定積分的概念

定積分的概念第一頁，共四十一頁，2022年，8月28日除雪機(jī)除雪問題

冬天的大雪，使公路上積起厚雪而影響交通．有條10kg長(zhǎng)的公路由一臺(tái)除雪機(jī)負(fù)責(zé)除雪．每當(dāng)路面積雪平均厚度達(dá)到0.5m時(shí)，除雪機(jī)就開始工作．但問題是開始除雪后,大雪仍下個(gè)不停，使路面積雪越來越深，除雪機(jī)工作速度逐漸降低，直到無法繼續(xù)工作．若除雪機(jī)工作速度v(m/s)與積雪厚度d(m)成正比，其在無雪路面上行走速度為10m/s，且當(dāng)積雪達(dá)1.5m時(shí)，無法工作.試給出除雪機(jī)工作速度與積雪厚度間的關(guān)系；若下雪速度恒定為0.1cm/s，問一臺(tái)除雪機(jī)可否完成任務(wù)．第二頁，共四十一頁，2022年，8月28日(1)怎樣才算完成任務(wù)?(2)怎樣計(jì)算走過的距離?除雪機(jī)所走過的路程為一、除雪機(jī)除雪問題問題結(jié)論第三頁，共四十一頁，2022年，8月28日abxyo實(shí)例1（求曲邊梯形的面積）如圖一、問題的提出第四頁，共四十一頁，2022年，8月28日abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）第五頁，共四十一頁，2022年，8月28日觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．播放第六頁，共四十一頁，2022年，8月28日(1)分割在區(qū)間任意插n個(gè)分點(diǎn)，把分成n個(gè)小區(qū)間：每

個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度如圖：曲邊梯形第七頁，共四十一頁，2022年，8月28日（3）求和：面積的近似值為（2）近似代替：（以直代曲）（4）取極限，精確化：第八頁，共四十一頁，2022年，8月28日V雖然是變速，但在很短一段間隔內(nèi)，V的變化不大，可近似看作是勻速運(yùn)動(dòng)問題。按照求曲邊梯形面積的思想。V(T)AB設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng),且計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程。連續(xù)函數(shù),是時(shí)間間隔已知速度上的（求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）實(shí)例2第九頁，共四十一頁，2022年，8月28日路程=速度×?xí)r間.勻速直線運(yùn)動(dòng)：(1)分割(2)近似代替(3)求和(4)取極限（求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）實(shí)例2第十頁，共四十一頁，2022年，8月28日從上面例子看出，不管是求曲邊梯形的面積或是計(jì)算變速運(yùn)動(dòng)的路程，它們都?xì)w結(jié)為對(duì)問題的某些量進(jìn)行“分割、近似代替、求和、取極限”，或者說都?xì)w結(jié)為形如的和式極限問題。我們把這些問題從具體的問題中抽象出來，作為一個(gè)數(shù)學(xué)概念提出來就是今天要講的定積分。由此我們可以給定積分的定義。

第十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日定義二、定積分的定義第十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量記為積分上限積分下限積分和第十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日1.與的差別

是的全體原函數(shù)是函數(shù)是一個(gè)和式的極限是一個(gè)確定的常數(shù)2.當(dāng)?shù)臉O限存在時(shí)，其極限值僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與區(qū)間的分法及點(diǎn)的取法無關(guān)。f(x)[a,b]注意第十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日3．定積分的值與積分變量用什么字母表示無關(guān)，即有4．規(guī)定：

注意第十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日與區(qū)間及被積函數(shù)有關(guān)；B.與區(qū)間無關(guān)與被積函數(shù)有關(guān)C.與積分變量用何字母表示有關(guān)；D.與被積函數(shù)的形式無關(guān)

在上連續(xù)，則定積分的值4.及x軸所圍成的曲邊梯形的面積，用定積分表示為

與直線由曲線2-2[-2,2]0A3.定積分練習(xí)中，積分上限是

積分下限是________

2.積分區(qū)間是

第十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值三、定積分的幾何意義第十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日各部分面積的代數(shù)和第十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日性質(zhì)1：性質(zhì)2：被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外四、定積分的基本性質(zhì)第十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日性質(zhì)3：對(duì)調(diào)定積分上下限，改變符號(hào)當(dāng)a=b時(shí)性質(zhì)4：（積分的可加性）第二十頁，共四十一頁，2022年，8月28日分割化整為零求和積零為整取極限精確值——定積分求近似以直（不變）代曲（變）取極限小結(jié)定積分的實(shí)質(zhì)：特殊和式的極限．定積分的思想和方法：定積分的幾何意義：第二十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日練習(xí)題被積函數(shù)

圍成的各個(gè)部分面積的代數(shù)和

積分變量

積分區(qū)間第二十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日練習(xí)題

1

-15A

如何表述定積分的幾何意義？根據(jù)幾何意義推出定積分的值：

4A

3A2ππ第二十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第二十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第二十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第二十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第二十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第二十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第二十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第三十頁，共四十一頁，2022年，8月28日觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第三十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第三十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第三十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第三十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第三十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第三十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第三十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩