jsy3多元線性回歸模型

第三章經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型：多元線性回歸模型

多元線性回歸模型多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)多元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)多元線性回歸模型的預(yù)測(cè)回歸模型的其他形式回歸模型的參數(shù)約束§3.1多元線性回歸模型

一、多元線性回歸模型

二、多元線性回歸模型的基本假定

一、多元線性回歸模型

多元線性回歸模型:表現(xiàn)在線性回歸模型中的解釋變量有多個(gè)。

一般表現(xiàn)形式：i=1,2…,n其中:k為解釋變量的數(shù)目，j(j=1,2…,k)稱(chēng)為回歸參數(shù)（regressioncoefficient）。Yi=b0+b1X1i

+b2X2i

+...+bkXki

+mi

總體回歸模型n個(gè)隨機(jī)方程的矩陣表達(dá)式為:

其中

j也被稱(chēng)為偏回歸系數(shù)，表示在其他解釋變量保持不變的情況下，Xj每變化1個(gè)單位時(shí)，Y的均值E(Y)的變化;或者說(shuō)j給出了Xj的單位變化對(duì)Y均值的“直接”或“凈”（不含其他變量）影響。用來(lái)估計(jì)總體回歸模型的樣本回歸函數(shù)為：其隨機(jī)表示式:

ei稱(chēng)為殘差或剩余項(xiàng)(residuals)，可看成是總體回歸函數(shù)中隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)i的近似替代。

樣本回歸函數(shù)的矩陣表達(dá):

或其中：ikikiiieXXXY+++++=bbbb????22110LkikiiiXXXYbbbb?????22110++++=L二、多元線性回歸模型的基本假定

假設(shè)1，解釋變量是非隨機(jī)的或固定的，且各X之間互不相關(guān)（無(wú)多重共線性）。

假設(shè)2，隨機(jī)誤差項(xiàng)具有零均值、同方差及不序列相關(guān)性。

假設(shè)3，解釋變量與隨機(jī)項(xiàng)不相關(guān)假設(shè)4，隨機(jī)項(xiàng)滿足正態(tài)分布

§3.2多元線性回歸模型的估計(jì)

一、普通最小二乘估計(jì)*二、最大或然估計(jì)*三、矩估計(jì)四、參數(shù)估計(jì)量的性質(zhì)五、樣本容量問(wèn)題六、估計(jì)實(shí)例

說(shuō)明估計(jì)方法：3大類(lèi)方法：OLS、ML或者M(jìn)M在經(jīng)典模型中多應(yīng)用OLS在非經(jīng)典模型中多應(yīng)用ML或者M(jìn)M在本節(jié)中，ML與MM為選學(xué)內(nèi)容一、普通最小二乘估計(jì)對(duì)于隨機(jī)抽取的n組觀測(cè)值如果樣本函數(shù)的參數(shù)估計(jì)值已經(jīng)得到，則有：

i=1,2…n根據(jù)最小二乘原理，參數(shù)估計(jì)值應(yīng)該是右列方程組的解

其中于是得到關(guān)于待估參數(shù)估計(jì)值的正規(guī)方程組：

解該（k+1）個(gè)方程組成的線性代數(shù)方程組，即可得到(k+1)個(gè)待估參數(shù)的估計(jì)值$,,,,,bjj=012L。k□正規(guī)方程組的矩陣形式即由于X’X滿秩，故有

例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消費(fèi)支出例中，

可求得

于是

?隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差的無(wú)偏估計(jì)

可以證明，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差的無(wú)偏估計(jì)量為：

四、參數(shù)估計(jì)量的性質(zhì)在滿足基本假設(shè)的情況下，其結(jié)構(gòu)參數(shù)的普通最小二乘估計(jì)、最大或然估計(jì)及矩估計(jì)仍具有：

線性性、無(wú)偏性、有效性。同時(shí)，隨著樣本容量增加，參數(shù)估計(jì)量具有：

漸近無(wú)偏性、漸近有效性、一致性。

五、樣本容量問(wèn)題

所謂“最小樣本容量”，即從最小二乘原理和最大或然原理出發(fā)，欲得到參數(shù)估計(jì)量，不管其質(zhì)量如何，所要求的樣本容量的下限。

⒈最小樣本容量

樣本最小容量必須不少于模型中解釋變量的數(shù)目（包括常數(shù)項(xiàng)）,即

n

≥

k+1

2、滿足基本要求的樣本容量

從統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的角度：

n30時(shí)，Z檢驗(yàn)才能應(yīng)用；

n-k≥8時(shí),t分布較為穩(wěn)定

一般經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為:

當(dāng)n≥30或者至少n≥3(k+1)時(shí)，才能說(shuō)滿足模型估計(jì)的基本要求。

模型的良好性質(zhì)只有在大樣本下才能得到理論上的證明

六、多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)實(shí)例

例3.2.2在例2.5.1中，已建立了中國(guó)居民人均消費(fèi)一元線性模型。這里我們?cè)倏紤]建立多元線性模型。解釋變量：人均GDP：GDPP前期消費(fèi)：CONSP(-1)估計(jì)區(qū)間：1979~2000年Eviews軟件估計(jì)結(jié)果

§3.3多元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

一、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)二、方程的顯著性檢驗(yàn)(F檢驗(yàn))

三、變量的顯著性檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）四、模型的序列相關(guān)性檢驗(yàn)(DW法)

一、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)1、可決系數(shù)與調(diào)整的可決系數(shù)則總離差平方和的分解由于:

=0所以有：

注意：一個(gè)有趣的現(xiàn)象????－+++=ikiikiiieYXeXeebbb???110L

可決系數(shù)該統(tǒng)計(jì)量越接近于1，模型的擬合優(yōu)度越高。

問(wèn)題：在應(yīng)用過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，如果在模型中增加一個(gè)解釋變量，R2往往增大（Why?)這就給人一個(gè)錯(cuò)覺(jué)：要使得模型擬合得好，只要增加解釋變量即可?！?/p>

但是，現(xiàn)實(shí)情況往往是，由增加解釋變量個(gè)數(shù)引起的R2的增大與擬合好壞無(wú)關(guān)，R2需調(diào)整。

調(diào)整的可決系數(shù)（adjustedcoefficientofdetermination）

在樣本容量一定的情況下，增加解釋變量必定使得自由度減少，所以調(diào)整的思路是:將殘差平方和與總離差平方和分別除以各自的自由度，以剔除變量個(gè)數(shù)對(duì)擬合優(yōu)度的影響:其中：n-k-1為殘差平方和的自由度，n-1為總體平方和的自由度。

*2、赤池信息準(zhǔn)則和施瓦茨準(zhǔn)則

為了比較所含解釋變量個(gè)數(shù)不同的多元回歸模型的擬合優(yōu)度，常用的標(biāo)準(zhǔn)還有:

赤池信息準(zhǔn)則（Akaikeinformationcriterion,AIC）施瓦茨準(zhǔn)則（Schwarzcriterion，SC）

這兩準(zhǔn)則均要求僅當(dāng)所增加的解釋變量能夠減少AIC值或SC值時(shí)才在原模型中增加該解釋變量。

nnknSClnln+￠=eeei2Eviews的估計(jì)結(jié)果顯示：中國(guó)居民消費(fèi)二元例中：AIC=9.523SC=9.671中國(guó)居民消費(fèi)一元例中：AIC=9.929SC=10.028從這點(diǎn)看，可以說(shuō)前期人均居民消費(fèi)CONSP(-1)應(yīng)包括在模型中。

二、方程的顯著性檢驗(yàn)(F檢驗(yàn))

方程的顯著性檢驗(yàn)，旨在對(duì)模型中被解釋變量與解釋變量之間的線性關(guān)系在總體上是否顯著成立作出推斷。

1、方程顯著性的F檢驗(yàn)

即檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蚘i=0+1X1i+2X2i++kXki+ii=1,2,,n中的參數(shù)j是否顯著不為0。

可提出如下原假設(shè)與備擇假設(shè)：H0：1=2==k=0(注意0是否為0無(wú)關(guān)緊要)H1：j(j=1,…,k)不全為0F檢驗(yàn)的思想來(lái)自于總離差平方和的分解式：

TSS=ESS+RSS

如果ESS/RSS較大，則X的聯(lián)合體對(duì)Y的解釋程度高，可認(rèn)為總體存在線性關(guān)系，反之總體上可能不存在線性關(guān)系。

因此,可通過(guò)該比值的大小對(duì)總體線性關(guān)系進(jìn)行推斷。

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的知識(shí)，在原假設(shè)H0成立的條件下，統(tǒng)計(jì)量

服從自由度為(k,n-k-1)的F分布。

給定顯著性水平，可得到臨界值F(k,n-k-1)由樣本求出統(tǒng)計(jì)量F的數(shù)值，則當(dāng)F

F(k,n-k-1)時(shí)拒絕原假設(shè)H0，接受備擇假設(shè)H1，認(rèn)為原方程總體上線性關(guān)系顯著成立；當(dāng)F≤F(k,n-k-1)時(shí)接受原假設(shè)H0，認(rèn)為原方程總體上線性關(guān)系不顯著，故該方程不能成立。對(duì)于中國(guó)居民人均消費(fèi)支出的例子：一元模型：F=2859.54二元模型：F=2056.89給定顯著性水平=0.05，查分布表，得到臨界值：一元例：F(1,21)=4.32二元例：

F(2,19)=3.52（這里的第二自由度為何是19？）顯然有F

F(k,n-k-1)，即二個(gè)模型的線性關(guān)系在95%的水平下顯著成立。

2、關(guān)于擬合優(yōu)度檢驗(yàn)與方程顯著性檢驗(yàn)關(guān)系的討論

由可推出：與同理：F與R2同方向變化：當(dāng)R2=0時(shí)，F(xiàn)=0;R2越大，F(xiàn)值也越大;當(dāng)R2=1時(shí)，F(xiàn)為無(wú)窮大。檢驗(yàn)H0:b1=b2=...=bk等價(jià)于檢驗(yàn)R2=0問(wèn)題：可決系數(shù)和調(diào)整的可決系數(shù)都是不大于1的非負(fù)實(shí)數(shù)嗎？在中國(guó)居民人均收入—消費(fèi)一元模型中(n=23)，在中國(guó)居民人均收入—消費(fèi)二元模型中，由此可知，可決系數(shù)R2值即使很小，也不能就此斷定X與Y之間就沒(méi)有線性相關(guān)性。三、變量的顯著性檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）

方程的總體線性關(guān)系顯著每個(gè)解釋變量對(duì)被解釋變量的影響都是顯著的。因此，必須對(duì)每個(gè)解釋變量進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，以決定是否作為解釋變量被保留在模型中。這一檢驗(yàn)是由對(duì)變量的t檢驗(yàn)完成的。

1、t統(tǒng)計(jì)量

由于以cii表示矩陣(X’X)-1

主對(duì)角線上的第i個(gè)元素，于是參數(shù)估計(jì)量的方差為：

其中2為隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差，在實(shí)際計(jì)算時(shí)，用它的估計(jì)量代替:

因此，可構(gòu)造如下t統(tǒng)計(jì)量

2、t檢驗(yàn)設(shè)計(jì)原假設(shè)與備擇假設(shè)：

H1：i0

給定顯著性水平，可得到臨界值t/2(n-k-1)，由樣本求出統(tǒng)計(jì)量t的數(shù)值，通過(guò)|t|

t/2(n-k-1)或|t|≤t/2(n-k-1)來(lái)拒絕或接受原假設(shè)H0，從而判定對(duì)應(yīng)的解釋變量是否應(yīng)包括在模型中。

H0：i=0

（i=1,2…k）

注意：一元線性回歸中，t檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)一致

一方面，t檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)都是對(duì)相同的原假設(shè)H0：1=0進(jìn)行檢驗(yàn);

另一方面，兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量之間有如下關(guān)系：

在中國(guó)居民人均收入-消費(fèi)支出二元模型例中，由應(yīng)用軟件計(jì)算出參數(shù)的t值：給定顯著性水平=0.05，查得相應(yīng)臨界值：t0.025(19)=2.093?？梢?jiàn)，計(jì)算的所有t值都大于該臨界值，所以拒絕原假設(shè)。即:包括常數(shù)項(xiàng)在內(nèi)的3個(gè)解釋變量都在95%的水平下顯著，都通過(guò)了變量顯著性檢驗(yàn)。如何才能縮小置信區(qū)間？

增大樣本容量n，因?yàn)樵谕瑯拥臉颖救萘肯?，n越大，t分布表中的臨界值越小，同時(shí)，增大樣本容量，還可使樣本參數(shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差減小；提高模型的擬合優(yōu)度，因?yàn)闃颖緟?shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差與殘差平方和呈正比，模型優(yōu)度越高，殘差平方和應(yīng)越小。提高樣本觀測(cè)值的分散度,一般情況下，樣本觀測(cè)值越分散，(X'X)－1的分母的|X'X|的值越大，致使區(qū)間縮小。1、序列相關(guān)性概念

如果對(duì)于不同的樣本點(diǎn)，隨機(jī)誤差項(xiàng)之間不再是不相關(guān)的，而是存在某種相關(guān)性，則認(rèn)為出現(xiàn)了序列相關(guān)性。

對(duì)于模型

Yt=0+1X1t+2X2t+…+kXkt+t

t=1,2,…,n隨機(jī)項(xiàng)互不相關(guān)的基本假設(shè)表現(xiàn)為

Cov(t

,t)=0

tj,t,j=1,2,…,n四、模型的序列相關(guān)性檢驗(yàn)——杜賓-瓦森（Durbin-Watson）檢驗(yàn)法

或在其他假設(shè)仍成立的條件下，序列相關(guān)即意味著0)(1jtEmm稱(chēng)為一階列相關(guān)，或自相關(guān)（autocorrelation）其中：被稱(chēng)為自協(xié)方差系數(shù)（coefficientofautocovariance）或一階自相關(guān)系數(shù)（first-ordercoefficientofautocorrelation）

i是滿足以下標(biāo)準(zhǔn)的OLS假定的隨機(jī)干擾項(xiàng)：如果僅存在

E(t

t+1)0

t=1,2,…,n自相關(guān)往往可寫(xiě)成如下形式：

t=t-1+t-1<<1

由于序列相關(guān)性經(jīng)常出現(xiàn)在以時(shí)間序列為樣本的模型中，因此，本節(jié)將用下標(biāo)t代表i。2、實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的序列相關(guān)性

大多數(shù)經(jīng)濟(jì)時(shí)間數(shù)據(jù)都有一個(gè)明顯的特點(diǎn):慣性，表現(xiàn)在時(shí)間序列不同時(shí)間的前后關(guān)聯(lián)上。由于消費(fèi)習(xí)慣的影響被包含在隨機(jī)誤差項(xiàng)中，則可能出現(xiàn)序列相關(guān)性（往往是正相關(guān)）。例如，絕對(duì)收入假設(shè)下居民總消費(fèi)函數(shù)模型：Ct=0+1Yt+tt=1,2,…,n(1)、經(jīng)濟(jì)變量固有的慣性(2)、模型設(shè)定的偏誤

所謂模型設(shè)定偏誤（Specificationerror）是指所設(shè)定的模型“不正確”。主要表現(xiàn)在模型中丟掉了重要的解釋變量或模型函數(shù)形式有偏誤。

例如，本來(lái)應(yīng)該估計(jì)的模型為

Yt=0+1X1t+2X2t+3X3t+t但在模型設(shè)定中做了下述回歸：

Yt=0+1X1t+1X2t+vt因此，vt=3X3t+t，如果X3確實(shí)影響Y，則出現(xiàn)序列相關(guān)。

但建模時(shí)設(shè)立了如下模型：Yt=0+1Xt+vt因此，由于vt=2Xt2+t,，包含了產(chǎn)出的平方對(duì)隨機(jī)項(xiàng)的系統(tǒng)性影響，隨機(jī)項(xiàng)也呈現(xiàn)序列相關(guān)性。又如：如果真實(shí)的邊際成本回歸模型應(yīng)為：Yt=0+1Xt+2Xt2+t其中：Y=邊際成本，X=產(chǎn)出，(3)、數(shù)據(jù)的“編造”例如：季度數(shù)據(jù)來(lái)自月度數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單平均，這種平均的計(jì)算減弱了每月數(shù)據(jù)的波動(dòng)性，從而使隨機(jī)干擾項(xiàng)出現(xiàn)序列相關(guān)。還有就是兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)之間的“內(nèi)插”技術(shù)往往導(dǎo)致隨機(jī)項(xiàng)的序列相關(guān)性。

在實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中，有些數(shù)據(jù)是通過(guò)已知數(shù)據(jù)生成的。因此，新生成的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)間就有了內(nèi)在的聯(lián)系，表現(xiàn)出序列相關(guān)性。

計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型一旦出現(xiàn)序列相關(guān)性，如果仍采用OLS法估計(jì)模型參數(shù)，會(huì)產(chǎn)生下列不良后果：3、序列相關(guān)性的后果(1)、參數(shù)估計(jì)量非有效因?yàn)?，在有效性證明中利用了E(NN’)=2I

即同方差性和互相獨(dú)立性條件。(2)、變量的顯著性檢驗(yàn)失去意義

在變量的顯著性檢驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)量是建立在參數(shù)方差正確估計(jì)基礎(chǔ)之上的，這只有當(dāng)隨機(jī)誤差項(xiàng)具有同方差性和互相獨(dú)立性時(shí)才能成立。其他檢驗(yàn)也是如此。(3)、模型的預(yù)測(cè)失效

區(qū)間預(yù)測(cè)與參數(shù)估計(jì)量的方差有關(guān)，在方差有偏誤的情況下，使得預(yù)測(cè)估計(jì)不準(zhǔn)確，預(yù)測(cè)精度降低。所以，當(dāng)模型出現(xiàn)序列相關(guān)性時(shí)，它的預(yù)測(cè)功能失效。D-W檢驗(yàn)是杜賓（J.Durbin）和瓦森(G.S.Watson)于1951年提出的一種檢驗(yàn)序列自相關(guān)的方法，該方法的假定條件是：（1）解釋變量X非隨機(jī)；（2）隨機(jī)誤差項(xiàng)t為一階自回歸形式：

t=t-1+t（3）回歸模型中不應(yīng)含有滯后應(yīng)變量作為解釋變量，即不應(yīng)出現(xiàn)下列形式：Yt=0+1X1t+kXkt+Yt-1+t（4）回歸含有截距項(xiàng)4、序列相關(guān)性檢驗(yàn)——DW檢驗(yàn)法

該統(tǒng)計(jì)量的分布與出現(xiàn)在給定樣本中的X值有復(fù)雜的關(guān)系，因此其精確的分布很難得到。但是，他們成功地導(dǎo)出了臨界值的下限dL和上限dU，且這些上下限只與樣本的容量n和解釋變量的個(gè)數(shù)k有關(guān)，而與解釋變量X的取值無(wú)關(guān)。杜賓和瓦森針對(duì)原假設(shè)：H0:=0，即不存在一階自回歸，構(gòu)造如下統(tǒng)計(jì)量：

D.W.統(tǒng)計(jì)量D.W檢驗(yàn)步驟:（1）計(jì)算DW值（2）給定，由n和k的大小查DW分布表，得臨界值dL和dU（3）比較、判斷若0<D.W.<dL存在正自相關(guān)dL<D.W.<dU不能確定dU<D.W.<4－dU無(wú)自相關(guān)4－dU<D.W.<4－dL不能確定4－dL<D.W.<4存在負(fù)自相關(guān)

0dLdU24-dU4-dL4正相關(guān)不能確定無(wú)自相關(guān)不能確定負(fù)相關(guān)當(dāng)D.W.值在2左右時(shí)，模型不存在一階自相關(guān)。

證明：展開(kāi)D.W.統(tǒng)計(jì)量：

(*)如果存在完全一階正相關(guān)，即=1，則D.W.0

完全一階負(fù)相關(guān)，即=-1,則D.W.4

完全不相關(guān)，即=0，則D.W.2這里，為一階自回歸模型

t=t-1+t的參數(shù)估計(jì)?！?.4多元線性回歸模型的預(yù)測(cè)

一、Y0的預(yù)測(cè)值二、Y0的置信區(qū)間對(duì)于模型

給定樣本以外的解釋變量的觀測(cè)值X0=(1,X10,X20,…,Xk0)，可以得到被解釋變量的預(yù)測(cè)值：它是Y0的預(yù)測(cè)。但嚴(yán)格地說(shuō)，這只是被解釋變量的預(yù)測(cè)值的估計(jì)值，而不是預(yù)測(cè)值。

為了進(jìn)行科學(xué)預(yù)測(cè)，還需求出預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間，即Y0的置信區(qū)間。

Y0的置信區(qū)間如果已經(jīng)知道實(shí)際的預(yù)測(cè)值Y0，那么預(yù)測(cè)誤差為：容易證明

e0服從正態(tài)分布，即

構(gòu)造t統(tǒng)計(jì)量

可得給定(1-)的置信水平下Y0的置信區(qū)間：

中國(guó)居民人均收入-消費(fèi)支出二元模型例中：2001年人均GDP：4033.1元，于是人均居民消費(fèi)的預(yù)測(cè)值為

?2001=120.7+0.2213×4033.1+0.4515×1690.8=1776.726（元）

實(shí)測(cè)值（90年價(jià)）=1782.2元，相對(duì)誤差：-0.31%，與一元模型相比，相對(duì)誤差降低了。預(yù)測(cè)的置信區(qū)間：一元模型：CONSP2001=201.107+0.38624033.1=1758.7（元）于是E(?2001）的95%的置信區(qū)間為:

或（1741.8，1811.7）X0(X'X)-1X'0

=0.3938(注意書(shū)上寫(xiě)錯(cuò)了！)或（1776.8-2.093*31.358,1776.8+2.093*31.358,）

同樣，易得?2001的95%的置信區(qū)間為或

（1711.1,1842.4）

比較：一元模型的置信區(qū)間為：（1680.62,1836.78）劉書(shū)P54頁(yè)應(yīng)用實(shí)例3.4.1快遞服務(wù)公司統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表編號(hào)工作時(shí)間Y投遞行程X2業(yè)務(wù)次數(shù)X319.3100424.850338.9100446.5100254.250266.280277.47538665497.6903106.1902合計(jì)6780029建立回歸模型用eviews計(jì)算：i=1,2…,nYi=b1+b2X2i

+b3X3i

+mi

當(dāng)X2

=60,X3i=2時(shí)Y的預(yù)測(cè)值為：4.6462(先把eviews里的X2和X3數(shù)列添加第11個(gè)值60和2，再進(jìn)入回歸計(jì)算結(jié)果頁(yè)面點(diǎn)工具欄上的“forecast”即可)由eviews計(jì)算結(jié)果可知，總體方差的樣本標(biāo)準(zhǔn)差(也稱(chēng)回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差S.E.ofRegression)為0.5731由此按照公式不難把預(yù)測(cè)區(qū)間算出。(注意閱讀劉書(shū)P54 關(guān)于用S代替S0求解預(yù)測(cè)區(qū)間的解釋)Yi=-0.8687

+

0.0611X2i

+

0.9234X3i

+mi

回歸方程為：第5節(jié)虛擬變量模型

一、虛擬變量的基本含義二、虛擬變量的引入三、虛擬變量的設(shè)置原則一、虛擬變量的基本含義許多經(jīng)濟(jì)變量是可以定量度量的，如：商品需求量、價(jià)格、收入、產(chǎn)量等但也有一些影響經(jīng)濟(jì)變量的因素?zé)o法定量度量，如：職業(yè)、性別對(duì)收入的影響，戰(zhàn)爭(zhēng)、自然災(zāi)害對(duì)GDP的影響，季節(jié)對(duì)某些產(chǎn)品（如冷飲）銷(xiāo)售的影響等等。為了在模型中能夠反映這些因素的影響，并提高模型的精度，需要將它們“量化”，這種“量化”通常是通過(guò)引入“虛擬變量”來(lái)完成的。根據(jù)這些因素的屬性類(lèi)型，構(gòu)造只取“0”或“1”的人工變量，通常稱(chēng)為虛擬變量（dummyvariables），記為D。例如，反映文化程度的虛擬變量可取為：1，本科學(xué)歷D=0，非本科學(xué)歷一般地，在虛擬變量的設(shè)置中：基礎(chǔ)類(lèi)型、肯定類(lèi)型取值為1；比較類(lèi)型，否定類(lèi)型取值為0。概念：同時(shí)含有一般解釋變量與虛擬變量的模型稱(chēng)為虛擬變量模型或者方差分析（analysis-ofvariance:ANOVA）模型。一個(gè)以性別為虛擬變量考察企業(yè)職工薪金的模型：其中：Yi為企業(yè)職工的薪金，Xi為工齡，Di=1，若是男性，Di=0，若是女性。

二、虛擬變量的引入虛擬變量做為解釋變量引入模型有兩種基本方式：加法方式和乘法方式。

企業(yè)男職工的平均薪金為：上述企業(yè)職工薪金模型中性別虛擬變量的引入采取了加法方式。在該模型中，如果仍假定E(i)=0，則

企業(yè)女職工的平均薪金為：

1、加法方式幾何意義：假定2>0，則兩個(gè)函數(shù)有相同的斜率，但有不同的截距。意即，男女職工平均薪金對(duì)教齡的變化率是一樣的，但兩者的平均薪金水平相差2?？梢酝ㄟ^(guò)傳統(tǒng)的回歸檢驗(yàn)，對(duì)2的統(tǒng)計(jì)顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)，以判斷企業(yè)男女職工的平均薪金水平是否有顯著差異。02

又例：在橫截面數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，考慮個(gè)人保健支出對(duì)個(gè)人收入和教育水平的回歸。教育水平考慮三個(gè)層次：高中以下，高中，大學(xué)及其以上模型可設(shè)定如下：這時(shí)需要引入兩個(gè)虛擬變量：在E(i)=0的初始假定下，高中以下、高中、大學(xué)及其以上教育水平下個(gè)人保健支出的函數(shù)：高中以下：高中：大學(xué)及其以上：假定3>2，其幾何意義：還可將多個(gè)虛擬變量引入模型中以考察多種“定性”因素的影響。

如在上述職工薪金的例中，再引入代表學(xué)歷的虛擬變量D2：本科及以上學(xué)歷本科以下學(xué)歷職工薪金的回歸模型可設(shè)計(jì)為：女職工本科以下學(xué)歷的平均薪金：女職工本科以上學(xué)歷的平均薪金：于是，不同性別、不同學(xué)歷職工的平均薪金分別為：男職工本科以下學(xué)歷的平均薪金：男職工本科以上學(xué)歷的平均薪金：

2、乘法方式加法方式引入虛擬變量，考察：截距的不同，許多情況下：往往是斜率有變化，或斜率、截距同時(shí)發(fā)生變化。斜率的變化可通過(guò)以乘法的方式引入虛擬變量來(lái)測(cè)度。例：根據(jù)消費(fèi)理論，消費(fèi)水平C主要取決于收入水平Y(jié)，但在一個(gè)較長(zhǎng)的時(shí)期，人們的消費(fèi)傾向會(huì)發(fā)生變化，尤其是在自然災(zāi)害、戰(zhàn)爭(zhēng)等反常年份，消費(fèi)傾向往往出現(xiàn)變化。這種消費(fèi)傾向的變化可通過(guò)在收入的系數(shù)中引入虛擬變量來(lái)考察。這里，虛擬變量D以與X相乘的方式引入了模型中，從而可用來(lái)考察消費(fèi)傾向的變化。假定E(i)=0，上述模型所表示的函數(shù)可化為：

正常年份：

反常年份：如，設(shè)消費(fèi)模型可建立如下：

當(dāng)截距與斜率發(fā)生變化時(shí)，則需要同時(shí)引入加法與乘法形式的虛擬變量。例5.1.1，考察1990年前后的中國(guó)居民的總儲(chǔ)蓄-收入關(guān)系是否已發(fā)生變化。表5.1.1中給出了中國(guó)1979~2001年以城鄉(xiāng)儲(chǔ)蓄存款余額代表的居民儲(chǔ)蓄以及以GNP代表的居民收入的數(shù)據(jù)。以Y為儲(chǔ)蓄，X為收入，可令：1990年前：Yi=1+2Xi+1ii=1,2…,n1

1990年后：Yi=1+2Xi+2ii=1,2…,n2

則有可能出現(xiàn)下述四種情況中的一種：(1)1=1，且2=2，即兩個(gè)回歸相同，稱(chēng)為重合回歸（CoincidentRegressions）；(2)11,但2=2，即兩個(gè)回歸的差異僅在其截距，稱(chēng)為平行回歸（ParallelRegressions）;(3)1=1，但22，即兩個(gè)回歸的差異僅在其斜率，稱(chēng)為匯合回歸(ConcurrentRegressions)；(4)11，且22，即兩個(gè)回歸完全不同，稱(chēng)為相異回歸（DissimilarRegressions）?？梢赃\(yùn)用鄒氏結(jié)構(gòu)變化的檢驗(yàn)。這一問(wèn)題也可通過(guò)引入乘法形式的虛擬變量來(lái)解決。將n1與n2次觀察值合并，并用以估計(jì)以下回歸：Di為引入的虛擬變量：于是有：可分別表示1990年后期與前期的儲(chǔ)蓄函數(shù)。在統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中，如果4=0的假設(shè)被拒絕，則說(shuō)明兩個(gè)時(shí)期中儲(chǔ)蓄函數(shù)的斜率不同。具體的回歸結(jié)果為：(-6.11)(22.89)(4.33)(-2.55)由3與4的t檢驗(yàn)可知：參數(shù)顯著地不等于0，強(qiáng)烈示出兩個(gè)時(shí)期的回歸是相異的，

儲(chǔ)蓄函數(shù)分別為：1990年前：1990年后：=0.98363、臨界指標(biāo)的虛擬變量的引入在經(jīng)濟(jì)發(fā)生轉(zhuǎn)折時(shí)期，可通過(guò)建立臨界指標(biāo)的虛擬變量模型來(lái)反映。例如，進(jìn)口消費(fèi)品數(shù)量Y主要取決于國(guó)民收入X的多少，中國(guó)在改革開(kāi)放前后，Y對(duì)X的回歸關(guān)系明顯不同。這時(shí)，可以t*=1979年為轉(zhuǎn)折期，以1979年的國(guó)民收入Xt*為臨界值，設(shè)如下虛擬變量：則進(jìn)口消費(fèi)品的回歸模型可建立如下：

OLS法得到該模型的回歸方程為則兩時(shí)期進(jìn)口消費(fèi)品函數(shù)分別為：當(dāng)t<t*=1979年，當(dāng)tt*=1979年，三、虛擬變量的設(shè)置原則虛擬變量的個(gè)數(shù)須按以下原則確定：

每一定性變量所需的虛擬變量個(gè)數(shù)要比該定性變量的類(lèi)別數(shù)少1，即如果有m個(gè)定性變量，只在模型中引入m-1個(gè)虛擬變量。

例。已知冷飲的銷(xiāo)售量Y除受k種定量變量Xk的影響外，還受春、夏、秋、冬四季變化的影響，要考察該四季的影響