降，且推論1若冪級數(shù)的收斂半徑為，則它的和證明：由定理13.4知，冪級數(shù)在一致收斂，而在連續(xù)，因此和函數(shù)在連續(xù)，由的任意性，知和連續(xù)函數(shù)在連續(xù)。連續(xù)，特別地在函數(shù)在推論2若冪級數(shù)的收斂半徑為且冪級數(shù)在r

收斂，則連續(xù)。特別地它的和函數(shù)在若冪級數(shù)的收斂半徑為

r，和函數(shù)為S(x)，即則冪級數(shù)在收斂區(qū)域區(qū)間內(nèi)部可以逐項(xiàng)微商與逐項(xiàng)積分，即且（2)，(3)中的冪級數(shù)收斂半徑仍然是r(3)(1)(2)定理14.5（任意次可微）的收斂半徑為則其和函數(shù)在內(nèi)任意次可微，且等于逐項(xiàng)微商次所得的冪級數(shù)。若冪級數(shù)定理14.6冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)部可以逐項(xiàng)微商與逐項(xiàng)積分的,對每個冪級數(shù)，都存在收斂半徑總結(jié)冪級數(shù)在(-r,+r)內(nèi)絕對收斂，在發(fā)散,但在要具體分析；(i)(ii)(iii)且收斂半徑不變；冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)部所表示的函數(shù)是任意次可微的。前面的討論，都是從冪級數(shù)出發(fā)，看它所表示的函數(shù)（和函數(shù)）具有什么性質(zhì)。本節(jié)從函數(shù)出發(fā)看它能否用冪級數(shù)表示。從而用冪級數(shù)這個工具研究函數(shù)。收斂到函數(shù)如果冪級數(shù)在1.滿足什么條件,就可以展開成冪級數(shù)？2.若可以展開的話，展開式是什么形式？§13.3函數(shù)的冪級數(shù)展開定義問題：即則稱在可以展開成冪級數(shù)；如果則稱在可以展開成冪級數(shù)。(唯一性)在那么必有（ii）如果函數(shù)在可以展開成（i）如果函數(shù)可以展開成冪級數(shù)冪級數(shù)展開的唯一性定理13.7冪級數(shù)那么系數(shù)滿足為的麥克勞林級數(shù)，稱為在的泰勒級數(shù)。Taloy級數(shù)與麥克勞林級數(shù)通常稱若一致有界，即存在，使則在可以展開成冪級數(shù)定理13.8的各階微商在證明：用拉格朗日余項(xiàng)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開（i）

ex

的展開式：（ii）sinx

和conx

的展開式：（iii）冪函數(shù)的展開式：（iv）對數(shù)函數(shù)ln(1+x)的展開式：已知根據(jù)逐項(xiàng)微分定理，得：例3兩邊乘以得再逐項(xiàng)微商，有這樣，通過逐項(xiàng)微分，我們可以得到許多新的級數(shù)展開得還可以計(jì)算很多特殊數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和。在上面兩個級數(shù)中，令二、求冪級數(shù)收斂域的方法?

標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù):先求收斂半徑R,再討論?非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù)通過換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式直接用比值法或根值法處的斂散性.內(nèi)容小結(jié)?求部分和式極限三、冪級數(shù)和函數(shù)的求法求和?

映射變換法逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分對和式積分或求導(dǎo)難直接求和:直接變換,間接求和:轉(zhuǎn)化成冪級數(shù)求和,再代值求部分和等?初等變換法:分解、套用公式（在收斂區(qū)間內(nèi)）?

數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和四、函數(shù)的冪級數(shù)和付式級數(shù)展開法?

直接展開法?間接展開法練習(xí):1.

將函數(shù)展開成

x

的冪級數(shù).—利用已知展式的函數(shù)及冪級數(shù)性質(zhì)—利用泰勒公式解:1.函數(shù)的冪級數(shù)展開法習(xí)題例1.

若級數(shù)均收斂,且證明級數(shù)收斂.證:

則由題設(shè)收斂收斂收斂例2.設(shè)正項(xiàng)級數(shù)和也收斂.提示:

因存在N>0,又因利用收斂級數(shù)的性質(zhì)及比較判斂法易知結(jié)論正確.都收斂,證明級數(shù)當(dāng)n>N時(shí)例3.設(shè)級數(shù)收斂,且是否也收斂？說明理由.但對任意項(xiàng)級數(shù)卻不一定收斂.問級數(shù)提示:

對正項(xiàng)級數(shù),由比較判別法可知級數(shù)收斂,收斂,級數(shù)發(fā)散.例如,取例4.

求冪級數(shù)法1

易求出級數(shù)的收斂域?yàn)槔?.解:

分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級數(shù)極限不存在∵原級數(shù)=∴其收斂半徑注意:補(bǔ)充題例1.設(shè),將f(x)展開成x

的冪級數(shù),的和.(01