對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算的認(rèn)識(shí)

對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算的認(rèn)識(shí)第一頁，共五十四頁，2022年，8月28日對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算的認(rèn)識(shí)

運(yùn)算能力是最基礎(chǔ)又是應(yīng)用最廣的一種能力，在高考中半數(shù)以上的題目需要運(yùn)算，運(yùn)算始終是高三沉重的話題。現(xiàn)實(shí)狀況令人擔(dān)憂，學(xué)生運(yùn)算能力普遍偏差，高考中的運(yùn)算問題成了莘莘學(xué)子升學(xué)的攔路虎.毫不夸張地說，考生高考“成也運(yùn)算，敗也運(yùn)算”.

在實(shí)際的教學(xué)活動(dòng)中，不明算理，機(jī)械地套用運(yùn)算公式；不顧運(yùn)算目標(biāo)，進(jìn)行盲目的推理演算；運(yùn)算過程中缺乏選擇合理、簡潔的運(yùn)算途徑的意識(shí)，運(yùn)算過程繁瑣，錯(cuò)誤率高等現(xiàn)象經(jīng)常發(fā)生。不少老師和學(xué)生對(duì)運(yùn)算能力的內(nèi)涵缺乏科學(xué)認(rèn)識(shí)，常常將運(yùn)算過程中的錯(cuò)誤原因歸結(jié)到非認(rèn)知因素上，認(rèn)為是“馬虎”、“粗心”“不注意”才造成運(yùn)算錯(cuò)誤。他們總是只看重解題過程中的方法和思路，對(duì)運(yùn)算的具體實(shí)施，對(duì)運(yùn)算過程中的合理性、簡潔性等都沒有給出足夠的重視。

第二頁，共五十四頁，2022年，8月28日

基于此，如何在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)過程中強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)、落實(shí)運(yùn)算能力的培養(yǎng)就成了咱們高三數(shù)學(xué)人必須直面的課題.現(xiàn)就高三復(fù)習(xí)教學(xué)中的運(yùn)算問題及培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力問題與各位交流，旨在拋磚引玉，主要談三個(gè)方面問題：一是導(dǎo)致學(xué)生運(yùn)算能力普遍較差的成因分析，二是解讀運(yùn)算能力，三是關(guān)于培養(yǎng)運(yùn)算能力的建議。

一、導(dǎo)致高三學(xué)生運(yùn)算能力普遍較差的成因分析運(yùn)算能力差是導(dǎo)致數(shù)學(xué)弱勢群體的主要原因之一（文科尤甚！）.冰凍三尺非一日之寒，高三學(xué)生運(yùn)算能力差的原因復(fù)雜多樣.

1、從學(xué)生學(xué)習(xí)的外環(huán)境來看（1）初中課程改革削弱了運(yùn)算要求（十字相乘法等乘法公式、因式分解等代數(shù)恒等變形、根系關(guān)系、比例、平面幾何等）.（2）計(jì)算器的廣泛運(yùn)用削弱了運(yùn)算意識(shí).（3）從小學(xué)到中學(xué)對(duì)減負(fù)、愉快教育、條禁令等阻礙了學(xué)生運(yùn)算能力的健康發(fā)展。缺乏正確的認(rèn)識(shí)，導(dǎo)致了事實(shí)上的學(xué)生運(yùn)算能力越來越差.（4）教師關(guān)于運(yùn)算的教學(xué)力度不夠

第三頁，共五十四頁，2022年，8月28日

2、從學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)環(huán)境來看

（1）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法出問題：不注重知識(shí)儲(chǔ)備，不重視三基，不注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的歸納、反思和總結(jié).

（2）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程出現(xiàn)問題：積弱已久！

①概念模糊不清（新增內(nèi)容尤甚）學(xué)生容易因概念模糊而運(yùn)算失誤。②公式、性質(zhì)記憶不準(zhǔn)確.③數(shù)據(jù)處理能力（計(jì)算、排序、篩選、分類討論等）差.④數(shù)學(xué)語言不過關(guān)，導(dǎo)致閱讀習(xí)慣差，閱讀能力差,運(yùn)算無從下手.⑤代數(shù)恒等變形常規(guī)方法不熟練.

⑥識(shí)別、駕奴圖表的能力差.⑦算法意識(shí)差，算理不清，尤其是文科生對(duì)運(yùn)算問題缺乏檢驗(yàn)、反思、總結(jié)的意識(shí).⑧審題不仔細(xì)表達(dá)能力差，書寫不規(guī)范。⑨運(yùn)算習(xí)慣差，急于求成，粗枝大葉，說一套做一套,心里想的和手上寫的不一致.⑩心理素質(zhì)差，演繹了從“不喜歡”到“害怕”到“恐懼”的運(yùn)算悲劇.第四頁，共五十四頁，2022年，8月28日

3、調(diào)查結(jié)果

運(yùn)算能力差是導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的弱勢群體的主要原因之一（1)從學(xué)生屬性看，重災(zāi)區(qū)在文科一般說，文科生的形象思維好于邏輯思維，繁瑣的運(yùn)算是他們厭惡的，數(shù)學(xué)不好的很大的一個(gè)原因是煩算，討厭精確，喜歡模糊，更喜歡定性的描述，不喜歡定量的描述和思維.（2)從學(xué)生性別看，重災(zāi)區(qū)在男生男生大大咧咧，“運(yùn)算”是一種“磨難”，他們不喜歡磨難，喜歡小聰明，喜歡偷懶，怎樣不算最好，由于書寫格式嚴(yán)格，他們不喜歡循規(guī)蹈矩，隨意、簡單、迅速完成是他們的習(xí)慣，不喜歡記憶一些基本的規(guī)律、方法、長期欠帳.（3）從分?jǐn)?shù)段上看，重災(zāi)區(qū)在80—110之間.

第五頁，共五十四頁，2022年，8月28日

二、運(yùn)算能力解析

（一）、歷年考試說明（大綱）對(duì)運(yùn)算能力要求的演變：與時(shí)俱進(jìn)，對(duì)運(yùn)算能力要求越來越高，越來越具體.

１、在98年以前，高考數(shù)學(xué)試卷對(duì)運(yùn)算能力的考查重點(diǎn)放在對(duì)“正確迅速的數(shù)與式的運(yùn)算、變形的能力”上。２、99年的考綱添加了“對(duì)估算意識(shí)、估算能力”的考查。３、02年考綱將其擴(kuò)大到“在懂得基本運(yùn)算技能的基礎(chǔ)上，考查考生對(duì)運(yùn)算策略的選擇、估算意識(shí)，對(duì)運(yùn)算工具的使用技能以及對(duì)運(yùn)算結(jié)果反思、演算的自覺意識(shí)”.

４、05年考綱就運(yùn)算能力添加了“運(yùn)算能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合，運(yùn)算包括對(duì)數(shù)字計(jì)算、估值和近似計(jì)算，對(duì)式子的組合變形與分解變形，對(duì)幾何圖形的計(jì)算求解等.運(yùn)算能力包括分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算程序等一系列過程的思維能力，也包括在實(shí)施運(yùn)算過程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算的能力.”

５、06考綱——“運(yùn)算能力：會(huì)根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理；能根據(jù)問題的條件，尋找與設(shè)計(jì)合理、簡捷的運(yùn)算途徑”，“在實(shí)施運(yùn)算過程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算的能力”第六頁，共五十四頁，2022年，8月28日

６、07考綱——“運(yùn)算能力：會(huì)根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理；能根據(jù)問題的條件和目標(biāo)，尋找與設(shè)計(jì)合理、簡潔的運(yùn)算途徑”“在實(shí)施運(yùn)算過程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算的能力以及實(shí)施運(yùn)算和計(jì)算的技能”。

變化：“能根據(jù)問題條件”變?yōu)椤澳芨鶕?jù)問題的條件和目標(biāo)”；“遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算”改為“遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算的能力及實(shí)施運(yùn)算和計(jì)算的技能”。

認(rèn)識(shí)：07考綱運(yùn)算能力要求有所提高，強(qiáng)調(diào)認(rèn)準(zhǔn)目標(biāo)方向，制定運(yùn)算策略，以及對(duì)“數(shù)”的準(zhǔn)確運(yùn)算，對(duì)“式”的合理變形。06四川高考（17）題先分解因式可能更簡單一些；（18）要求對(duì)小數(shù)的運(yùn)算要準(zhǔn)確，（19）題第三問學(xué)生看到用“向量計(jì)算”冗長且數(shù)據(jù)不簡單而放棄，其實(shí)只要調(diào)整運(yùn)算策略轉(zhuǎn)為幾何方法就有望獲得成功。這些變化顯示，高考對(duì)考生運(yùn)算能力的要求逐步提高，對(duì)考生探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算公式、確定運(yùn)算程序等提出了明確的要求.各種運(yùn)算都有其自己的意義、法則（公式），都應(yīng)遵循一定的運(yùn)算率。第七頁，共五十四頁，2022年，8月28日

運(yùn)算能力包含兩層意識(shí)，即計(jì)算技能和邏輯思維，因此制定運(yùn)算能力評(píng)價(jià)目標(biāo)時(shí)，應(yīng)從這兩個(gè)方面考慮。

在計(jì)算技能方面：①是否記住數(shù)學(xué)計(jì)算公式、計(jì)算法則，并能準(zhǔn)確的運(yùn)用公式和法則進(jìn)行計(jì)算。②能否應(yīng)用概念、性質(zhì)、定理進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算。③在進(jìn)行各種數(shù)學(xué)計(jì)算時(shí)，包括數(shù)、式、方程、函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)、不等式、復(fù)數(shù)等結(jié)果是否準(zhǔn)確，速度是否迅速，過程是否合理。④能否進(jìn)行各種查表和使用計(jì)算器計(jì)算。

在邏輯思維方面：①是否合理的使用公式、法則。②運(yùn)算方法和運(yùn)算過程是否簡捷。③能否對(duì)自己的運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行檢查和判斷。④能否自我改正運(yùn)算中的各類錯(cuò)誤。⑤能否簡化運(yùn)算過程，進(jìn)行“跳步”計(jì)算。⑥心算、速算、估算能力如何。⑦是否會(huì)推理計(jì)算。

第八頁，共五十四頁，2022年，8月28日

（二）、算法與算理

１、兩個(gè)前提

（１）高中新課程增加了算法專題——課程改革對(duì)高考的影響。

高中新課程標(biāo)準(zhǔn)指出“算法是數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的重要組成部分，是計(jì)算科學(xué)的重要基礎(chǔ).隨著現(xiàn)代信息技術(shù)飛速發(fā)展，算法在科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中發(fā)揮著越來越大的作用，并日益融入社會(huì)生活的許多方面，算法思想已經(jīng)成為現(xiàn)代人應(yīng)具備的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng).……體會(huì)算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，發(fā)展有條理的思考與表達(dá)的能力，提高邏輯思維能力.…..將算法思想貫穿高中數(shù)學(xué)課程的相關(guān)部分.”

（高中新課程標(biāo)準(zhǔn)）

（２）今年全國各地高考把算法、算理的考查提升到理性高度。“多考一點(diǎn)想，少考一點(diǎn)算的內(nèi)核——多考算法，算理”備考老師必須加強(qiáng)對(duì)學(xué)生算法意識(shí)的訓(xùn)練.第九頁，共五十四頁，2022年，8月28日2007年穩(wěn)中求新注意梯度

入手比較容易多考點(diǎn)想、少考點(diǎn)算

理1

理（文）2

理3

理（文）4

文1

文3

文（理）5

文（理）6

文22（理21）

理22中檔試題常見

文19

文20

理19

理20（文21）

第十頁，共五十四頁，2022年，8月28日“多思即能少算”的命題意識(shí)貫穿全卷試卷中對(duì)能力的考查注意了“多考點(diǎn)想，少考點(diǎn)算”的設(shè)計(jì)意圖，同時(shí)，這也是對(duì)考生能力要求的一個(gè)方面。文理科前8道題，甚至第10題等幾乎不需要多大計(jì)算就可以得出結(jié)論。

(秒解)第十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日第十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日秒解第十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日第十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日第十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日

（1）算法：就是運(yùn)算的處方（美：林恩·阿瑟·斯蒂恩），也就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的情境，在將問題分析清楚的基礎(chǔ)上，找到解決問題的具體步驟，這一組步驟稱為算法.

算法特點(diǎn)：算法一方面具有具體化、程序化、機(jī)械化的特點(diǎn)，同時(shí)又有抽象性、概括性和精確性.對(duì)于一個(gè)具體的算法而言，從算法分析到算法語言的實(shí)現(xiàn)，任何一個(gè)疏漏或錯(cuò)誤都將導(dǎo)致算法的失敗.算法是思維的條理化、邏輯化.中國古代數(shù)學(xué)中的算法中國古代數(shù)學(xué)以算法為主要特征，有許多算法成果，如《九章算術(shù)》、《周髀算經(jīng)》、《數(shù)書九章》、《議古根源》、千古絕唱：割圓術(shù)—內(nèi)接正三角形，正六邊形，正十二邊形，正二十四邊形等.

第十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日第十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日

完成一個(gè)數(shù)學(xué)問題的算法有兩個(gè)方面：①算法設(shè)計(jì)是根據(jù)算理進(jìn)行數(shù)學(xué)模型加工的一個(gè)過程，直到將所給計(jì)算模型加工成所求的解，這是一個(gè)化繁為簡的過程；②算法實(shí)現(xiàn)是根據(jù)算法設(shè)計(jì)進(jìn)行調(diào)用的過程，這是一個(gè)以簡馭繁的過程.舉例03年解析幾何算法設(shè)計(jì)與算法實(shí)現(xiàn)。

第十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日

分析：本題高考均分極低，慘不忍睹！很多學(xué)生考后仍然心有余悸地說面對(duì)此題無從下手.此題果真就這樣難嗎？讓我們聽聽高考場內(nèi)完美解決了此題的同學(xué)談的解題感受：首先，這個(gè)問題雖然不好下手，但從問題情境看，它不是代數(shù)問題、不是立體幾何問題，肯定是解析幾何問題；其次，既然這是解析幾何問題，那就應(yīng)該在坐標(biāo)系環(huán)境下求解，因此要建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；第三，給出的圖形太對(duì)稱了，有助于建立坐標(biāo)系，不妨如下圖建系；

第十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第五，不妨回到問題中來：結(jié)論需要我們做什么呢？若存在兩個(gè)定點(diǎn)使P到這兩點(diǎn)的距離的和為定值的話，點(diǎn)P的軌跡不就是橢圓嗎？因此問題的核心是求點(diǎn)P的軌跡方程;第六，根據(jù)前面五點(diǎn)可知，只需建立直線OF和GE的方程，用交軌法解決即可.

我們在贊嘆這位同學(xué)聰明機(jī)智的同時(shí)，更應(yīng)該看到他思維過程中算法思想的影子.我們不妨用算法的框圖來描述解決此問題的思維過程和邏輯關(guān)系

第二十頁，共五十四頁，2022年，8月28日開始結(jié)束問題的信息輸入：這是解析幾何問題，需建立坐標(biāo)系根據(jù)圖形的對(duì)稱性建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系設(shè)置點(diǎn)A、B、C、D、E、F、G、、O的坐標(biāo)建立直線OF和GE的方程，用交軌法求點(diǎn)P的軌跡方程根據(jù)點(diǎn)P的軌跡方程判斷點(diǎn)P的存在性第二十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日

事實(shí)上，上述框圖中的前三步應(yīng)該容易想到，并且有了前三步，想到第四步及以后的步驟就比較自然了.解：如圖建立直角坐標(biāo)系，按題意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),

D(-2,4a).

第二十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日第二十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日第二十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日（２）、算理與算則：算理就是運(yùn)算的依據(jù)，主要指運(yùn)算性質(zhì)、法則及方法、技巧等.算理確保每一運(yùn)算步驟的合理性、整體運(yùn)算的準(zhǔn)確性、深刻性和靈活性.算則是運(yùn)算的程序（步驟）的擬定規(guī)則，算法既重視“算則”，更重視“算理”.對(duì)于算法而言，一步一步的程序化步驟，即“算則”固然重要，但這些步驟的依據(jù)，即“算理”有著更基本的作用.“算理”是“算則”的基礎(chǔ)，“算則”是“算理”的表現(xiàn).它確保運(yùn)算的熟練性。分析：本題在常見恒成立問題模式上有所創(chuàng)新（由求解參數(shù)變?yōu)榍髤?shù)的最值）.學(xué)生的思維品質(zhì)層次體現(xiàn)在算法的優(yōu)劣，其本質(zhì)體現(xiàn)在對(duì)問題中數(shù)學(xué)信息的駕馭和把握，（“三點(diǎn)式”：入手點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)及警戒點(diǎn)）.算法一：算法關(guān)注點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)：小題大做第二十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日算法二：算法關(guān)注點(diǎn)在二次不等式進(jìn)行參數(shù)分離：小題大做

(三)、運(yùn)算能力的基本要素：合理性、準(zhǔn)確性、熟練性、簡捷性

06考綱對(duì)運(yùn)算對(duì)象的描述

運(yùn)算能力界定為：會(huì)根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理；能根據(jù)問題的條件，尋找與設(shè)計(jì)合理、簡捷的運(yùn)算途徑；能根據(jù)要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算.運(yùn)算能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合。中學(xué)對(duì)運(yùn)算能力的考查，不僅包括對(duì)數(shù)的運(yùn)算，還包括對(duì)式的運(yùn)算，兼顧對(duì)算理和邏輯推理的考查。對(duì)考生運(yùn)算能力的考查主要是以含字母的式的運(yùn)算為主，包括數(shù)字的計(jì)算、代數(shù)式和某些超越式的恒等變形、集合的運(yùn)算、解方程與不等式、三解恒等變形、數(shù)列極限的計(jì)算、求導(dǎo)運(yùn)算、概率計(jì)算、向量運(yùn)算和幾何圖形中的計(jì)算等.運(yùn)算結(jié)果具有存在性、確定性和最簡性.第二十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日

(1)運(yùn)算的合理性.運(yùn)算的合理性是運(yùn)算能力的核心.運(yùn)算的合理性表現(xiàn)在運(yùn)算要符合算理，運(yùn)算過程中的每一步變形都要有所依據(jù)，或依據(jù)概念，或依據(jù)公式，或依據(jù)法則，可以說運(yùn)算的每一步變形都是演繹法的體現(xiàn)，運(yùn)算能力的考查中包括了對(duì)思維能力的要求以及對(duì)思維品質(zhì)（如思維的靈活性、敏捷性、深刻性）的考查.運(yùn)算的目標(biāo)，變形的方向，運(yùn)算的路徑，它們之間是密切相關(guān)的.要從運(yùn)算的目標(biāo)出發(fā)，研究變形方向，最終產(chǎn)生判斷，確定運(yùn)算路徑.這一系列的活動(dòng)都是運(yùn)算過程中的思維活動(dòng)，是運(yùn)算合理性的表現(xiàn).第二十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日

本題的解答是一種返璞歸真的解答，式中的各個(gè)未知數(shù)都可解出其可能的取值，結(jié)果組合可以取到ab+bc+ca的最小值，因此實(shí)際上是對(duì)各種解題套路和技巧的一種反對(duì)和顛覆.在解題中出現(xiàn)了各種各樣的誤解，如應(yīng)用平均值不等式、柯西不等式等，這樣就可能出現(xiàn)取不到最小值的情況

第二十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日第二十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日

算理分析：以上錯(cuò)解的根源都是一致的，即沒有注意到其中的“=”成立的條件，其中的不等號(hào)是成立的，但等號(hào)并不一定成立，即錯(cuò)解中的最小值都是取不到的.這就警示我們在解題時(shí)要具體問題具體分析，在代數(shù)變形過程中要注意題目的條件和所應(yīng)用的公式、定理成立的條件，不能照抄照搬.

②運(yùn)算的合理性表現(xiàn)在運(yùn)算目標(biāo)的確定.運(yùn)算的目的是要得到化簡的數(shù)值結(jié)果或代數(shù)式等，有時(shí)還是完成推理和判斷的工具.對(duì)一些比較直接、簡單的運(yùn)算目標(biāo)一般比較容易把握，但對(duì)一些比較復(fù)雜的運(yùn)算目標(biāo)，需要經(jīng)過多步運(yùn)算才能得到最后結(jié)果.

③運(yùn)算的合理性還表現(xiàn)在運(yùn)算途徑的選擇.合理選擇運(yùn)算途徑不僅是迅速運(yùn)算的需要，也是運(yùn)算準(zhǔn)確性的保證，運(yùn)算的步驟越多，越繁瑣，出錯(cuò)的可能性也就越大.因而，根據(jù)問題的不同條件和特點(diǎn)，合理選擇運(yùn)算途徑是提高運(yùn)算能力的關(guān)鍵.靈活地運(yùn)用公式、法則和有關(guān)的運(yùn)算律，掌握同一個(gè)問題的多種運(yùn)算方法和途徑，善于通過觀察、分析、比較，將有助于作出合理的選擇.因此，運(yùn)算能力的考查中包括了對(duì)思維能力的要求以及對(duì)思維品質(zhì)（如思維的靈活性、敏捷性、深刻性）的考查.第三十頁，共五十四頁，2022年，8月28日第三十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日第三十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日

運(yùn)算的目標(biāo)，變形的方向，運(yùn)算的路徑，它們之間是密切相關(guān)的.要從運(yùn)算的目標(biāo)出發(fā)，研究變形方向，最終產(chǎn)生判斷，確定運(yùn)算路徑.這一系列的活動(dòng)都是運(yùn)算過程中的思維活動(dòng)，是運(yùn)算合理性的表現(xiàn).

第三十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日

運(yùn)算的準(zhǔn)確性.運(yùn)算的準(zhǔn)確性是對(duì)運(yùn)算能力的基本要求，要求考生根據(jù)算理和題目的運(yùn)算要求，有根有據(jù)地一步一步地實(shí)施運(yùn)算.

在高考中重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的是：在運(yùn)算過程中使用的概念要準(zhǔn)確無誤，使用的公式要準(zhǔn)確無誤，使用的法則要準(zhǔn)確無誤，表達(dá)結(jié)果準(zhǔn)確無誤，最終才能保證運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確無誤.

怎樣提高運(yùn)算的準(zhǔn)確率呢?我認(rèn)為，不能簡單冠以粗心或馬虎，而要究其根源。從本質(zhì)上說，馬虎也是素質(zhì)不高的表現(xiàn)，要想提高運(yùn)算的準(zhǔn)確率，還是要從算法、算理、算律抓起。第三十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日運(yùn)算的熟練性在高考中考查運(yùn)算能力，一般不是增大每題的運(yùn)算量，而是通過控制題目數(shù)量、控制每題的運(yùn)算量，增加思考強(qiáng)度和思維深度來實(shí)現(xiàn)的.控制題目數(shù)量和每題的運(yùn)算量，可以增加考核深度，給考生以充裕的時(shí)間去思考如何進(jìn)行計(jì)算，而不是把時(shí)間花在冗長的計(jì)算過程和運(yùn)算符號(hào)、文字的書寫上.過難、過繁的計(jì)算消耗考生的時(shí)間和精力，將會(huì)影響對(duì)基本概念、方法，特別是思維能力的考查.

數(shù)學(xué)試題往往存在一題多解、計(jì)算量相差懸殊的現(xiàn)象，同一道試題不同的解題思路會(huì)反映出不同的能力層次.考生實(shí)際計(jì)算量的大小往往反映出考生能力水平的差異.運(yùn)算的熟練性不完全是“熟能生巧”的問題，它是運(yùn)算方法與相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法相結(jié)合的產(chǎn)物。

第三十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日

運(yùn)算的簡捷性.

⑴運(yùn)算的簡捷性是指運(yùn)算過程中所選擇的運(yùn)算路徑短、運(yùn)算步驟少、運(yùn)算時(shí)間省.運(yùn)算的簡捷是運(yùn)算合理性的標(biāo)志，是運(yùn)算速度的要求.

⑵高考對(duì)運(yùn)算簡捷性的考查，主要體現(xiàn)在運(yùn)算過程中概念的靈活應(yīng)用，公式的恰當(dāng)選擇，數(shù)學(xué)思想方法的合理使用.

⑶運(yùn)算速度的快慢與概念公式及數(shù)學(xué)思想方法掌握的熟練程度直接相關(guān)。第三十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日2007年立足教材重視基礎(chǔ)注重?cái)?shù)學(xué)思想方法：（1）數(shù)形結(jié)合：文2（理2）

文11（理9）

文12（理）11

文16（理16）

文21（理20）（2）分類思想：

文9

理10

理12（3）化歸思想：

文（理）5

文8（理7）

文（理）15（4）函數(shù)與方程：文10（理8）

理13

文7第三十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日三、關(guān)于培養(yǎng)運(yùn)算能力的建議(一)、發(fā)展運(yùn)算能力的大致階段

1)從理解有關(guān)運(yùn)算的基本知識(shí)到形成這種運(yùn)算的技能的階段。這一階段要完成從知識(shí)到技能的過渡，中心是準(zhǔn)確理解有關(guān)知識(shí)，熟練有關(guān)運(yùn)算的方法、步驟，應(yīng)該本著“先慢后快”，“先死后活”的原則，開始時(shí)，運(yùn)算步驟不宜跳躍，每一步運(yùn)算的依據(jù)必須明確、清晰，運(yùn)算過程的表述必須規(guī)范、條理，組織訓(xùn)練時(shí)，不僅要注意適當(dāng)?shù)臄?shù)量，還要注意一定的層次。這就要求教師能夠根據(jù)不同運(yùn)算的不同特點(diǎn)，不同學(xué)生的不同水平，把握好多大量的訓(xùn)練，就可以達(dá)到熟練，抓住幾種基本變化就能做到旁通，分幾個(gè)層次更符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，從而使訓(xùn)練取得更好的效益和效率。

2)從運(yùn)算技能上升到運(yùn)算能力的階段

隨著運(yùn)算技能的形成逐漸簡化運(yùn)算步驟，靈活運(yùn)用運(yùn)算法則、公式是從技能向能力過渡的開端。培養(yǎng)運(yùn)算能力的中心環(huán)節(jié)，是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)運(yùn)算的目的性(清楚理解運(yùn)算的目標(biāo))重點(diǎn)應(yīng)放在算理、運(yùn)算途徑的判斷、選擇、設(shè)計(jì)及相關(guān)的字母和代數(shù)式的運(yùn)算上，認(rèn)識(shí)實(shí)施運(yùn)算的途徑的多樣性，培養(yǎng)學(xué)生合理選擇簡捷運(yùn)算途徑的意識(shí)和習(xí)慣。

第三十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日3)在各種應(yīng)用中，進(jìn)一步提高運(yùn)算能力的階段技能和能力的初步形成，還必須在今后的應(yīng)用中，才能得到鞏固、發(fā)展和深化，在運(yùn)算過程中，運(yùn)算的工具性和運(yùn)算過程的思維性更加突出了。運(yùn)算的目標(biāo)不一定是追求一個(gè)簡化的結(jié)果，而要為一定的推理、演繹、判斷服務(wù)，在運(yùn)用中，對(duì)于運(yùn)算從問題的產(chǎn)生，運(yùn)算目標(biāo)的確定，運(yùn)算種類的選擇，運(yùn)算技能的發(fā)揮到各種運(yùn)算的配合，是具有綜合性要求的。發(fā)展運(yùn)算能力的三個(gè)階段不是割裂的，不存在時(shí)間上明顯的界限，它們是交叉進(jìn)行，互相促進(jìn)的，其中一條主線是知識(shí)技能與思維能力的結(jié)合。2、一般來說，運(yùn)算能力的形成需要經(jīng)歷從知識(shí)、技能到能力的轉(zhuǎn)化?，F(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)把知識(shí)區(qū)分為陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)。進(jìn)一步的，認(rèn)知心理學(xué)家認(rèn)為，思維技能或認(rèn)知策略屬于程序性知識(shí)范疇，這類知識(shí)被稱為“有控制的程序性知識(shí)”。這樣的知識(shí)在運(yùn)用時(shí)具有運(yùn)行速度慢、有順序、能有意識(shí)地監(jiān)控、能準(zhǔn)確表述等特點(diǎn)。

因此，在發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算技能過程中，教師應(yīng)當(dāng)注意：要以相應(yīng)的知識(shí)為依據(jù)，使學(xué)生理解有關(guān)知識(shí)、熟悉運(yùn)算程序；經(jīng)過一定量的、有層次的、按部就班的訓(xùn)練以后，逐漸要求學(xué)生簡化運(yùn)算步驟，靈活運(yùn)用公式、法則，以培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算策略；要有適當(dāng)?shù)木C合性訓(xùn)練。第三十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日（二）、僅僅加強(qiáng)運(yùn)算訓(xùn)練只是治表，治本的根本在于加強(qiáng)運(yùn)算教學(xué)力度，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)運(yùn)算的基本方法，同時(shí)促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)并完善基礎(chǔ)知識(shí)系統(tǒng)，使基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法熟練化和系統(tǒng)化，使學(xué)生對(duì)運(yùn)算由懂到會(huì)，由會(huì)到對(duì)，由對(duì)到熟，由熟到變，由變到通。

1、打牢基礎(chǔ)，完善知識(shí)和方法體系（不能留漏洞，留死角）

2、教師的教學(xué)不能局限在數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法上，由離散到連續(xù)（要內(nèi)化）

3、明確要求學(xué)生，加強(qiáng)知識(shí)儲(chǔ)備，完善知識(shí)和方法體系

⑴從思想高度重視，從學(xué)習(xí)行為上持續(xù)改進(jìn)。⑵知識(shí)系統(tǒng)化，熟練到自動(dòng)化程度。標(biāo)志：定義,概念理解準(zhǔn)確無誤。公式記憶準(zhǔn)確無誤。定理，法則應(yīng)用準(zhǔn)確無誤。思想,方法靈活應(yīng)用。⑶構(gòu)建和完善數(shù)學(xué)思想方法體系。

4、立足課堂，加強(qiáng)運(yùn)算教學(xué)（尤其是算法和算理）①身教勝于言教。教師示范——揭示算法，算理，板書的功能。②強(qiáng)化作業(yè)，訓(xùn)練和考試對(duì)運(yùn)算能力的培養(yǎng)。反饋，講評(píng)，改進(jìn)。③加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀教學(xué)與審題教學(xué)。

第四十頁，共五十四頁，2022年，8月28日第四十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日④加強(qiáng)學(xué)法指導(dǎo)：導(dǎo)——悟。加強(qiáng)運(yùn)算中的數(shù)學(xué)思想方法的積累，歸納與總結(jié)。

由高三學(xué)生轉(zhuǎn)化為高三考生，考生不要一味算題，即使算過很多題，但如果沒有真正掌握其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，考試碰到相同或相似的題時(shí)，仍然不會(huì)做。因此要知識(shí)點(diǎn)掌握好，深入挖掘題目中的思想和方法，概括出某一類題的解題方法，歸納總結(jié)算法原理，才能從容應(yīng)對(duì)高考。切莫?jiǎng)幽X不動(dòng)手，動(dòng)手不動(dòng)腦。引導(dǎo)學(xué)生重視總結(jié)例題和習(xí)題中的算法?！白?00道題會(huì)解10道題”與“做10道題會(huì)解100道題”的關(guān)系。

第四十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日⑤強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法與運(yùn)算的整合案例:2003年社會(huì)各界普遍反映高考數(shù)學(xué)試題的運(yùn)算量過大，但是仔細(xì)研討試題即會(huì)發(fā)現(xiàn)：運(yùn)算量過大并非考試本身所導(dǎo)，是系解題方法不當(dāng)和學(xué)生算法意識(shí)差所致。數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)的精髓，歷來是高考數(shù)學(xué)考察的重中之中（一種見解認(rèn)為它隸屬于基礎(chǔ)知識(shí)）在2003年的高考選擇題中有許多可以借助特殊淘汰或驗(yàn)證、構(gòu)造等方法迅速作答；應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法也可以得到許多考題的簡便解法。突出方法永遠(yuǎn)是高考試題的特點(diǎn)（任子朝）,對(duì)數(shù)學(xué)思想方法要求較高的運(yùn)算，應(yīng)注重學(xué)生對(duì)運(yùn)算過程和算法算理的充分體驗(yàn)。⑥將運(yùn)算能力的培養(yǎng)滲透到教學(xué)過程的每一個(gè)環(huán)節(jié)，重在“小”和“實(shí)”（小靈通）第四十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日第四十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日5、有針對(duì)性地開設(shè)運(yùn)算專題，熱點(diǎn)問題重點(diǎn)突破，處理好冷、熱點(diǎn)知識(shí)的關(guān)系，熱點(diǎn)知識(shí)重點(diǎn)突破。①遞推數(shù)列②向量方程（不等式）：空間，平面③合情推理與估算……——局部突破整體

第四十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日第四十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日第四十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日④不等式恒成立——導(dǎo)數(shù)背景。⑤強(qiáng)化常規(guī)運(yùn)算與常規(guī)能力的整合：若解析幾何中回歸定義，借助平幾，設(shè)而不求，合理引參，整體代換。立體幾何位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的熟練轉(zhuǎn)化等。

⑥加強(qiáng)代數(shù)推理，數(shù)學(xué)三大能力之一邏輯運(yùn)算離不開運(yùn)算，尤其是數(shù)量方面的推理，要準(zhǔn)確推理離不開準(zhǔn)確的運(yùn)算，所以運(yùn)算是推理的基礎(chǔ)

.⑦利用數(shù)學(xué)思想方法明晰算理簡化運(yùn)算

第四十八頁