小學(xué)一年級(jí)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)本質(zhì)概念

小學(xué)一年級(jí)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)本質(zhì)概念第一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日綱要結(jié)構(gòu)一、整數(shù)計(jì)算相關(guān)能力指標(biāo)S-1-03能認(rèn)識(shí)周遭物體中的角、直線(xiàn)和平面。S-1-07能認(rèn)識(shí)生活周遭中水平、鉛直、平行與垂直的現(xiàn)象S-2-02能理解垂直與平行的意義。S-2-05能理解旋轉(zhuǎn)角的意義。S-3-02能認(rèn)識(shí)平面圖形放大、縮小對(duì)長(zhǎng)度、角度與面積的影響，並認(rèn)識(shí)比例尺。第二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日綱要結(jié)構(gòu)二、分項(xiàng)細(xì)目詮釋

一年級(jí)二年級(jí)三年級(jí)四年級(jí)五年級(jí)六年級(jí)2-s-01能認(rèn)識(shí)周遭物體上的角、直線(xiàn)與平面（含簡(jiǎn)單立體形體）。3-s-04能認(rèn)識(shí)角，並比較角的大小4-s-04能認(rèn)識(shí)角度單位「度」，使用量角器實(shí)測(cè)角度或畫(huà)出指定的角。5-s-01能透過(guò)操作，理解三角形三內(nèi)角和為180度。6-s-02能認(rèn)識(shí)平面圖形放大、縮小對(duì)長(zhǎng)度、角度與面積的影響，並認(rèn)識(shí)比例尺。2-s-02能認(rèn)識(shí)生活周遭中水平、鉛直、平行與垂直的現(xiàn)象。4-s-05能理解旋轉(zhuǎn)角的意義。5-s-03能認(rèn)識(shí)圓心角，理解180度、360度的意義，並認(rèn)識(shí)扇形。4-s-06能理解平面上直角、垂直與平行的意義。第三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

一、角概念（一）一般生活中所說(shuō)的角概念一般人對(duì)角的認(rèn)識(shí)，常是真正角概念的局部：一個(gè)角有個(gè)線(xiàn)段當(dāng)作邊，兩邊中夾著一塊區(qū)域，產(chǎn)生一個(gè)尖尖的頂點(diǎn)。此外，常以角的頂點(diǎn)或頂點(diǎn)的鄰近區(qū)域來(lái)描述角，如桌角，牆角，三角形的角，四邊形的角，……等第四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

一、角概念（二）理想的角概念從實(shí)際經(jīng)驗(yàn)及數(shù)學(xué)上的定義，角的意義可分成以下三方面來(lái)說(shuō)明：1.角是一雙定出兩個(gè)方向間的差量之射線(xiàn)。2.角是自同一端點(diǎn)射出的兩射線(xiàn)圍出的一個(gè)平面區(qū)域。3.角是一射線(xiàn)繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)程度的量。第五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

一、角概念（二）理想的角概念1.圖形角：數(shù)學(xué)上的圖形角由相交且止於一點(diǎn)的兩線(xiàn)段所構(gòu)成。此二線(xiàn)段長(zhǎng)短不拘，夾角大於0度小於180度。此二線(xiàn)段稱(chēng)為角的邊，交點(diǎn)稱(chēng)為頂點(diǎn)。第六頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

一、角概念（二）理想的角概念2.張開(kāi)角：像蚌蛤，高等脊椎動(dòng)物的嘴巴，是一種兩片的一端固定在一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的關(guān)節(jié)上，兩片或其中一片可以旋轉(zhuǎn)的裝置。用這種裝置可以做成夾子或摺扇。第七頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

一、角概念（二）理想的角概念3.旋轉(zhuǎn)角：將車(chē)輪的軸心固定，再讓車(chē)輪旋轉(zhuǎn)。這時(shí)可以選擇一條車(chē)輪的半徑，以此半徑的轉(zhuǎn)動(dòng)來(lái)描述車(chē)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)。此一半徑可以先規(guī)定一個(gè)起始方向，例如以水平向右做開(kāi)始，然後向上、向左、向下。這叫做逆時(shí)針向的轉(zhuǎn)動(dòng)。如果以水平向右開(kāi)始，先向下，在向左，然後向上，這叫做順時(shí)針向的轉(zhuǎn)動(dòng)。第八頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

二、角的大小一般人常會(huì)在角的兩邊各選一點(diǎn)，以此兩點(diǎn)的距離當(dāng)做角的開(kāi)度，形成一個(gè)角的邊越長(zhǎng)，其角度就越大的錯(cuò)誤觀念。因此，角的張開(kāi)程度的大小不因?yàn)檫呴L(zhǎng)的差異而有所不同之正確概念的建立，是角度數(shù)量化的基礎(chǔ)。所有度量角的方法均以細(xì)分圖為基礎(chǔ)，一般有二種常用的單位，它們分別根據(jù)「度」和「弧度」來(lái)量。第九頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

二、角的大?。ㄒ唬┒龋喝粢粓A以半徑將之等量分割為360部份，則每二相鄰的半徑所來(lái)的角為1度，記作1

（二）弳：一個(gè)圓心角所對(duì)弧的長(zhǎng)，與圓的半徑成正比。如果取圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)對(duì)其半徑的比值作為圓心角大小的度量，則此度量稱(chēng)為弳，又稱(chēng)為弧度。第十頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

三、直角概念、直線(xiàn)的垂直與平行關(guān)係（一）直角的形成及角的分類(lèi)

「直角」歸初得自人們觀察鉛直方向與水平方向所成之形象特徵。數(shù)學(xué)上，角以?xún)蛇吽傅姆较虿畹拇笮〖右苑诸?lèi)，若角度相等於一圓半徑繞圓心旋轉(zhuǎn)四分之一圓時(shí)，則稱(chēng)此角為「直角」。仿此定義，相等於半徑旋轉(zhuǎn)半個(gè)圓時(shí)，稱(chēng)為「平角」，若小於直角，則稱(chēng)為「銳角」，大於直角而小於平角，則稱(chēng)為「鈍角」，大於平角稱(chēng)為「優(yōu)角」，兩邊重疊的優(yōu)角稱(chēng)為「周角」或「全角」。

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三、直角概念、直線(xiàn)的垂直與平行關(guān)係（二）垂直和平行概念

垂直線(xiàn)：生活中所說(shuō)的垂直線(xiàn)，常指與水平面成直角的線(xiàn)，數(shù)學(xué)上的則稱(chēng)交角的直線(xiàn)為互相垂直的線(xiàn)。

平行線(xiàn)：二直線(xiàn)若方向相同，則為平行線(xiàn)，或處處等距的兩直線(xiàn)為平行線(xiàn)。若在平面上而言，可說(shuō)成任意延長(zhǎng)不相交的兩直線(xiàn)為平行線(xiàn)。

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四、角的合成與分解將旋轉(zhuǎn)臂以一定方向旋轉(zhuǎn)到一個(gè)程度停止，再旋轉(zhuǎn)後在停止。其結(jié)果與將旋轉(zhuǎn)臂一次旋轉(zhuǎn)至第二次停止的方向相當(dāng)，我們稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)角的合成。反之，本來(lái)預(yù)備以一定方向旋轉(zhuǎn)到某一定程度，但是還沒(méi)有轉(zhuǎn)到就停下來(lái)了。問(wèn)還要再轉(zhuǎn)多少程度？可以稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)角的分解。

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一、從圖形角、張開(kāi)角到旋轉(zhuǎn)角建立各種角概念

（一）圖形角

小學(xué)階段的兒童，尚不易理解理想化的角概念。根據(jù)荷蘭數(shù)學(xué)教育家vanHiele對(duì)兒童幾何思考模式的研究指出：兒童最初是透過(guò)視覺(jué)觀察具體物，由實(shí)物的輪廓來(lái)辨認(rèn)圖形，須透過(guò)感官的操作，視覺(jué)的觀察進(jìn)行分類(lèi)、造型、堆疊、描繪、著色等活動(dòng)獲得概念。

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數(shù)學(xué)新課程在最初引出角的概念時(shí)，由圖形角出發(fā)，採(cǎi)取角是多邊形頂點(diǎn)的局部的觀點(diǎn)，由描出凸多邊形各角的活動(dòng)引出角度小於180度的角之部份形象以認(rèn)識(shí)角。以「概念是解題活動(dòng)過(guò)程的抽象」的看法，讓兒童透過(guò)要素抽離的實(shí)際活動(dòng)，自多邊形上描下角形，使兒童認(rèn)識(shí)角是構(gòu)成多邊形的要素，初步認(rèn)識(shí)角。

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（二）張開(kāi)角

由於角的多種不同意義，兒童對(duì)角的理解較為困難，8至9歲的學(xué)童對(duì)角的認(rèn)識(shí)，大都僅止於物體上靜態(tài)的角之局部形象。因此為使理想化的角概念和實(shí)物上的角產(chǎn)生聯(lián)結(jié)，應(yīng)利用「角概念的產(chǎn)品」，如扇子的開(kāi)合現(xiàn)象紀(jì)入，從產(chǎn)品的功能及其形成活動(dòng)引出「角概念（張開(kāi)角）」、「角的內(nèi)部與角共生現(xiàn)象」、「方向改變」及「邊為射線(xiàn)的一部份（可任意延長(zhǎng)）」的意義。

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（三）旋轉(zhuǎn)角是一種動(dòng)作，動(dòng)作停止，其現(xiàn)象即消失，為具體呈現(xiàn)其起始位置和終止位置，通常以直線(xiàn)段或身線(xiàn)表出，若要強(qiáng)調(diào)其起始位置及旋轉(zhuǎn)方向，常以「」指示，如

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旋轉(zhuǎn)是一種較抽象難懂的位置變換，10到11歲的兒童，才有50%以上能夠描繪一個(gè)簡(jiǎn)單圖形繞著一個(gè)頂點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)（Michael,1989）。Kirsche（1987）認(rèn)為小學(xué)時(shí)期的兒童能夠而且應(yīng)該獲得旋轉(zhuǎn)的非正式經(jīng)驗(yàn)，旋轉(zhuǎn)角概念容易以像時(shí)鐘一樣的圖像表示，再由想像及觀察生活中類(lèi)似此種現(xiàn)象的轉(zhuǎn)動(dòng)情境，加強(qiáng)旋轉(zhuǎn)概念，第十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

此階段兒童幾何概念的發(fā)展，大都還屬於vanHiele所謂的視覺(jué)辨識(shí)過(guò)渡到分析期的階段，而且旋轉(zhuǎn)概念才初閃引出，對(duì)於旋轉(zhuǎn)一圈後，可再重復(fù)原路徑繼續(xù)旋轉(zhuǎn)的角概念，尚不易理解，故經(jīng)時(shí)僅以360度以?xún)?nèi)為範(fàn)圍，利用鐘面指針旋轉(zhuǎn)及間隔與旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)係，擴(kuò)展此概念。

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二、由角的大小比較、合成、度量單位的引出到畫(huà)特定角（一）兒童角量概念的發(fā)展特徵

根據(jù)皮亞傑（J.Piaget）的研究發(fā)現(xiàn)，角的大小常被兒童認(rèn)為和角臂的長(zhǎng)度有關(guān)。8歲以前的兒童，大都以角的邊長(zhǎng)來(lái)觀察角的大小，直到8歲以後，才能察覺(jué)角的兩國(guó)張開(kāi)的程度，但此時(shí)許多學(xué)童尚缺乏角的保留性概念，同大的角，若擺置的方向不同，如

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a和b為同大的角，c和d皆為直角，但擺放的開(kāi)口方向不同，他們會(huì)認(rèn)為大小不一樣。第二十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，兒童能察覺(jué)角的大小是指兩個(gè)邊張開(kāi)程度的不同之後，才能做兩個(gè)不同的角量之比較，進(jìn)而以一個(gè)基準(zhǔn)角去描述另一個(gè)角的角量，將角量數(shù)值化。Micheal強(qiáng)調(diào)兒童必須熟悉角的射線(xiàn)、區(qū)域、旋轉(zhuǎn)三種的概念，而且達(dá)到融會(huì)貫通之後，才能瞭解測(cè)出度數(shù)的意義。

第二十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

開(kāi)度相差較大的角，兒童可以由視覺(jué)判定其大小，開(kāi)度相差不大的角、角的邊長(zhǎng)短不一致或角的開(kāi)口方向不同，較難由視覺(jué)正確分辨的情況，可以經(jīng)引導(dǎo)後，利用疊合方式加以判別。

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開(kāi)度相差較大的角，兒童可以由視覺(jué)判定其大小，開(kāi)度相差不大的角、角的邊長(zhǎng)短不一致或角的開(kāi)口方向不同，較難由視覺(jué)正確分辨的情況，可以經(jīng)引導(dǎo)後，利用疊合方式加以判別。

兒童能以單位度量角度之前，必須先具備角的合成概念

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（二）由直觀比較、直接比較到間接比較判定兩個(gè)或兩個(gè)以上的角之大小

教學(xué)時(shí)，必須以不同的實(shí)便呈現(xiàn)不同特徵的角供兒童觀察、操作與討論。因此，新課程中，首先提出開(kāi)度差異較大的角，如張開(kāi)兩把差異極顯著的紙扇，由兒童直觀的利用視覺(jué)辨別。其次提供較難由視覺(jué)正確分辨其大小的角，如利用各種圖形板上的角，引出使用疊合之方式進(jìn)行直接比較。第二十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

直接比較與角所附著情境的不同，可分成四種不同難易層次，由低而高分別為（1）單純角形且可任意移動(dòng)的二角之疊合；（2）一角可隨意拿動(dòng)，另一角不可單獨(dú)移動(dòng)；（3）兩角皆不可單獨(dú)移動(dòng)，但其附著物可隨意移動(dòng)，且可疊合；（4）實(shí)物上的角，其中至少一個(gè)便於拿動(dòng)。教學(xué)時(shí)，自較低層次的比較情況開(kāi)始，再漸進(jìn)到較高層次的比較。

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（二）由直觀比較、直接比較到間接比較判定兩個(gè)或兩個(gè)以上的角之大小

教學(xué)時(shí)，必須以不同的實(shí)便呈現(xiàn)不同特徵的角供兒童觀察、操作與討論。因此，新課程中，首先提出開(kāi)度差異較大的角，如張開(kāi)兩把差異極顯著的紙扇，由兒童直觀的利用視覺(jué)辨別。其次提供較難由視覺(jué)正確分辨其大小的角，如利用各種圖形板上的角，引出使用疊合之方式進(jìn)行直接比較。第二十七頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

（三）由簡(jiǎn)化的量角器經(jīng)驗(yàn)刻度的描述到一般量角器引出「度」的意義

角度的二維持特徵和長(zhǎng)度的一維性質(zhì)不同，因此對(duì)初步經(jīng)驗(yàn)的兒童而言，一般量角器是一把量角的怪尺，為完全陌生的儀器，其構(gòu)造較為複雜，較難理解。新課程先以簡(jiǎn)化的量角器讓兒童查覺(jué)其上的刻度線(xiàn)，形成不同開(kāi)度的角形，再產(chǎn)生角的開(kāi)度與量角器上刻度數(shù)值之聯(lián)結(jié)，進(jìn)而嘗試在量角器上比對(duì)，逐漸形成以數(shù)值描述角度的共識(shí)。第二十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

其大致的引導(dǎo)過(guò)程如下：1.引出量角工具的需要感2.進(jìn)行角的合成及個(gè)別單位的累積3.認(rèn)識(shí)量角器上刻度的意義：第二十九頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

（四）角度的估測(cè)與驗(yàn)證

連續(xù)量的估測(cè)是一種粗糙的截取活動(dòng)，對(duì)某一定的量有了量感這後，也可以此量做增減，估計(jì)另一物件之量的大小。因此，在學(xué)童已有三角板上各個(gè)角度大小及1度、5度等概念之後，可以這些為參考進(jìn)行做測(cè)活動(dòng)，再以量角器加以驗(yàn)證，使學(xué)童增加角度量感及熟練量角器的操作要領(lǐng)。第三十頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

（五）使用量角器經(jīng)驗(yàn)畫(huà)特定度數(shù)的角之方法

1.畫(huà)出角的頂點(diǎn)和一個(gè)邊。2.用量角器量出角度，確定另一邊所落的位置，做上記號(hào)。3.把所做記號(hào)和頂點(diǎn)連出另一邊。教學(xué)時(shí)，只要兒童以合理策略畫(huà)出指定度數(shù)的角即可，並不限定其操作方法第三十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

（六）旋轉(zhuǎn)角的比較與度量、建立180度到360度以?xún)?nèi)之角度概念

第三十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)策略

三、由建立直角概念，察覺(jué)長(zhǎng)方形、正方形、直角三角形的特徵及引出直線(xiàn)的垂直與平行關(guān)係（一）兒童直角概念的認(rèn)知發(fā)展特徵

Bryant（1974）的研究發(fā)現(xiàn)，5歲的兒童可以在一堆直角與非直角的圖形卡中分辨出直角，且比一堆非直角的圖卡中彼此的區(qū)別容易。同時(shí)發(fā)現(xiàn)，在一些直角的圖形中，角的邊是否呈水平或鉛直，在比較兩角是否相等時(shí)，對(duì)於觀察者的反應(yīng)有敏感的影響。Noss（1987）發(fā)現(xiàn)部分的兒童對(duì)直角的保留概念發(fā)展約在10－11歲以後才較成熟。兒童最初僅接受一邊是水平，另一邊呈鉛直情況的直角。第三十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，