定積分基本定理

定積分基本定理第一頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日4.2.1變上限定積分如果x是區(qū)間[a,b]上任意一點(diǎn)，定積分表示曲線y=f(x)在部分區(qū)間[a,x]

上曲邊梯形AaxC的面積，如圖中陰影部分所示的面積.當(dāng)x在區(qū)間[a,b]

上變化時(shí),陰影部分的曲邊梯形面積也隨之變化，所以變上限定積分yxy=f(x)axbOACB是上限變量x的函數(shù).記作

F(x)，即≤≤F(x)第二頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日注意到教材中的積分式,積分上限中的積分變量，與被積函數(shù)中自變量用的是同一個(gè)字母符號(hào)，其實(shí)兩者的含義是不同的,為避免混淆,這里改用為積分變量.由于定積分的值與積分變量的記號(hào)無(wú)關(guān),把積分變量改用別的字母表示,不影響積分結(jié)果.通常稱積分式為變上限的積分第三頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日變上限的積分≤≤有下列重要性質(zhì):定理4.1

若函數(shù)

f(x)在區(qū)間

[a,b]

上連續(xù)，則變上限定積分在區(qū)間

[a,b]

上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，即第四頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日定理4.1告訴我們，是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]

上的一個(gè)原函數(shù)，這就肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，所以，定理4.1也稱為原函數(shù)存在定理.變上限定積分

推論

(原函數(shù)存在的充分條件)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),

在該區(qū)間上它的原函數(shù)一定存在.第五頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日例

1(1)

求(x).解

根據(jù)定理4.1，得(2)求解第六頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日補(bǔ)充例求(x).解(x)第七頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日補(bǔ)充例求F(x).解

根據(jù)定理

1，得第八頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日*補(bǔ)充例

解第九頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日例2求解當(dāng)時(shí),原式為型不定式,可用洛必達(dá)法則求得第十頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日4.2.2微積分的基本公式定理

如果函數(shù)

f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)是

f(x)在區(qū)間

[a,b]

上任一原函數(shù)，那么為了今后使用該公式方便起見(jiàn)，把上式右端的這樣上面公式就寫(xiě)成如下形式：“Newton—Leibniz公式”第十一頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日例

3

計(jì)算下列定積分.

解第十二頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日4.2.3定積分的性質(zhì)下面各性質(zhì)中的函數(shù)都假設(shè)是可積的.

性質(zhì)

1

(1)

兩個(gè)函數(shù)和的定積分等于它們定積分的和，即性質(zhì)2

被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分外面，即第十三頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)

1

(1)

可推廣到有限多個(gè)函數(shù)代數(shù)和的情況，即第十四頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)

3

(積分對(duì)區(qū)間可加性)

如果積分區(qū)間

[a,b]

被點(diǎn)

c分成兩個(gè)區(qū)間

[a,c]

和

[c,b]，那么當(dāng)點(diǎn)

c不介于a

與b

之間，即c<a<b

或a<b<c時(shí)，結(jié)論仍正確.第十五頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日補(bǔ)充例題

計(jì)算下列定積分.

解第十六頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日解

把被積函數(shù)化簡(jiǎn).補(bǔ)例

計(jì)算第十七頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日解補(bǔ)充題例≤≤第十八