第4章統(tǒng)計(jì)物理學(xué)基礎(chǔ)

研究與溫度有關(guān)的熱現(xiàn)象的科學(xué)。熱力學(xué)從宏觀(guān)的角度研究熱現(xiàn)象，建立宏觀(guān)量(溫度、壓強(qiáng)、體積)之間的關(guān)系。研究宏觀(guān)物體之間熱功轉(zhuǎn)換的關(guān)系和條件。統(tǒng)計(jì)物理學(xué)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法，闡明宏觀(guān)量(溫度、壓強(qiáng)等)的微觀(guān)本質(zhì)，討論氣體分子的速度、速率、能量滿(mǎn)足的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律。第二篇熱物理學(xué)4-1統(tǒng)計(jì)物理的基本概念一、物質(zhì)的微觀(guān)模型熱力學(xué)系統(tǒng)（熱力學(xué)研究的對(duì)象）：大量微觀(guān)粒子（分子、原子等）組成的宏觀(guān)體系。外界：熱力學(xué)系統(tǒng)以外的物體。O斥力引力(1)分子(或原子)非常小.109m~1010m(2)熱力學(xué)系統(tǒng)所包含的微觀(guān)粒子數(shù)非常巨大.NA~1023(3)分子之間存在相互作用力分子力。(4)分子或原子都以不同的速率不停地運(yùn)動(dòng)。微觀(guān)粒子體系的基本特征宏觀(guān)量(狀態(tài)參量):描寫(xiě)熱力學(xué)系統(tǒng)宏觀(guān)狀態(tài)的參量。如壓強(qiáng)p、體積V、溫度T等。微觀(guān)量:描述系統(tǒng)內(nèi)個(gè)別微觀(guān)粒子特征和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。如分子的質(zhì)量、直徑、速度、動(dòng)量、能量等。微觀(guān)量與宏觀(guān)量有一定的內(nèi)在聯(lián)系。二、系統(tǒng)狀態(tài)的描寫(xiě)在這過(guò)程中，各點(diǎn)密度、溫度等均不相同，這就是非平衡態(tài)。但隨著時(shí)間的推移，各處的密度、壓強(qiáng)等都達(dá)到了均勻，無(wú)外界影響，狀態(tài)保持不變，就是平衡態(tài)。設(shè)一容器，用隔板將其隔開(kāi)，當(dāng)隔板右移時(shí)，分子向右邊擴(kuò)散平衡態(tài):在無(wú)外界的影響下，系統(tǒng)的宏觀(guān)性質(zhì)不隨時(shí)間改變的穩(wěn)定狀態(tài)。假想把箱子分成兩相同體積的部分，達(dá)到平衡時(shí)，兩側(cè)粒子有的穿越界線(xiàn)，但兩側(cè)粒子數(shù)相同。例如：粒子數(shù)說(shuō)明：平衡態(tài)是一種理想狀態(tài)處在平衡態(tài)的大量分子仍在作熱運(yùn)動(dòng)，而且因?yàn)榕鲎玻總€(gè)分子的速度經(jīng)常在變，但是系統(tǒng)的宏觀(guān)量不隨時(shí)間改變。平衡態(tài)是一種熱動(dòng)平衡狀態(tài)方程理想氣體物態(tài)方程(狀態(tài)方程)當(dāng)系統(tǒng)處于平衡態(tài)時(shí)，三個(gè)狀態(tài)參量存在一定的函數(shù)關(guān)系：m—?dú)怏w質(zhì)量M—?dú)怏w摩爾質(zhì)量8.31J/molR-普適氣體常量在溫度保持不變的過(guò)程中，理想氣體的壓強(qiáng)與體積之間的關(guān)系為雙曲線(xiàn)。Celsiusscale:TC(C)=T(K)273.15

Kelvinscale:T(K)=TC(C)

+273.15K95TF(F)

=

TC(C)

+32TemperatureisoneofthesevenSIbasequantities:

Fahrenheitscale

例1.

氧氣瓶的壓強(qiáng)降到106Pa就要重新充氣，以免混入其他氣體而需洗瓶。今有一瓶氧氣，容積為32L，壓強(qiáng)為1.3107Pa，若每天用105Pa的氧氣400L，問(wèn)此瓶氧氣可供多少天使用？設(shè)使用時(shí)溫度不變。解:根據(jù)題意，可確定研究對(duì)象為原來(lái)氣體、用去氣體和剩余氣體，設(shè)這三部分氣體的狀態(tài)參量分別為使用時(shí)的溫度為T(mén)設(shè)可供x天使用原有每天用量剩余分別對(duì)它們列出狀態(tài)方程，有p2=105PaV2=400Lp3=106PaV3=V1=32Lp1=1.3107Pa三、分子熱運(yùn)動(dòng)的無(wú)序性和統(tǒng)計(jì)規(guī)律性什么是統(tǒng)計(jì)規(guī)律性(statisticalregularity)大量偶然性從整體上所體現(xiàn)出來(lái)的必然性。例.扔硬幣從入口投入小球與釘碰撞落入狹槽為清楚起見(jiàn),從正面來(lái)觀(guān)察。(偶然)隔板鐵釘統(tǒng)計(jì)規(guī)律和方法

伽爾頓板

大量偶然事件整體所遵循的規(guī)律統(tǒng)計(jì)規(guī)律。再投入小球：經(jīng)一定段時(shí)間后,大量小球落入狹槽。分布情況:中間多，兩邊少。重復(fù)幾次，結(jié)果相似。單個(gè)小球運(yùn)動(dòng)是隨機(jī)的,大量小球運(yùn)動(dòng)分布是確定的。小球數(shù)按空間位置分布曲線(xiàn)統(tǒng)計(jì)規(guī)律和方法四、統(tǒng)計(jì)的基本概念(selftaught自學(xué))1.概率如果N次試驗(yàn)中出現(xiàn)A事件的次數(shù)為NA,當(dāng)N時(shí)，比值NA/N稱(chēng)為出現(xiàn)A事件的概率。概率的性質(zhì):(1)概率取值域?yàn)榻y(tǒng)計(jì)規(guī)律特點(diǎn):(1)只對(duì)大量偶然的事件才有意義.(2)它是不同于個(gè)體規(guī)律的整體規(guī)律(量變到質(zhì)變).(3)大數(shù)量現(xiàn)象在一定宏觀(guān)條件下的穩(wěn)定性。(2)各種可能發(fā)生的事件的概率總和等于1.幾率歸一化條件(3)二互斥事件的概率等于分事件概率之和(4)二相容事件的概率等于分事件概率之積統(tǒng)計(jì)平均值設(shè)N個(gè)分子組成的系統(tǒng)，處于某一狀態(tài)。如果在這N個(gè)分子中，有N1個(gè)分子的物理量W取值為W1，N2個(gè)分子的取值為W2，…，則物理量W的算術(shù)平均值：

一般與N的依賴(lài)關(guān)系隨N增大而減弱。當(dāng)N增大到

與N無(wú)關(guān)時(shí)，就把

稱(chēng)為物理量W在該狀態(tài)上的統(tǒng)計(jì)平均值。WWWN一般與N的依賴(lài)關(guān)系隨N增大而減弱。當(dāng)N增大到

與N無(wú)關(guān)時(shí)，就把

稱(chēng)為物理量W在該狀態(tài)上的統(tǒng)計(jì)平均值。WWW在一定宏觀(guān)條件下，對(duì)系統(tǒng)某一物理量的某一次測(cè)量值并不一定等于它的統(tǒng)計(jì)平均值只有當(dāng)分子數(shù)N很大時(shí)，漲落相對(duì)統(tǒng)計(jì)平均值很小，才能用統(tǒng)計(jì)平均值代表宏觀(guān)測(cè)量值。直角坐標(biāo)系中，分子在三個(gè)坐標(biāo)軸上的速度分量平方的統(tǒng)計(jì)平均值：圍繞統(tǒng)計(jì)平均值的漲落因，則有:如果系統(tǒng)處于平衡態(tài)，分子向各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的概率相等：4-2

理想氣體的壓強(qiáng)溫度和內(nèi)能一、理想氣體的微觀(guān)模型和統(tǒng)計(jì)假設(shè)1.理想氣體微觀(guān)模型分子本身的大小比起它們之間的平均距離可忽略不計(jì)。1)2)除碰撞外，分子之間的作用可忽略不計(jì)。3)分子間的碰撞是完全彈性的。4)分子所受重力忽略不計(jì)。理想氣體的分子模型是彈性的自由運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)。2.統(tǒng)計(jì)假設(shè)①分子數(shù)密度處處相等；②分子沿各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的幾率均等。即分子速度在各個(gè)方向上的分量的各種平均值相等。二．理想氣體的壓強(qiáng)公式一定質(zhì)量的處于平衡態(tài)的某種理想氣體。(V,N,m)平衡態(tài)下器壁各處壓強(qiáng)相同，選A1面,求其所受壓強(qiáng)。i分子動(dòng)量增量i分子對(duì)器壁的沖量i分子相繼與A1面碰撞的時(shí)間間隔單位時(shí)間內(nèi)i分子對(duì)A1面的碰撞次數(shù)單位時(shí)間內(nèi)i分子對(duì)A1面的沖量i分子對(duì)A1面的平均沖力所有分子對(duì)A1面的平均作用力壓強(qiáng)i分子對(duì)A1面的平均沖力——分子的平均平動(dòng)動(dòng)能平衡態(tài)下該公式表明平衡態(tài)下理想氣體的壓強(qiáng)(宏觀(guān)量)與分子的平均平動(dòng)動(dòng)能(微觀(guān)量的統(tǒng)計(jì)平均值)的關(guān)系壓強(qiáng)正比于單位體積內(nèi)的分子數(shù)及分子的平均平動(dòng)動(dòng)能.該關(guān)系式給出了宏觀(guān)量(p)與微觀(guān)量(分子速率)的統(tǒng)計(jì)平均值之間的關(guān)系.即揭示了宏觀(guān)量的微觀(guān)本質(zhì).可以通過(guò)增加容器內(nèi)單位體積里的分子數(shù)(Youdothiswhenyouaddairtoatire)或增加分子的平均平動(dòng)動(dòng)能使得容器內(nèi)的壓強(qiáng)增加.Thepressureinthetirecanalsobeincreasedbyincreasingtheaveragetranslationalkineticenergyofmoleculesinthetire.討論三、分子的平均平動(dòng)動(dòng)能與溫度的關(guān)系溫度是氣體分子平均平動(dòng)動(dòng)能大小的量度玻耳茲曼常數(shù)氣體分子的方均根速率(root-mean-squarespeed)大量分子速率的平方平均值的平方根氣體分子的方均根速率vrms與氣體的熱力學(xué)溫度的平方根成正比，與氣體的摩爾質(zhì)量的平方根成反比。例2.(1)在一個(gè)具有活塞的容器中盛有一定的氣體。如果壓縮氣體并對(duì)它加熱，使它的溫度從27oC升到177oC，體積減少一半，求氣體壓強(qiáng)變化多少？(2)這時(shí)氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能變化多少？解：計(jì)算溫度300K的氮?dú)夥肿拥钠骄絼?dòng)動(dòng)能及方均根速率.(氮分子質(zhì)量m=4.651026kg)解:思考：由以上計(jì)算可知，室溫下氮?dú)夥肿拥姆骄俾蕿?17m/s，但聲音在該氣體中的傳播速率卻為350m/s.為什么?課堂練習(xí)1.自由度:確定一個(gè)物體的空間位置所需要的以剛性分子為例:四、能量按自由度均分定理HeOOO2HHHHCCH4獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目或物體可能具有的獨(dú)立運(yùn)動(dòng)模式數(shù)目.單原子分子雙原子分子多原子分子自由度i=3平動(dòng)自由度自由度i=5平動(dòng)自由度3轉(zhuǎn)動(dòng)自由度2自由度i=6平動(dòng)自由度3轉(zhuǎn)動(dòng)自由度3二、能量均分定理氣體分子沿x,y,z三個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的平均平動(dòng)動(dòng)能完全相等，可以認(rèn)為分子的平均平動(dòng)動(dòng)能均勻分配在每個(gè)平動(dòng)自由度上。平衡態(tài)下，不論何種運(yùn)動(dòng)，相應(yīng)于每一個(gè)可能自由度的平均動(dòng)能都是能量按自由度均分定理如果某種氣體的分子有t個(gè)平動(dòng)自由度,r個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度,s個(gè)振動(dòng)自由度.則分子具有：平均平動(dòng)動(dòng)能平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能平均振動(dòng)動(dòng)能注意：對(duì)應(yīng)分子的一個(gè)振動(dòng)自由度，除有一份平均動(dòng)能外，還有一份平均勢(shì)能。結(jié)論：分子的平均總能量

對(duì)剛性分子：不考慮振動(dòng)，則分子的平均動(dòng)能為單原子分子i=3雙原子分子i=5多原子分子i=6五、理想氣體的內(nèi)能分子間相互作用可以忽略不計(jì)分子間相互作用的勢(shì)能=0理想氣體的內(nèi)能=所有分子的熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能之總和1mol理想氣體的內(nèi)能一定質(zhì)量理想氣體的內(nèi)能溫度改變T，內(nèi)能改變量為摩爾數(shù)例3.就質(zhì)量而言，空氣是由76%的N2，23%的O2和1%的Ar三種氣體組成，它們的分子量分別為28、32、40?？諝獾哪栙|(zhì)量為28.910-3kg，試計(jì)算1mol空氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的內(nèi)能。解：在1摩爾空氣中N2質(zhì)量摩爾數(shù)O2質(zhì)量摩爾數(shù)Ar質(zhì)量摩爾數(shù)1mol空氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的內(nèi)能練習(xí)十一統(tǒng)計(jì)物理學(xué)基礎(chǔ)（一）Homework4-3麥克斯韋分子速率分布率平衡態(tài)下，理想氣體的每個(gè)分子運(yùn)動(dòng)速度各不相同，而且通過(guò)碰撞不斷發(fā)生變化，對(duì)任何一個(gè)分子來(lái)說(shuō)，在任何時(shí)刻它的速度的大小受到許多偶然因素的影響，因而是不能預(yù)知的。但從整體上統(tǒng)計(jì)地說(shuō)，氣體分子的速度分布是有規(guī)律的，這個(gè)規(guī)律叫麥克斯韋速度分布律。若不考慮分子速度的方向，則叫麥克斯韋速率分布律。問(wèn)題：平衡態(tài)下，氣體分子如何按速率分布？解決方案：按照經(jīng)典理論，氣體分子的速率可以連續(xù)地取0到無(wú)限大的任何數(shù)值.因此，研究分子按速率分布時(shí)需將分子按速率區(qū)間分組，例如將速率以10m/s的間隔劃分為010,1020,2030m/s,,的區(qū)間，然后找出各區(qū)間的分子數(shù)一、速率分布函數(shù)N分子總數(shù).dN速率處于v到vdv區(qū)間的分子數(shù).f(v)的物理意義:速率在v附近的單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比概率密度.或:f(v)dv為一個(gè)分子的速率處于v到vdv的概率.速率在v到v+dv區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比.速率分布函數(shù)定義1859年,麥克斯韋根據(jù)概率論推導(dǎo)出了在平衡態(tài)下，理想氣體分子速率分布函數(shù)

f(v)dv(=dN/N):

速率處于

v

到v+dv區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比.或:一個(gè)分子f(v)vdv面積=f(v)dv速率處于v到vdv區(qū)間的概率.速率在v1

到v2的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比:速率分布曲線(xiàn)下的總面積v1v2二、麥克斯韋速率分布律及三種統(tǒng)計(jì)速率歸一化條件分子速率的三個(gè)統(tǒng)計(jì)值平均速率代入麥克斯韋速率分布函數(shù)，并積分得方均根速率vrms代入f(v),最概然速率

vp

f(v)的極大值對(duì)應(yīng)的速率令df(v)/dv=0得273K1273K2273Kvf(v)Of(v)vvrmsvpO分布曲線(xiàn)隨溫度或摩爾質(zhì)量的變化而變化如T2>T1或M2>M1:曲線(xiàn)下的面積始終為1.總結(jié)例4.氦氣:T=300K,N=106,分子質(zhì)量m=6.651027kg.(a)原子的最概然速率?解:(b)估算分布在速率區(qū)間vp

vp

40m/s的分子數(shù)解:由麥克斯韋速率分布函數(shù)，分布在速率區(qū)間

v

v

v的分子數(shù)為

3104

即，106個(gè)氦氣分子中大約有3%的氦氣分子處于速率區(qū)間1120m/s到1160m/s內(nèi)(c)令v=10vp,計(jì)算分布在速率區(qū)間v

v

40m/s的分子數(shù).解:代入v=10vp

=1.12104m/s,得N=41039.表明幾乎沒(méi)有分子具有如此大的速率處于v1到v2的分子平均速率?f(v)vv1v2討論分布在速率v附近v~v+dv速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。分布在速率v附近v~v+dv速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。單位體積內(nèi)分子速率分布在速率v附近v~v+dv速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。討論分布在有限速率區(qū)間v1~v2內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。分布在有限速率區(qū)間v1~v2內(nèi)的分子數(shù)。分布在0～∞速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。（歸一化條件）v2的平均值。討論解課堂練習(xí)(1)由歸一化條件得O(2)有N個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為(1)作速率分布曲線(xiàn)并求常數(shù)a(2)求速率大于v0和速率小于v0的粒子數(shù)4-4玻耳茲曼分布律若氣體分子處于恒定的外力場(chǎng)（如重力場(chǎng)）中氣體分子在空間位置不再呈均勻分布?xì)怏w分子分布規(guī)律如何一、玻耳茲曼分布律經(jīng)典粒子按能量的分布函數(shù)麥克斯韋—玻耳茲曼分布經(jīng)典粒子按勢(shì)能分布近代理論中，粒子數(shù)按能級(jí)分布重力場(chǎng)中粒子按高度的分布規(guī)律例5.

氫原子基態(tài)能級(jí)E113.6eV，第一激發(fā)態(tài)能級(jí)E23.4eV，求出在室溫T=270C時(shí)原子處于第一激發(fā)態(tài)與基態(tài)的數(shù)目比。解：在室溫下，氫原子幾乎都處于基態(tài)。氮?dú)夥肿釉?7oC時(shí)的平均速率為476m.s-1.矛盾氣體分子熱運(yùn)動(dòng)平均速率高，但氣體擴(kuò)散過(guò)程進(jìn)行得相當(dāng)慢?？藙谛匏怪赋觯簹怏w分子的速度雖然很大，但前進(jìn)中要與其他分子作頻繁的碰撞，每碰一次，分子運(yùn)動(dòng)方向就發(fā)生改變，所走的路程非常曲折。氣體分子平均速率4-7氣體分子的平均自由程擴(kuò)散速率平均速率分子自由程:氣體分子兩次相鄰碰撞之間自由通過(guò)的路程。分子碰撞頻率:在單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)分子與其他分子碰撞的次數(shù)。大量分子的分子自由程與每秒碰撞次數(shù)服從統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律?？梢郧蟪銎骄杂沙毯推骄鲎泊螖?shù)。假定每個(gè)分子都是有效直徑為d的彈性小球。只有某一個(gè)分子A以平均速率運(yùn)動(dòng)，其余分子都靜止。平均碰撞次數(shù)dddvA運(yùn)動(dòng)方向上，以d為半徑的圓柱體內(nèi)的分子都將與分子A碰撞球心在圓柱體內(nèi)的分子一秒鐘內(nèi):分子A經(jīng)過(guò)路程為相應(yīng)圓柱體體積為圓柱體內(nèi)分子數(shù)一秒鐘內(nèi)A與其它分子發(fā)生碰撞的平均次數(shù)dddvA一切分子都在運(yùn)動(dòng)一秒鐘內(nèi)分子A經(jīng)過(guò)路程為一秒鐘內(nèi)A與其它分子發(fā)生碰撞的平均次數(shù)平均自由程與分子的有效直徑的平方和分