對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第一頁，共十七頁，2022年，8月28日一、復(fù)習(xí)與引入：1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義.2.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.3.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則.4.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.5.由前面幾節(jié)課的知識,我們已經(jīng)掌握了初等函數(shù)中的冪函數(shù)、三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù),但還缺少指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),而這就是我們今天要新學(xué)的內(nèi)容.有了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),也就解決了初等函數(shù)的可導(dǎo)性.結(jié)合前一章節(jié)的知識,我們可知,初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)而且可導(dǎo).第二頁，共十七頁，2022年，8月28日二、新課——指、對函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1.對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù):下面給出公式的證明,中間用到重要極限證:第三頁，共十七頁，2022年，8月28日證:利用對數(shù)的換底公式即得:2.指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù):由于以上兩個(gè)公式的證明,需要用到反函數(shù)的求導(dǎo)法則,這已經(jīng)超出了目前我們的學(xué)習(xí)范圍,因此在這里我們不加以證明,直接拿來使用.第四頁，共十七頁，2022年，8月28日三、例題選講：例1:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=ln(2x2+3x+1)(2)y=lg(3)y=e2xcos3x(4)y=a5x解:(1)(2)法1:(2)法2:(3)(4)第五頁，共十七頁，2022年，8月28日例2:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):解:解:設(shè)y=au,u=cosv,v=1/x,則:第六頁，共十七頁，2022年，8月28日解:解:函數(shù)的定義域?yàn)榈谄唔?，共十七頁?022年，8月28日例3:已知f(x)為可導(dǎo)函數(shù),試求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=f(lnx);(2)y=f();(3)y=f(ex).解:(1)(2)(3)解此類題應(yīng)注意:(1)分清是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的.(2)用逐步的方法來進(jìn)行求導(dǎo).第八頁，共十七頁，2022年，8月28日練習(xí)1:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):答案:第九頁，共十七頁，2022年，8月28日例4:設(shè)一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為為常數(shù),試求t=1/2時(shí)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度v0.解:故當(dāng)t=1/2時(shí),質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度v0為:第十頁，共十七頁，2022年，8月28日例5:求曲線y=xlnx的平行于直線x-y+1=0的切線方程.解:設(shè)該切線與曲線相切的切點(diǎn)為(x0,x0lnx0).故曲線在點(diǎn)(x0,x0lnx0)處的切線斜率為lnx0+1.由已知可得:lnx0+1=1,即x0=1,故切點(diǎn)為(1,0).所以所求切線方程為y-0=x-1,即x-y-1=0.答案:①x+ey-2e=0,②(1+e)x-ey-e2=0.練習(xí)2:分別求曲線①y=logxe;②在點(diǎn)(e,1)處的切線方程.延伸:設(shè)點(diǎn)P是曲線y=ex上任意一點(diǎn),求點(diǎn)P到直線y=x的最小距離.答案:第十一頁，共十七頁，2022年，8月28日四、小結(jié)：對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是常用的導(dǎo)數(shù)公式中較難的兩類函數(shù)的導(dǎo)數(shù),要熟記公式,會(huì)用公式,用活公式.(2)解決指、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題,應(yīng)充分重視指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的準(zhǔn)確使用,以保證變換過程的等價(jià)性.(3)在求指、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)過程中,要遵循先化簡,再求導(dǎo)的原則;要結(jié)合導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo).第十二頁，共十七頁，2022年，8月28日第十三頁，共十七頁，2022年，8月28日例6:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=xx(x>0);(2)y=[f(x)]g(x).解:(1)兩邊取對數(shù),得lny=xlnx.由于y是x的函數(shù),由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則對上式兩邊對x求導(dǎo),可得:(2)兩邊取對數(shù),得lny=g(x)lnf(x),兩邊對x求導(dǎo),可得:說明:(1)解法可能對lny求導(dǎo)不易理解,事實(shí)上,若u=lny,y=f(x),則第十四頁，共十七頁，2022年，8月28日(2)本題用的求導(dǎo)方法習(xí)慣上稱為對數(shù)求導(dǎo)法,即先兩邊取對數(shù),再對x求導(dǎo).一般適用于下列兩類函數(shù):①形如y=(x-a1)(x-a2)…(x-an)的函數(shù),取對數(shù)后,可

將積轉(zhuǎn)化為和的形式,或,取對數(shù)后,可轉(zhuǎn)化為代數(shù)和的形式.②無理函數(shù)或形如y=[f(x)]g(x)這類冪指函數(shù).(3)對數(shù)求導(dǎo)法的優(yōu)點(diǎn):一是可使問題簡單化(積、商變和、差,冪、根變積式),二是可使較復(fù)雜函數(shù)求導(dǎo)變?yōu)榭赡?無求導(dǎo)公式變?yōu)橛星髮?dǎo)公式).例如我們利用上面例題中的(2)可知中的n的范圍可以擴(kuò)大到全體實(shí)數(shù).又如下面一題我們就有兩種不同的解法:第十五頁，共十七頁，2022年，8月28日方法二:由于y>0,故可以兩邊取對數(shù).題目:已知0<x<1,求