第五節(jié)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分

第五節(jié)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分教學(xué)內(nèi)容

1對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)；

2對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法；

3兩類曲面積分之間的聯(lián)系考研要求

1了解對(duì)坐標(biāo)的曲面積分；

2掌握對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法；

3了解兩類曲面積分之間的聯(lián)系一、基本概念觀察以下曲面的側(cè)(假設(shè)曲面是光滑的)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)其方向用法向量指向方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)側(cè)的規(guī)定

指定了側(cè)的曲面叫有向曲面,

表示(曲面法向量的指向決定曲面的側(cè)

):曲面的投影問題:二、概念的引入實(shí)例:流向曲面一側(cè)的流量.思路：大化小,常代變,近似和,取極限1.分割則該點(diǎn)流速為.法向量為.3.取極限2.求和三、概念及性質(zhì)類似可定義稱為P

在有向曲面上對(duì)

y,z

的曲面積分;稱為Q

在有向曲面上對(duì)

z,x

的曲面積分;存在條件:組合形式:物理意義:性質(zhì):(2)-Σ表示與Σ取相反側(cè)的有向曲面,則積分曲面取相反側(cè)時(shí),對(duì)坐標(biāo)曲面積分變號(hào),有:(1):關(guān)于積分曲面的可加性若Σ=Σ1+Σ2,則注意:對(duì)坐標(biāo)的曲面積分必須注意積分曲面所取的側(cè).四、計(jì)算法有向投影元素面積元素注意:對(duì)坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).應(yīng)注意的問題:

(3)曲面S取哪一側(cè).(2)向哪個(gè)坐標(biāo)面投影;

(1)曲面S用什么方程表示;(4)積分前取什么符號(hào).這就是把對(duì)坐標(biāo)的曲面積分化成二重積分的計(jì)算公式要點(diǎn)為：投：將曲面的方程表示為二元顯函數(shù)，將積分曲面投影到與有向面積元素（如dxdy）中兩個(gè)變量同名的坐標(biāo)面上（如xoy面）代：將顯式曲面方程代入到被積函數(shù)，將其化成二元函數(shù)定符：由曲面的方向，即曲面的側(cè)確定二重積分的正負(fù)號(hào)一投、二代、三定符

曲面取上側(cè)、前側(cè)、右側(cè)時(shí)為正曲面取下側(cè)、后側(cè)、左側(cè)時(shí)為負(fù)注:積分曲面的方程必須表示為單值顯函數(shù)否則分片計(jì)算，結(jié)果相加解另解例2解小結(jié)：利用直接投影法計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分，要掌握其基本步驟，把積分轉(zhuǎn)化為二重積分是關(guān)鍵。當(dāng)積分曲面表示為顯函數(shù)后不是單值函數(shù)，則應(yīng)將曲面分片，使每片曲面的顯函數(shù)表示為單值函數(shù)。五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系兩類曲面積分之間的聯(lián)系解另解解3六、小結(jié)1.對(duì)坐標(biāo)曲面積分的物理意義2.對(duì)坐標(biāo)曲面積分的計(jì)算時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)a.曲面的側(cè)b.“一投,二代,三定號(hào)”求