高一數(shù)學(xué)必修3《概率》公式總結(jié)以及例題

§3.

概率?

事：機(jī)件event，定事件:必事件certain)和可能事件(event隨事的率統(tǒng)定：一般的，如果隨機(jī)事件在n次驗(yàn)發(fā)生了m次，當(dāng)實(shí)驗(yàn)的次數(shù)

n

很大時(shí)，我們稱事件A生的概率為

說(shuō)：①一隨機(jī)事件發(fā)生于具有隨機(jī)性，但又存在統(tǒng)計(jì)的規(guī)律性，在進(jìn)行大量的重復(fù)事件時(shí)某個(gè)事件是否發(fā)生具頻率的穩(wěn)定性而頻率的穩(wěn)定性又是必然的因此偶然性和必然性對(duì)立統(tǒng)一②不能件和確定事件可以看成隨機(jī)事件的極端情況③隨事件的頻率是指事件發(fā)生的次數(shù)和總的試驗(yàn)次數(shù)的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，這個(gè)擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，而這個(gè)接近的某個(gè)常數(shù)，我們稱之為概事件發(fā)生的概率④概是有巨大的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)后得出的結(jié)果，講的是一種大的整體的趨勢(shì)，而頻率是具體的統(tǒng)計(jì)的結(jié)果⑤概率頻的定，頻是率的似

概必滿三基要：對(duì)任意的一個(gè)隨機(jī)事件，有0②

用別表示必然事件和不能事件則有P

③如果事件和B互斥則:P

古概（Classicalmodel①所有本事件有限個(gè)②每基本事件發(fā)生的可能性都相等滿這個(gè)條件的概率模型成為古典概型如果一次試驗(yàn)的等可能的基本事件的個(gè)數(shù)為個(gè)n一個(gè)基本事件發(fā)生的概率都是1n

，如果某個(gè)事件A包含了其中的個(gè)可能的基本事件，則事件A發(fā)的概率為

幾概（probabilitymodel一地一個(gè)幾何區(qū)域D中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件“改點(diǎn)落在其內(nèi)部的一個(gè)區(qū)域內(nèi)為事件，則事件A發(fā)的概率為

的側(cè)度D的側(cè)度

（這里求

D

的側(cè)度不為0中側(cè)度的意義由

D

確定般地，線段的側(cè)度為該線段的長(zhǎng)度面多變形的側(cè)度為該圖形的面積體像的側(cè)度為其體積）幾概的本點(diǎn)①基本件等可②基本件無(wú)限多顏師明為了便于研究互斥事件，們所研究的區(qū)域都是指的開(kāi)區(qū)域，即不含邊界，在區(qū)域D內(nèi)機(jī)地取點(diǎn)，指的是該點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)何一處都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只與該部分的側(cè)度成正比，而與其形狀無(wú)關(guān)。

互事(：不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱為互事件/8對(duì)事（complementary個(gè)互斥事件中必有一個(gè)發(fā)則稱兩個(gè)事件為立事件，件

的對(duì)立事件記：

A

獨(dú)事的率

若B相互獨(dú)立的事件事件,則P

，若

A,A,...A為兩兩獨(dú)的事,1n2

n

1

n

顏師明若

,B為斥事件則AB中最多有一個(gè)發(fā)生

可能都不發(fā)生，但不可能同時(shí)發(fā)生，集合的來(lái)看兩個(gè)事件互斥，即指兩個(gè)事件的集合的交集是空集②對(duì)事件是指的兩個(gè)事件且必須有一個(gè)發(fā)生互斥事件可能指的很多事件最只有一個(gè)發(fā)生能不發(fā)生③對(duì)事件一定是互斥事件④從集論來(lái)看示斥事件和對(duì)立事件的合的交集都是空集兩個(gè)對(duì)立事件的并集是全集，而兩個(gè)互斥事件的并集不一定是全集⑤兩個(gè)對(duì)立事件的概率之和一定是1而兩個(gè)互斥事件的概率之和小于或者等于1⑥若

A

是互斥事件，則有

⑦

一般地，如果

AA1n

兩兩互斥，則有AA1n

⑧

P

⑨在本教材中

AA12

指的是

A1n

中至少發(fā)生一個(gè)⑩★在體題

中，希望大家一定要注意書寫過(guò)程處事件來(lái)利用哪種概型解題就照那種概型的書寫格式，最重要的是要設(shè)出所求的事件來(lái)，具的格式請(qǐng)參照我們課本上（新課標(biāo)試驗(yàn)教科-蘇教版）的例題例題選：例1.在小相同的6個(gè)球中，個(gè)紅球，若從中任意選2個(gè)求所選的2個(gè)至少有一個(gè)是紅球的概率？【析題目所給的6個(gè)中有4個(gè)球個(gè)它顏色的球，我們可以根據(jù)不同的思路有不同的解法解1斥事件）設(shè)事件A為“選取2個(gè)球至少有是紅球”則其互斥事件為意義為“選取2個(gè)都其它顏色球”1P(6151515214答：所選的2個(gè)至少有一個(gè)是紅球的概率為.15

A解2古典概型）由題意知，所有的基本事件有

62

種情況，設(shè)事件A為選取2個(gè)球至少有個(gè)紅球件

所含有的基本事件數(shù)有

4

42

14/8所以

14答：所選的2個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的率為15解獨(dú)立事件概率）不妨其它顏色的球設(shè)為白色求，設(shè)事件

為“選取2球至少有1個(gè)紅球”，件

有三種可能的情況白1白1紅，對(duì)應(yīng)的概率分別為：

422324,,，則656566答：所選的2個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的率為

評(píng)價(jià)本重點(diǎn)考察我們對(duì)于概基本知識(shí)的理解合所學(xué)的方法根據(jù)自己的理解用不同的方法，但是基本的解題步驟不能!變訓(xùn)1：在小相同的6個(gè)中個(gè)紅球個(gè)白球，若從任意選取個(gè)，求至少有是紅球的概率？解法斥事件）設(shè)事件

為“選取個(gè)球至少有是紅球其斥事件為

A

，意義為“選取3個(gè)都白球”PA

36

43(64)3

42654答：所選的3個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的率為5解2典概型）由題意知，所有的基本事件C

63

20

種情況，設(shè)事件

為“選取3個(gè)球至少1個(gè)是球”，而事

所含有的基本事件有422

，所

1620答：所選的3個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的率為

解3立事件概率）設(shè)事件

為“選取3個(gè)至少有是紅球”，則事件

的情況如下：紅2白紅白

紅白白白白紅白紅白紅紅白紅白紅白紅紅

2416454265442165452146521654154165415/81者PPB1者PPB114P所以5155答：所選的3個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的率為

變訓(xùn)2盒中6燈泡，其中2只次品，4只品，有放回的從中任抽，每次抽取1只試求下列事的概率：第1次到的是次品抽到的2次，正品、次品各一次解設(shè)事件為“第次抽到的是次品事件B為抽到的中，正品、次品各一次”則

P

26

，

442424P（者669

）答第次抽到的是次品的概率為

，抽到的2次，正品、次品各一次的概率為

49變訓(xùn)：乙兩人參加一次考試共有道選擇題3道填空題，每人抽一道題，抽到后不放回抽選擇題而乙抽到空題的概率至1人到選擇題的概率？【分）由于是不放回的抽，且只抽兩道題，甲抽到選擇題乙抽到填空題是獨(dú)立的，所以可以用獨(dú)立事件的概率2事件“至少人抽到選擇題”和事件“兩人都抽到空題”時(shí)互斥事件，所以可以用互斥事件的概率來(lái)解設(shè)事件

“抽到選擇題而乙抽到填空

“少1人到選擇題

B為“兩人都抽到填空題”（1）

333PA6510

者P

PP33310（2

165

P5

則

5答甲抽到選擇題而乙抽到填空題的概率為

3，少人抽到選擇題的概率為10變訓(xùn)4一只口袋里裝有5大小形狀相同的球，其中3紅球個(gè)球，從中不放回摸出球，球兩個(gè)球顏色不同的概率？【分】先抽出兩個(gè)球顏色相同要么是1，要么是黃球略

P

323555

6PC變訓(xùn)：盒子中有個(gè)，其中個(gè)球，個(gè)白球，每次人抽一個(gè)，然后放回，若連續(xù)抽兩次，則抽到1個(gè)球白球的概率是多少？略

P

424246666例2.急救飛機(jī)向一個(gè)邊長(zhǎng)為千米的正方形急救區(qū)域空頭急救物品，在該區(qū)域內(nèi)有個(gè)長(zhǎng)寬分別為80米50米水池，當(dāng)急救物品落在水池及距離水池10米范圍內(nèi)時(shí)，物品會(huì)失效假設(shè)急救物品落在正方形域內(nèi)的任意一點(diǎn)是隨機(jī)不考慮落在正方形區(qū)域范圍之外的發(fā)急救物品無(wú)效的率？【分】為屬于幾何概型，切是平面圖形，其測(cè)度用面積來(lái)衡量解如圖，設(shè)急救物品投的所有可能的區(qū)域，即邊長(zhǎng)為1千米的正方形為區(qū)域/8

D

，事件a261a261“發(fā)放急救物品無(wú)效”為，距離水池米圍為區(qū)域d，為圖中的陰影部分，則有

d測(cè)測(cè)501000

答略顏師明這種題目要看清題目意思為了利用幾何概率，題目中一般都會(huì)有落在所給的大的區(qū)域之外的不計(jì)的條件，但如果涉及到網(wǎng)格的現(xiàn)象是一般則不需要這個(gè)條件，因?yàn)槌鲆粋€(gè)網(wǎng)格，就會(huì)進(jìn)入另外一個(gè)網(wǎng)格，分析是同樣的變訓(xùn)1：在地上畫一正方形線框，其邊長(zhǎng)等于一枚硬幣的直徑的2倍方框中投擲硬幣硬幣完全落在正方形外的不計(jì)硬完全落在正方形內(nèi)的概率？略：

d測(cè)測(cè)

2244232變訓(xùn)2：圖設(shè)一個(gè)正方形網(wǎng)格其中每個(gè)小正三角形邊長(zhǎng)都是,現(xiàn)一直徑等于的幣落在此網(wǎng)格上，求硬幣落下后與網(wǎng)格有公共點(diǎn)的概率？【分】因圓的位置由圓心確定，所以要與網(wǎng)格線有公共點(diǎn)只要圓心到網(wǎng)格線的距離小于等于半徑解如圖，正三角形ABC內(nèi)有一正三角形

AB

，其中1ADABaADEA1a,BE63aABaa33

a

C當(dāng)圓心落在三角形

AB

之外時(shí)，硬幣與網(wǎng)格有公共點(diǎn)

C1有公P

S-ABCSBC

F

3a2433a24

a

0.82

A

D

A1

a

a/6

B1EB/855答硬幣落下后與網(wǎng)格有公共點(diǎn)的概率為0.82變式訓(xùn)練3：如，已知矩形

中,7,在正方形內(nèi)任取一點(diǎn)P,求

的概率？略：PA56變訓(xùn)4：平面上畫了彼此相距的平行線把一枚半徑r<a的硬幣，任意的拋在這個(gè)平面上，求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率？

解設(shè)事件

為“硬幣不與任何一條平行線相碰”為了確定硬幣的位置，有硬幣的中心向距離最近的平行線作垂線M，足

為

M

，線段

OM

的長(zhǎng)度的取值范圍為

,

，其長(zhǎng)度就是

幾何概型所有的可能性構(gòu)成的區(qū)域

D

的幾何測(cè)度，只有當(dāng)OMa

時(shí)，硬幣不與平行線相碰，其長(zhǎng)度就是滿足事件

的區(qū)域

d

的幾何測(cè)度，所以

2a

r

a答硬幣不與任何一條平行線相碰的概率為

aa【評(píng)與接該題是幾何概型的典型題目，要求我們正確確認(rèn)區(qū)域

D

和區(qū)域

d

，理解它們的關(guān)系以及它們的測(cè)度如何來(lái)刻畫。蒲投問(wèn)：面上畫有等距離的一系列的平行線，平行線間距離a（a），向平面內(nèi)任意的投擲一枚長(zhǎng)為

l

針與平行線相交的概？解：以

表示針的中點(diǎn)與最近的一條平行線的距離，又表針此直線的交角，如圖易知

0xa,0

，有這兩式可以確定-平面上的一個(gè)矩形，是為了針與平行線相交，其充要條件為

x

l2

，有這個(gè)不等式表示的區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分，由等可能性知

0

l

l2a/8如果

l已則以

值代入上式即可計(jì)算P來(lái)果已知?jiǎng)t也可以利用上式來(lái)求

，而關(guān)于

P

的值，則可以用實(shí)驗(yàn)的方法，用頻率去近似它，既:

如果投針N次，中平相的次數(shù)為次，則頻率為

n

，于是，P

llN于是,注：也是歷史上有名的問(wèn)題之一試的方法先用數(shù)學(xué)積分的手段結(jié)合幾何概型求出概率再頻率近似概率來(lái)建立式進(jìn)求出

在史上有多的數(shù)學(xué)家用不同的方法來(lái)計(jì)算如中國(guó)的祖沖之父子倆，還有撒豆試驗(yàn)，也是可以用來(lái)求.會(huì)問(wèn)：乙兩人約定在6時(shí)時(shí)在某地會(huì)面并約定先到者等候另一人一刻鐘時(shí)即可離去，求兩人能會(huì)面的概率？解設(shè)“兩人能會(huì)面”為事件，以y分表示甲、乙兩人到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)間，則兩人能夠會(huì)面的充要條件為：

在平面上建立如圖所示的坐標(biāo)系，則

的結(jié)果是邊長(zhǎng)為的正方形而可能會(huì)面的時(shí)間由圖中陰影部分所表示，由幾何概型知，

S227PAAS6027答兩人能會(huì)面的概率16◆課上道題變訓(xùn)：如，在等腰直角三角形

ABC

中，在斜邊

AB

上任取一點(diǎn)M，求AM的率？【分】點(diǎn)M隨的落在線段AB上故線段為區(qū)域D，點(diǎn)位于如圖的內(nèi)時(shí)AM，線段AC

即為區(qū)域

解在

AB

上截取

'AC

，于是(AMAC)AM

AC'2ABAB2答

AM

的概率為

22【式練圖，在等腰直角三角形ABC中在ACB內(nèi)任意作一條射線CM，線段AB交點(diǎn)M求AM的率？錯(cuò)：AB上取AC'內(nèi)部任意作一條射線C滿足條件的M看/800作是在線段

AC

'

上任取一點(diǎn)

M

，則有(AMAC)AM

ACABAB【析這種解法看似很有道理仔